Подставив a = 28, b = 38, m = 32, σ= 4, получим

Р (28< Х< 38)= Ф(1,5) Ф(1)

По таблице значений функции Ф(х ) находим Ф(1,5) = 0,4332, Ф(1) = 0,3413.

Итак, искомая вероятность:

P (28

Задачи

6.1. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (-3;5). Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функции распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (4<х <6).

6.2. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке . Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) функцию распределения F (x );

в) числовые характеристики;

г) вероятность Р (3≤х ≤6).

6.3. На шоссе установлен автоматический светофор, в котором 2 минуты для транспорта горит зеленый свет, 3 секунды - желтый и 30 секунд - красный и т.д. Машина проезжает по шоссе в случайный момент времени. Найти вероятность того, что машина проедет мимо светофора, не останавливаясь.

6.4. Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в случайный момент времени. Какова вероятность того, что ждать поезд пассажиру придется больше 50 секунд. Найти математическое ожидание случайной величины Х - время ожидания поезда.

6.5. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение показательного распределения, заданного функцией распределения:

6.6. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

а) Назовите закон распределения рассматриваемой случайной величины.

б) Найдите функцию распределения F (x ) и числовые характеристики случайной величины Х .

6.7. Случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью распределения вероятностей:

Х примет значение из интервала (2,5;5).

6.8. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения:

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.9. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 8 и 2. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (10;14).

6.10. Случайная величина Х распределена нормально с математическим ожиданием 3,5 и дисперсией 0,04. Найдите:

а) плотность распределения f (x );

б) вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из отрезка .

6.11. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1. Какое из событий: |Х |≤0,6 или |Х |≥0,6 имеет большую вероятность?

6.12. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и D (X )= 1.Из какого интервала (-0,5; -0,1) или (1; 2) при одном испытании она примет значение с большей вероятностью?

6.13. Текущая цена за одну акцию может быть смоделирована с помощью нормального закона распределения с M (X )= 10 ден. ед. и σ(Х ) = 0,3 ден. ед. Найти:

а) вероятность того, что текущая цена акции будет от 9,8 ден. ед. до 10,4 ден. ед.;

б) с помощью "правила трех сигм" найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

6.14. Производится взвешивание вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ= 5г. Найти вероятность того, что в четырех независимых опытах ошибка при трех взвешиваниях не превзойдет по абсолютной величине 3 г.

6.15. Случайная величина Х распределена нормально с M (X)= 12,6. Вероятность попадания случайной величины в интервал (11,4; 13,8) равна 0,6826. Найдите среднее квадратическое отклонение σ.

6.16. Случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 12 и D (X ) = 36. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9973 попадет в результате испытания случайная величина Х .

6.17. Деталь, изготовленная автоматом, считается бракованной, если отклонение Х ее контролируемого параметра от номинала превышает по модулю 2 единицы измерения. Предполагается, что случайная величина Х распределена нормально с M (X ) = 0 и σ(Х ) = 0,7. Сколько процентов бракованных деталей выдает автомат?

3.18. Параметр Х детали распределен нормально с математическим ожиданием 2, равным номиналу, и средним квадратическим отклонением 0,014. Найти вероятность того, что отклонение Х от номинала по модулю не превысит 1 % номинала.

Ответы

в) M (X )=1, D (X )=16/3, σ(Х )= 4/ , г)1/8.

в) M (X )=4,5, D (X ) =2 , σ (Х )= , г)3/5.

6.3. 40/51.

6.4. 7/12, M (X )=1.

6.5. D (X ) = 1/64, σ (Х )=1/8

6.6. M (X )=1 , D (X ) =2 , σ (Х )= 1 .

6.7. Р(2,5<Х <5)=е -1 е -2 ≈0,2325 6.8. Р(2≤Х ≤5)=0,252.

б) Р (10 < Х < 14) ≈ 0,1574.

б) Р (3,1 ≤ Х ≤ 3,7) ≈ 0,8185.

6.11. |x |≥0,6.

6.12. (-0,5; -0,1).

6.13. а) Р(9,8 ≤ Х ≤ 10,4) ≈ 0,6562 6.14. 0,111.

б) (9,1; 10,9).

6.15. σ = 1,2.

6.16. (-6; 30).

6.17. 0,4 %.

Рассмотрим дискретные распределения, которые часто используются при моделировании систем сервиса.

Распределение Бернулли. Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода - «успех» и «неудача» с вероятностями р и q = 1 - р. Пусть случайная переменная X может принимать два значения с соответствующими вероятностями:

Функция распределения Бернулли имеет вид

Ее график показан на рис. 11.1.

Случайная величина с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли.

Производящая функция, согласно (11.1) и (11.15), вычисляется как

Рис. 11.1.

По формуле (11.6) найдем математическое ожидание распределения:

Вычислим вторую производную производящей функции по (11.17)

По (11.7) получим дисперсию распределения

Распределение Бернулли играет большую роль в теории массового сервиса, являясь моделью любого случайного эксперимента, исходы которого принадлежат двум взаимно исключающим классам.

Геометрическое распределение. Предположим, что события происходят в дискретные моменты времени независимо друг от друга. Вероятность того, что событие произойдет, равна р, а вероятность того, что оно не произойдет, q = 1-р, например пришедший клиент делает заказ.

Обозначим через р к вероятность того, что событие произойдет 1-й раз в момент к, т.е. к -й клиент сделал заказ, а предыдущие к- 1 клиентов нет. Тогда вероятность этого сложного события можно определить по теореме умножения вероятностей независимых событий

Вероятности событий при геометрическом распределении показаны на рис. 11.2.

Сумма вероятностей всех возможных событий

представляет собой геометрическую прогрессию, поэтому распределение и называется геометрическим. Так как (1 - р)

Случайная величина Хс геометрическим распределением имеет смысл номера первого успешного испытания в схеме Бернулли.

Рис. 11.2.

Определим вероятность того, что событие произойдет для Х>к

и функцию геометрического распределения

Вычислим производящую функцию геометрического распределения по (11.1) и (11.20)

математическое ожидание геометрического распределения по (11.6)

а дисперсию по (11.7)

Геометрическое распределение считается дискретной версией непрерывного экспоненциального распределения и также обладает рядом свойств, полезных для моделирования систем сервиса. В частности, как экспоненциальное распределение, геометрическое не имеет памяти:

т.е. если проведено / неуспешных опытов, тогда вероятность того, что для первого успеха необходимо провести еще j новых опытов, такая же, как вероятность того, что при новой серии испытаний для первого успеха необходимо провести./"опытов. Другими словами, предыдущие опыты не оказывают эффекта на будущие опыты и опыты являются независимыми. Часто это соответствует действительности. Например, клиенты независимы и заказы делают случайным образом.

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой подчиняются геометрическому распределению.

В распоряжении мастера имеется п однотипных запасных деталей. Каждая деталь с вероятностью q имеет дефект. При ремонте деталь устанавливается в устройство, которое проверяется на работоспособность. Если устройство не работает, то деталь заменяется на другую. Рассматривается случайная величина X - число деталей, которые будут проверены.

Вероятности числа проверенных деталей будут иметь значения, показанные в таблице:

Здесь q = 1 - р.

Математическое ожидание числа проверенных деталей определяется как

Биномиальное распределение. Рассмотрим случайную величину

где Xj подчиняется распределению Бернулли с параметром р и случайные величины Xj независимы.

Значение случайной величины X будет равно числу появления единиц при п испытаниях, т.е. случайная величина с биномиальным распределением имеет смысл числа успехов в п независимых испытаниях.

Согласно (11.9), производящая функция суммы взаимно независимых случайных величин, каждая из которых имеет распределение Бернулли, равна произведению их производящих функций (11.17):

Раскладывая производящую функцию (11.26) в ряд, получим

В соответствии с определением производящей функции (11.1) вероятность того, что случайная величина X примет значение к:

где - биномиальные коэффициенты.

11оскольку & единиц на п местах можно расположить С* способами, то число выборок, содержащих к единиц, будет, очевидно, таким же.

Функция распределения для биномиального закона вычисляется по формуле

Распределение называется биномиальным в связи с тем, что вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома:

Ясно, что суммарная вероятность всех возможных исходов равна 1:

Из (11.29) можно получить ряд полезных свойств биномиальных коэффициентов. Например, при р =1, q =1 получим

Если положить р =1, q = - 1 , то

При любом 1к справедливы следующие соотношения:

Вероятности того, что в п испытаниях событие наступит: 1) менее &раз; 2) более к раз; 3) не менее &раз; 4) не более &раз, находят соответственно по формулам:

Используя (11.6), определим математическое ожидание биномиального распределения

а по (11.7) - дисперсию:

Рассмотрим несколько примеров систем, параметры функционирования которых описываются биномиальным распределением.

1. Партия из 10 продуктов содержит один нестандартный. Найдем вероятность того, что при случайной выборке 5 продуктов все они будут стандартными (событие А).

Число всех случайных выборок п - С , э 0 , а число выборок, благоприятствующих событию, есть п = С 9 5 . Таким образом, искомая вероятность равна

2. При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2к новых электрических ламп. Каждая электрическая лампа в течение года перегорает с вероятностью р. Найдем вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных ламп придется заменить новыми (событие А):

3. Человек, принадлежащий к определенной группе потребителей, с вероятностью 0,2 предпочитает продукт 1, с вероятностью 0,3 - продукт 2, с вероятностью 0,4 - продукт 3, с вероятностью 0,1 - продукт 4. Выбрана наугад группа из 6 потребителей. Найдем вероятности следующих событий: А - в составе группы находятся не менее 4 потребителей, предпочитающих продукт 3; В- в составе группы находится хотя бы один потребитель, предпочитающий продукт 4.

Эти вероятности равны:

При больших/? вычисления вероятностей становятся громоздкими, поэтому используют предельные теоремы.

Локальная теорема Лапласа , согласно которой вероятность Р п (к) определяется формулой

где - функция Гаусса;

Интегральная теорема Лапласа используется для вычисления вероятности того, что в п независимых испытаниях событие наступит не менее к { раз и не более к 2 раз:

Рассмотрим примеры использования данных теорем.

1. Швейная мастерская производит пошив одежды по индивидуальному заказу, среди которой 90 % высшего качества. Найдем вероятность того, что среди 200 изделий будет высшего качества не меньше 160 и не больше 170.

Решение:

2. У страховой компании имеется 12 тыс. клиентов. Каждый из них, страхуясь от несчастного случая, вносит 10 тыс. руб. Вероятность несчастного случая р - 0,006, а выплата пострадавшему 1 млн руб. Найдем прибыль страховой компании, обеспечиваемую с вероятностью 0,995; иными словами, на какую прибыль может рассчитывать страховая компания при уровне риска 0,005.

Решение: Суммарный взнос всех клиентов 12 000-10 000 = 120 млн руб. Прибыль Якомпании зависит от числа к несчастных случаев и определяется равенством Я = 120 000-1000/: тыс. руб.

Следовательно, надо найти такое число Л/, чтобы вероятность события Р(к > М) не превосходила 0,005. Тогда с вероятностью 0,995 будет обеспечена прибыль Я =120000-10004/ тыс. руб.

Неравенство Р(к > М) Р(к0,995. Так как к > 0, то Р(0 0,995. Для оценки этой вероятности воспользуемся интегральной теоремой Лапласа при п- 12 000 и/?=0,006, #=0,994:

Так как*! F(x ]) = -0,5.

Таким образом, необходимо найти Л/, при котором

Находим (М - 72)/8,5 > 2,58. Следовательно, М>12 + 22 = 94.

Итак, с вероятностью 0,995 компания гарантирует прибыль

Часто требуется определить наивероятнейшее число к 0 . Вероятность наступления события с числом успехов к 0 превышает или по крайней мере не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число к 0 определяют из двойного неравенства

3. Пусть имеется 25 образцов средств потребления. Вероятность того, что каждый из образцов будет приемлем для клиента, равна 0,7. Необходимо определить наиболее вероятное число образцов, которые окажутся приемлемыми для клиентов. По (11.39)

Отсюда к 0 - 18.

Распределение Пуассона. Распределение Пуассона определяет вероятность того, что при очень большом числе испытаний п, в каждом из которых вероятность события р очень мала, событие наступит ровно к щз.

Пусть произведение пр = к; это означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний, т.е. при различных п, остается неизменным. В этом случае распределение Пуассона может использоваться для аппроксимации биномиального распределения:

Так как для больших п

Производящая функция распределения Пуассона вычисляется по (11.1) как

где по формуле Маклорена

В соответствии со свойством коэффициентов производящей функции вероятность появления к успехов при среднем числе успехов X вычисляется как (11.40).

На рис. 11.3 показана плотность вероятности распределения Пуассона.

Производящую функцию распределения Пуассона можно также получить, воспользовавшись разложением в ряд производящей функции биномиального распределения для пр = Х при п -» оо и формулой Маклорена (11.42):

Рис. 11.3.

Определим математическое ожидание по (11.6)

а дисперсию по (11.7)

Рассмотрим пример системы с пуассоновским распределением параметров.

Предприятие отправило в магазин 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено изделий: ровно 3 (событие Я); менее 3 (событие В) более 3 (событие Q; хотя бы одно (событие D).

Число п = 500 велико, вероятность р = 0,002 мала, рассматриваемые события (повреждение изделий) независимы, поэтому можно использовать формулу Пуассона (11.40).

При X = пр = 500 0,002=1 получим:

Распределение Пуассона обладает рядом полезных для моделирования систем сервиса свойств.

1. Сумма случайных переменных Х= Х { + Х 2 с пуассоновским распределением также распределена по закону Пуассона.

Если случайные переменные имеют производящие функции:

то, согласно (11.9), производящая функция суммы независимых случайных переменных с пуассоновским распределением будет иметь вид:

Параметр результирующего распределения равен Х х + Х 2 .

2. Если число элементов./V множества подчиняется пуассоновскому распределению с параметром X и каждый элемент выбирается независимо с вероятностью р, тогда элементы выборки размером Y распределены по закону Пуассона с параметром рХ.

Пусть , где отвечает распределению Бернулли, а N - распределению Пуассона. Соответствующие производящие функции, согласно (11.17), (11.41):

Производящая функция случайной переменной Y вычисляется в соответствии с (11.14)

т.е. производящая функция соответствует распределению Пуассона с параметром рХ.

3. Как следствие свойства 2 справедливо следующее свойство. Если число элементов ^множества распределено по закону Пуассона с параметром X и множество случайным образом распределяется с вероятностями /?, и р 2 = 1 - Р на две группы, тогда размеры множеств 7V, и N 2 независимы и распределены по Пуассону с параметрами р{к и р{к.

Для удобства использования представим полученные результаты относительно дискретных распределений в виде табл. 11.1 и 11.2.

Таблица 11.1. Основные характеристики дискретных распределений

Табл и ца 11. 2. Производящие функции дискретных распределений

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. Какие распределения вероятностей относят к дискретным?
• 2. Что такое производящая функция и для чего оно используется?
• 3. Как вычислить моменты случайных величин с использованием производящей функции?
• 4. Чему равна производящая функция суммы независимых случайных величин?
• 5. Что называется составным распределением и как вычисляются производящие функции составных распределений?
• 6. Дайте основные характеристики распределения Бернулли, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 7. Дайте основные характеристики геометрического распределения, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 8. Дайте основные характеристики биномиального распределения, приведите пример использования в задачах сервиса.
• 9. Дайте основные характеристики распределения Пуассона, приведите пример использования в задачах сервиса.

– количество мальчиков среди 10 новорождённых.

Совершенно понятно, что это количество заранее не известно, и в очередном десятке родившихся детей может оказаться:

Либо мальчиков – один и только один из перечисленных вариантов.

И, дабы соблюсти форму, немного физкультуры:

– дальность прыжка в длину (в некоторых единицах) .

Её не в состоянии предугадать даже мастер спорта:)

Тем не менее, ваши гипотезы?

2) Непрерывная случайная величина – принимает все числовые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Примечание : в учебной литературе популярны аббревиатуры ДСВ и НСВ

Сначала разберём дискретную случайную величину, затем – непрерывную .

Закон распределения дискретной случайной величины

– этосоответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями. Чаще всего закон записывают таблицей:

Довольно часто встречается термин ряд распределения , но в некоторых ситуациях он звучит двусмысленно, и поэтому я буду придерживаться «закона».

А теперь очень важный момент : поскольку случайная величина обязательно примет одно из значений , то соответствующие события образуют полную группу и сумма вероятностей их наступления равна единице:

или, если записать свёрнуто:

Так, например, закон распределения вероятностей выпавших на кубике очков имеет следующий вид:

Без комментариев.

Возможно, у вас сложилось впечатление, что дискретная случайная величина может принимать только «хорошие» целые значения. Развеем иллюзию – они могут быть любыми:

Пример 1

Некоторая игра имеет следующий закон распределения выигрыша:

…наверное, вы давно мечтали о таких задачах:) Открою секрет – я тоже. В особенности после того, как завершил работу над теорией поля .

Решение : так как случайная величина может принять только одно из трёх значений, то соответствующие события образуют полную группу , а значит, сумма их вероятностей равна единице:

Разоблачаем «партизана»:

– таким образом, вероятность выигрыша условных единиц составляет 0,4.

Контроль: , в чём и требовалось убедиться.

Ответ :

Не редкость, когда закон распределения требуется составить самостоятельно. Для этого используют классическое определение вероятности , теоремы умножения / сложения вероятностей событий и другие фишки тервера :

Пример 2

В коробке находятся 50 лотерейных билетов, среди которых 12 выигрышных, причём 2 из них выигрывают по 1000 рублей, а остальные – по 100 рублей. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша, если из коробки наугад извлекается один билет.

Решение : как вы заметили, значения случайной величины принято располагать в порядке их возрастания . Поэтому мы начинаем с самого маленького выигрыша, и именно рублей.

Всего таковых билетов 50 – 12 = 38, и по классическому определению :
– вероятность того, что наудачу извлечённый билет окажется безвыигрышным.

С остальными случаями всё просто. Вероятность выигрыша рублей составляет:

Проверка: – и это особенно приятный момент таких заданий!

Ответ : искомый закон распределения выигрыша:

Следующее задание для самостоятельного решения:

Пример 3

Вероятность того, что стрелок поразит мишень, равна . Составить закон распределения случайной величины – количества попаданий после 2 выстрелов.

…я знал, что вы по нему соскучились:) Вспоминаем теоремы умножения и сложения . Решение и ответ в конце урока.

Закон распределения полностью описывает случайную величину, однако на практике бывает полезно (а иногда и полезнее) знать лишь некоторые её числовые характеристики .

Математическое ожидание дискретной случайной величины

Говоря простым языком, это среднеожидаемое значение при многократном повторении испытаний. Пусть случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно. Тогда математическое ожидание данной случайной величины равно сумме произведений всех её значений на соответствующие вероятности:

или в свёрнутом виде:

Вычислим, например, математическое ожидание случайной величины – количества выпавших на игральном кубике очков:

Теперь вспомним нашу гипотетическую игру:

Возникает вопрос: а выгодно ли вообще играть в эту игру? …у кого какие впечатления? Так ведь «навскидку» и не скажешь! Но на этот вопрос можно легко ответить, вычислив математическое ожидание, по сути – средневзвешенный по вероятностям выигрыш:

Таким образом, математическое ожидание данной игры проигрышно .

Не верь впечатлениям – верь цифрам!

Да, здесь можно выиграть 10 и даже 20-30 раз подряд, но на длинной дистанции нас ждёт неминуемое разорение. И я бы не советовал вам играть в такие игры:) Ну, может, только ради развлечения .

Из всего вышесказанного следует, что математическое ожидание – это уже НЕ СЛУЧАЙНАЯ величина.

Творческое задание для самостоятельного исследования:

Пример 4

Мистер Х играет в европейскую рулетку по следующей системе: постоянно ставит 100 рублей на «красное». Составить закон распределения случайной величины – его выигрыша. Вычислить математическое ожидание выигрыша и округлить его до копеек. Сколько в среднем проигрывает игрок с каждой поставленной сотни?

Справка : европейская рулетка содержит 18 красных, 18 чёрных и 1 зелёный сектор («зеро»). В случае выпадения «красного» игроку выплачивается удвоенная ставка, в противном случае она уходит в доход казино

Существует много других систем игры в рулетку, для которых можно составить свои таблицы вероятностей. Но это тот случай, когда нам не нужны никакие законы распределения и таблицы, ибо доподлинно установлено, что математическое ожидание игрока будет точно таким же. От системы к системе меняется лишь

Нормальный закон распределения вероятностей

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:


Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение и рассчитываем высоту:

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость ! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота , и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений и .

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно. Так, например, при функция принимает вид и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:


Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная ; её функция плотности – чётная , и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а») , график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении график становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении «сигмы» в два раза: предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:

Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков .

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным , а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным . Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа : . Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей . Вспоминаем её определение :
– вероятность того, что случайная величина примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная , которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению ставится в соответствие несобственный интеграл , который равен некоторому числу из интервала .

Почти все значения не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции стандартного распределения соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

=НОРМСТРАСП(z)

Раз, два – и готово:

На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения , и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба .

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти –вероятность того, что нормальная случайная величина примет значение из интервала . Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:

но каждый раз вымучивать приближенное значение неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу :
.

! Вспоминает также , что

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения , скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:

Примечание : функцию легко получить из общего случая с помощью линейной замены . Тогда и:

и из проведённой замены как раз следует формула перехода от значений произвольного распределения – к соответствующим значениям стандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений , с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа :

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа , то решаем через неё:

Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета .

Напоминаю, что , и во избежание путаницы всегда контролируйте , таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Тренируемся самостоятельно:

Пример 3

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля :

– вероятность того, что значение случайной величины отклонится от математического ожидания менее чем на .

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина примет значение из промежутка .

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на составляет:
или 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез .

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Пример 4

Случайная величина ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию, и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение и по формуле :

– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ :

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении . Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте) , а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Пример 5

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью попадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Пример 6

Нормально распределенная случайная величина задана своими параметрами (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что примет значение из интервала ;
в) найти вероятность того, что отклонится по модулю от не более чем на ;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины .

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц;)

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Пример 7

Плотность распределения вероятностей случайной величины имеет вид . Найти , математическое ожидание , дисперсию , функцию распределения , построить графики плотности и функции распределения, найти .

Решение : прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение . И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция определена при любом действительном значении , и её можно привести к виду , то случайная величина распределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь :


Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:

, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
– по правилу действий со степенями «отщипываем» . И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:

Теперь найдём значение параметра . Поскольку множитель нормального распределения имеет вид и , то:
, откуда выражаем и подставляем в нашу функцию:
, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид .

Построим график плотности:

и график функции распределения :

Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке функция распределения принимает значение и здесь находится