В этом параграфе мы снова покинем прекрасное и уютное царство целых чисел, по которому разгуливали (чуть было не сказал - слонялись) изучая теорию сравнений. Если проследить историю возникновения и развития знаний человечества о числах, то выявится довольно парадоксальный факт - на протяжении почти всей своей многовековой истории человечество использовало на практике и пристально изучало исключительно малую долю всего множества живущих в природе чисел. Люди долгое время совершенно не подозревали о существовании, как выяснилось впоследствии, подавляющего большинства действительных чисел, наделенных удивительными и загадочными свойствами и называемых теперь трансцендентными. Судите сами (перечисляю ориентировочные этапы развития понятия действительного числа):

1) Идущая из глубины тысячелетий гениальная математическая абстракция натурального числа

Гениальность этой абстракции поражает, а ее значение для развития человечества превосходит, наверное, даже изобретение колеса. Мы привыкли к ней настолько, что перестали восхищаться этим самым выдающимся достижением человеческого разума. Однако попробуйте, для пущей достоверности представив себя не студентом-математиком, а первобытным человеком, или, скажем, студентом-филологом, сформулировать точно, что общего имеется между тремя хижинами, тремя быками, тремя бананами и тремя ультразвуковыми томографами (что общего между тремя собутыльниками мы здесь не рассматриваем). Объяснять не математику, что такое натуральное число “три” - почти безнадежная затея, однако уже пятилетний человеческий детеныш внутренне ощущает эту абстракцию и в состоянии разумно оперировать с ней, выпрашивая у мамы три конфеты вместо двух.

2) Дроби, т.е. положительные рациональные числа

Дроби естественно возникли при решении задач о разделе имущества, измерении земельных участков, исчислении времени и т.п. В древней Греции рациональные числа вообще являлись символом гармонии окружающего мира и проявлением божественного начала, а все отрезки, до некоторого времени, считались соизмеримыми, т.е. отношение их длин обязано было выражаться рациональным числом, иначе - труба (а боги этого допустить не могут).

3) Отрицательные числа и ноль (согласно некоторым научным источникам

Отрицательные числа первоначально трактовались как долг при финансовых и бартерных расчетах, однако потом выяснилось, что без отрицательных чисел и в других областях человеческой деятельности никуда не денешься (кто не верит, пусть посмотрит зимой на градусник за окном). Число ноль, на мой взгляд, первоначально служило скорее не символом пустого места и отсутствием всякого количества, а символом равенства и завершенности процесса расчетов (сколько был должен соседу, столько ему и отдал, и вот теперь – ноль, т.е. жалко).

4) Иррациональные алгебраические числа

Иррациональные числа открыли в пифагорейской школе при попытке соизмерить диагональ квадрата с его стороной, но хранили это открытие в страшной тайне – как бы смуты не вышло! В это открытие посвящались только наиболее психически устойчивые и проверенные ученики, а истолковывалось оно как отвратительное явление, нарушающее гармонию мира. Но нужда и война заставили человечество учиться решать алгебраические уравнения не только первой степени с целыми коэффициентами. После Галилея снаряды стали летать по параболам, после Кеплера планеты полетели по эллипсам, механика и баллистика стали точными науками и везде нужно было решать и решать уравнения, корнями которых являлись иррациональные числа. Поэтому с существованием иррациональных корней алгебраических уравнений пришлось смириться, какими бы отвратительными они не казались. Более того, методы решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, открытые в 16 веке итальянскими математиками Сципионом дель Ферро, Никколо Тартальей (Тарталья – это прозвище, означающее в переводе – заика, настоящей его фамилии я не знаю), Людовиком Феррари и Рафаэлем Бомбелли привели к изобретению совсем уж “сверхъестественных” комплексных чисел, которым суждено было получить полное признание только в 19 веке. Алгебраические иррациональности прочно вошли в человеческую практику уже с 16 века.

В этой истории развития понятия числа не нашлось места для трансцендентных чисел, т.е. чисел не являющихся корнями никакого алгебраического уравнения с рациональными или, что равносильно (после приведения к общему знаменателю), целыми коэффициентами. Правда, еще древние греки знали замечательное число p , которое, как выяснилось впоследствии, трансцендентно, но они знали его только как отношение длины окружности к ее диаметру. Вопрос об истинной природе этого числа вообще мало кого интересовал до тех пор, пока люди вдоволь и безуспешно не нарешались древнегреческой задачей о квадратуре круга, а само число p каким-то загадочным образом повылезало в разных разделах математики и естествознания.

Лишь только в 1844 году Лиувилль построил исторически первый пример трансцендентного числа, а математический мир удивился самому факту существования таких чисел. Лишь только в 19 веке гениальный Георг Кантор понял, используя понятие мощности множества, что на числовой прямой трансцендентных чисел подавляющее большинство. Лишь только в пятом параграфе этой небольшой книжки мы, наконец-то, обратим на трансцендентные числа свое внимание.

Пункт 24. Мера и категория на прямой.

В этом пункте я приведу некоторые предварительные сведения из математического анализа необходимые для понимания дальнейшего изложения. В математике придумано довольно много различных формализаций понятия “малости” множества. Нам понадобятся два из них - множества меры нуль и множества первой категории по Бэру. Оба эти понятия опираются на понятие счетности множества. Известно, что множество рациональных чисел счетно (| Q |= А 0), и что любое бесконечное множество содержит счетное подмножество, т.е. счетные множества самые “маленькие” из бесконечных. Между любым счетным множеством и множеством натуральных чисел N существует биективное отображение, т.е. элементы любого счетного множества можно перенумеровать, или, другими словами, любое счетное множество можно выстроить в последовательность. Ни один интервал на прямой не является счетным множеством. Это, очевидно, вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1 (Кантор). Для любой последовательности { a n } действительных чисел и для любого интервала I существует точка р О I такая, что p № a n для любого n О N .

Доказательство. Процесс. Берем отрезок (именно отрезок, вместе с концами) I 1 М I такой, что a 1 П I 1 . Из отрезка I 1 берем отрезок I 2 М I 1 такой, что a 2 П I 2 и т.д. Продолжая процесс, из отрезка I n -1 берем отрезок I n М I n -1 такой, что a n П I n . В результате этого процесса получаем последовательность вложенных отрезков I 1 Й I 2 Й … Й I n Й … пересечение
которых, как известно с первого курса, непусто, т.е. содержит некоторую точку
. Очевидно, что p № a n при всех n О N .

Я не думаю, что читатели ранее не встречались с этим изящным доказательством (хотя в моей практике встречались и очень темные студенты), просто идея этого доказательства далее будет использована при доказательстве теоремы Бэра и поэтому ее полезно напомнить заранее.

Определение. Множество А плотно в интервале I , если оно имеет непустое пересечение с каждым подинтервалом из I . Множество А плотно, если оно плотно в R . Множество А нигде не плотно, если оно не плотно ни в каком интервале на действительной прямой, т.е. каждый интервал на прямой содержит подинтервал, целиком лежащий в дополнении к А .

Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его дополнение A ў содержит плотное открытое множество. Легко понять, что множество А нигде не плотно тогда и только тогда, когда его замыкание
не имеет ни одной внутренней точки.

Нигде не плотные множества на прямой интуитивно ощущаются маленькими в том смысле, что в них полным полно дыр и точки такого множества расположены на прямой довольно редко. Некоторые свойства нигде не плотных множеств сформулируем скопом в виде теоремы.

Теорема 2. 1) Любое подмножество нигде не плотного множества нигде не плотно.

2) Объединение двух (или любого конечного числа) нигде не плотных множеств нигде не плотно.

3) Замыкание нигде не плотного множества нигде не плотно.

Доказательство. 1) Очевидно.

2) Если A 1 и A 2 нигде не плотны, то для каждого интервала I найдутся интервалы I 1 М (I \ A 1) и I 2 М (I 1 \ A 2). Значит, I 2 М I \(A 1 И A 2), а это означает, что A 1 И A 2 нигде не плотно.

3) Очевидно, что любой открытый интервал, содержащийся в A ў , содержится также и в
.

Таким образом, класс нигде не плотных множеств замкнут относительно операции взятия подмножеств, операции замыкания и конечных объединений. Счетное объединение нигде не плотных множеств, вообще говоря, не обязано быть нигде не плотным множеством. Пример тому - множество рациональных чисел, которое всюду плотно, но является счетным объединением отдельных точек, каждая из которых образует одноэлементное нигде не плотное множество в R .

Определение. Множество, которое можно представить в виде конечного или счетного объединения нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории (по Бэру). Множество, которое нельзя представить в таком виде, называется множеством второй категории.

Теорема 3. 1) Дополнение любого множества первой категории на прямой является плотным.

2) Никакой интервал в R не является множеством первой категории.

3) Пересечение любой последовательности плотных открытых множеств является плотным множеством.

Доказательство. Три сформулированных в теореме свойства являются по существу эквивалентными. Докажем первое. Пусть

– представление множества А первой категории в виде счетного объединения нигде не плотных множеств, I – произвольный интервал. Далее - процесс как в доказательстве теоремы Кантора. Выберем отрезок (именно отрезок, вместе с концами) I 1 М (I \ A 1). Это возможно сделать, так как в дополнении к нигде не плотному множеству A 1 внутри интервала I всегда найдется целый подинтервал, а он, в свою очередь, содержит внутри себя целый отрезок. Выберем отрезок I 2 М (I 1 \ A 2). Выберем отрезок I 3 М (I 2 \ A 3) и т.д. Пересечение вложенных отрезков
не пусто, следовательно, дополнение I \ A не пусто, а это означает, что дополнение A ў плотно.

Второе утверждение теоремы непосредственно следует из первого, третье утверждение также следует из первого, если только сделать над собой усилие и перейти к дополнениям последовательности плотных открытых множеств.

Определение. Класс множеств, содержащий всевозможные конечные или счетные объединения своих членов и любые подмножества своих членов, называется s - идеалом.

Очевидно, что класс всех не более чем счетных множеств является s -идеалом. После небольших размышлений, легко понять, что класс всех множеств первой категории на прямой также является s -идеалом. Еще один интересный пример s -идеала дает класс так называемых нуль-множеств (или множеств меры нуль).

Определение. Множество А М R называется множеством меры нуль (нуль-множеством), если А можно покрыть не более чем счетной совокупностью интервалов, суммарная длина которых меньше любого наперед заданного числа e >0 , т.е. для любого e >0 существует такая последовательность интервалов I n , что
и е Ѕ I n Ѕ < e .

Понятие нуль-множества является другой формализацией интуитивного понятия “малости” множества: нуль-множества - это множества маленькие по длине. Очевидно, что отдельная точка является нуль-множеством и что любое подмножество нуль-множества само является нуль-множеством. Поэтому тот факт, что нуль-множества образуют s -идеал вытекает из следующей теоремы.

Теорема 4 (Лебег). Любое счетное объединение нуль-множеств является нуль-множеством.

Доказательство. Пусть A i – нуль-множества, i = 1, 2, ... . Тогда для каждого i существует последовательность интервалов I ij (j =1, 2, ...) такая, что
и
. Множество всех интервалов I ij покрывает А и сумма их длин меньше e , так как
. Значит, А – нуль-множество.

Никакой интервал или отрезок не является нуль-множеством, т.к. справедлива

Теорема 5 (Гейне – Борель). Если конечная или бесконечная последовательность интервалов I n покрывает интервал I , то

S Ѕ I n Ѕ і Ѕ I Ѕ .

Я не буду приводить здесь доказательство этой интуитивно очевидной теоремы ибо его можно найти в любом мало-мальски серьезном курсе математического анализа.

Из теоремы Гейне-Бореля следует, что s -идеал нуль-множеств, подобно s -деалам не более чем счетных множеств и множеств первой категории не содержит интервалов и отрезков. Общим между этими тремя s -идеалами является также то, что они включают в себя все конечные и счетные множества. Кроме того, существуют несчетные множества первой категории меры нуль. Наиболее знакомый пример такого множества - канторово совершенное (*) множество c М , состоящее из чисел, в троичной записи которых нет единицы. Вспомните процесс построения канторова совершенного множества: отрезок делится на три равные части и средний открытый интервал выкидывается. Каждая из двух оставшихся третей отрезка снова делится на три равные части и средние открытые интервалы из них выкидываются и т.д. Очевидно, что оставшееся после этого процесса множество нигде не плотно, т.е. первой категории. Легко подсчитать, что суммарная длина выкинутых средних частей равна единице, т.е. с имеет меру нуль. Известно, что с несчетно, т.к. несчетно множество бесконечных последовательностей, состоящих из нулей и двоек (каждый элемент с представляется троичной дробью в которой после запятой идет именно последовательность из нулей и двоек).

Предлагаю читателям самостоятельно проверить, что существуют множества первой категории, не являющиеся нуль-множествами, и существуют нуль-множества, не являющиеся множествами первой категории (впрочем, если вас затруднит придумывание соответствующих примеров, не отчаивайтесь, а просто дочитайте этот пункт до теоремы 6).

Таким образом, картинка соотношений между рассматриваемыми тремя s -идеалами такова:

Итак, мы ввели два понятия малости множеств. Нет ничего парадоксального, что множество, малое в одном смысле, может в другом смысле оказаться большим. Следующая теорема неплохо иллюстрирует эту мысль и показывает, что в некоторых случаях, введенные нами понятия малости могут оказаться диаметрально противоположными.

Теорема 6. Числовую прямую можно разбить на два дополняющих друг друга множества А и В так, что А есть множество первой категории, а В имеет меру нуль.

Доказательство. Пусть a 1 , a 2 ,…, a n ,… – занумерованное множество рациональных чисел (или любое другое счетное всюду плотное подмножество R ). Пусть I ij – открытый интервал длины 1/2 i+j c центром в точке a i . Рассмотрим множества:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Очевидно, что для любого e >0, можно выбрать j так, что 1/2 j < e . Тогда

,

следовательно, В – нуль-множество.

Далее,
– плотное открытое подмножество R т.к. оно есть объединение последовательности открытых интервалов и содержит все рациональные точки. Это означает, что его дополнение G j ў нигде не плотно, следовательно
– множество первой категории.

Не правда ли, удивительный результат! Из доказанной теоремы следует, что каждое подмножество прямой, оказывается, можно представить в виде объединения нуль-множества и множества первой категории. В следующем пункте мы рассмотрим конкретное разбиение R на два подмножества, одно из которых - трансцендентные числа Лиувилля - меры нуль, но второй категории по Бэру. Скорей в следующий пункт!

Примеры

История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году , когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

|заголовок3= Инструменты расширения
числовых систем |заголовок4= Иерархия чисел |список4=