Комплексное поле. Аксиомы поля
Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.
Лекция 2. Поле комплексных чисел.
Глава 2. Поле комплексных чисел.
п.1. Построение поля комплексных чисел.
Пусть
– декартов квадрат поля действительных
чисел, т.е.
– множество упорядоченных пар
действительных чисел. Определим на этом
множестве две внутренние бинарные
алгебраические операции – сложение и
умножение по следующим правилам:
положим по определению
(1)
(2)
.
Очевидно,
что сумма и произведение двух пар из
снова есть пара из множества
,
т.к. сумма, произведение и разность
действительных чисел есть действительные
числа. Таким образом,
– алгебраическая структура с двумя
внутренними бинарными алгебраическими
операциями.
Теорема.
– поле.
Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.
1. Закон ассоциативности относительно сложения:
.
Пусть
.
Тогда по определению сложения пар
и
.
С
другой стороны,
и
.
Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому и . Отсюда следует равенство пар , а отсюда следует, в свою очередь, равенство , ч.т.д.
2. Существование нулевого элемента:
.
Обозначим
,
где 0 – нулевой элемент поля действительных
чисел, т.е. число нуль. Пусть
– произвольная пара из
.
Тогда по определению сложения пар
и
.
Следовательно,
и пара
есть нулевой элемент относительно
операции сложения, существование
которого и требовалось доказать.
3. Существование противоположного элемента:
.
Пусть
– произвольная пара из
.
Покажем, что противоположным элементом является пара
.
Действительно, по определению
сложения пар имеем:
И . Отсюда следует равенство , ч.т.д.
4. Закон коммутативности относительно сложения:
.
Пусть
– две произвольные пары. Тогда по
определению сложения пар имеем:
И
.
Так как R – поле, то в нем
выполняется закон коммутативности
сложения и
,
,
откуда следует равенство пар:
и
,
ч.т.д.
5. Закон ассоциативности относительно умножения:
.
Пусть . Тогда по определению умножения пар
,
и
В
результате получились равные пары.
Следовательно,
,
ч.т.д.
6. Существование единичного элемента:
.
Положим по
определению
и покажем, что
– единичный элемент относительно
умножения. Пусть
.
Тогда по определению умножения пар
,
.
Таким образом,
,
ч.т.д.
7. Существование обратного элемента:
.
Пусть
и
,
т.е. числа а и b одновременно
не равны нулю, а значит
.
Положим по определению
и покажем, что этот элемент удовлетворяет
равенству
.
Действительно, по определению умножения
пар
,
Таким образом, мы проверили выполнение
равенства
,
ч.т.д.
8. Закон коммутативности относительно умножения:
.
Пусть
– две произвольные пары. Тогда по
определению умножения пар
Так как R – поле, то умножение и сложение действительных чисел подчиняется закону коммутативности и
,
,
откуда и следует равенство
,
ч.т.д.
9. Закон дистрибутивности умножения относительно сложения:
и
.
Пусть . Тогда по определению сложения и умножения пар
,
Здесь мы воспользовались законом дистрибутивности умножения относительно сложения, которому подчиняются действительные числа. Аналогично,
,
и
Отсюда мы видим, что
.
Для доказательства второго закона дистрибутивности воспользуемся только что доказанным законом дистрибутивности и законом коммутативности относительно умножения, который мы тоже уже доказали:
Теорема доказана.
Определение.
Поле
называется полем комплексных чисел, а
его элементы – упорядоченные пары
действительных чисел, называются
комплексными числами.
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначим через
– подмножество поля
,
состоящее из тех пар действительных
чисел, второй элемент которых равен
нулю. Пусть
.
Тогда по правилам сложения и умножения
пар
,
.
Это дает нам возможность отождествить
такие пары с их первым элементом, а само
множество
с множеством R.
Положим по
определению
.
Отсюда, в частности,
,
.
Для
пары
введем специальное обозначение. Положим
по определению
.
Тогда
(3)
.
Такую форму записи комплексного числа называют алгебраической.
Само поле комплексных чисел обозначают буквой С.
.
Заметим, далее,
что
.
Это означает, что комплексное число
является корнем квадратного уравнения
.
Легко видеть, что вторым корнем этого
уравнения является комплексное число
.
Действительно,
.
Таким образом, можно дать следующее определение комплексных чисел.
Определение.
Комплексным числом называется
упорядоченная пара действительных
чисел
,
которая обычно записывается в виде
,
где элемент i является
корнем квадратного уравнения
,
т.е.
.
Определение.
Пусть
– алгебраическая форма записи комплексного
числа. Элемент i называется
мнимой единицей. Действительное число
а называется вещественной частью
комплексного числа z и
обозначается
.
Действительное число b
называется мнимой частью комплексного
числа z и обозначается
.
Определение. Комплексное число, вещественная часть которого равна нулю, называется чисто мнимым.
Из определения алгебраической формы записи комплексного числа (см. равенство (3)) сразу же вытекает условие равенства двух комплексных чисел:
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части, т.е.
.
Здесь & – знак конъюнкции, логическая связка "и".
Замечание. Из
определений вытекает, что
,
т.е. любое действительное число есть
комплексное число с нулевой мнимой
частью. Любое комплексное число можно
рассматривать как результат сложения
двух комплексных чисел, одно из которых
является действительным числом (его
мнимая часть равна нулю), другое – чисто
мнимое:
п.3. Действия с комплексными числами в алгебраической форме записи.
Из
определения сложения пар (1) и алгебраической
формы записи комплексного числа (3)
следуют правила сложения и умножения
комплексных чисел в алгебраической
форме записи. Пусть
,
– произвольные комплексные числа. Тогда
Заметим, что этот же результат можно получить пользуясь доказанной теоремой. Множество комплексных чисел образует поле. В поле справедливы законы ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Рассматриваем каждое комплексное число как в замечании в конце п.2. – как результат сложения двух комплексных чисел. Тогда
Здесь мы воспользовались равенством
.
Таким образом, нет
нужды запоминать правила сложения (4) и
особенно умножения (5). Далее, понятно,
что
– нулевой элемент,
– противоположный.
Определяем операцию вычитания, как сложение с противоположным:
Примеры. 1).,
,
,
2). Решить уравнение в поле комплексных чисел:
.
Решение.
Находим дискриминант
.
По формуле корней квадратного уравнения
находим корни:
.
Ответ:
.
Замечание. Здесь
мы использовали равенство
,
откуда
.
Определим операцию
деления в любом поле К как умножение на
обратный элемент:
положим по определению
и
.
Легко проверить,
что
,
Действительно,
Однако, нет необходимости запоминать формулу (6). Лучше использовать одно простое правило. Но для этого введем сначала одно понятие.
Определение.
Комплексное число
называется комплексно сопряженным
комплексному числу
.
Из
определения сразу же следует, что число
является комплексно сопряженным числу
,
т.е. такие числа, которые отличаются
друг от друга лишь знаком мнимой части
являются комплексно сопряженными друг
другу.
Пример:
и
,
i и – i,
и т.п.
Правило деления комплексных чисел.
Для того, чтобы разделить одно комплексное число на другое, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число комплексно сопряженное знаменателю.
.
Примеры. ,
,
,
.
Замечание.
Если
,
то комплексно сопряженное к нему число
обозначается
.
п.4. Свойства комплексно сопряженных чисел.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. Для любого
многочлена
с действительными коэффициентами от
комплексной переменной z
.
Доказательство.
1) Пусть
– произвольное комплексное число. Тогда
по определению комплексно сопряженного
числа
и
,
ч.т.д.
2)
Пусть
.
Тогда
и
.
С другой стороны,
и
,
откуда и следует, что
.
3) Докажем с помощью метода математической индукции, что равенство верно для любого числа слагаемых n.
а) База индукции.
При
,
равенство
только что доказано.
б) Индукционная гипотеза.
Предположим,
что утверждение верно, если число
слагаемых равно
:.
в) Индукционный переход.
Так как утверждение верно для двух слагаемых, то
Откуда и следует доказываемое равенство.
4)
Пусть
.
Тогда
и
.
С другой стороны,
,
откуда и следует, что
.
5) Доказывается аналогично пункту 3) методом математической индукции.
6)
Пусть
и k – произвольное
натуральное число. Тогда по определению
натуральной степени числа
,
ч.т.д.
7)
Пусть а – действительное число. Тогда
и по определению комплексно сопряженного
числа
,
ч.т.д.
8)
Пусть
.
По уже доказанным в пунктах 4) и 7) свойствах
,
ч.т.д.
9)
Пусть z – комплексная
переменная и
– многочлен от комплексной переменной
z с действительными
коэффициентами:,
где
– действительные числа. Тогда, используя уже доказанные свойства, получаем:
Теорема доказана.
Пример.
Вычислить
.
Решение.
Обозначим
.
Тогда
,
,
.
Отсюда,
.
п.5. Понятие корня натуральной степени из комплексного числа.
Определение.
Пусть
–
произвольное натуральное число. Корнем
n-й степени из комплексного
числа z называется
комплексное число
,
такое, что
.
Позже будет доказана следующая теорема, которую мы пока примем без доказательства.
Теорема. (О существовании и количестве корней n-й степени из комплексного числа.)
Существует ровно n корней n-й степени из комплексного числа.
Для
обозначения корней n-й
степени из комплексного числа применяют
обычный знак радикала. Но есть одно
существенное отличие. Если а –
положительное действительное число,
то
по определению обозначает положительный
корень n-й степени, его
называют арифметическим корнем.
Если
n – нечетное число, то
существует единственный корень n-й
степени из любого действительного числа
а. При
этот единственный корень
является по определению арифметическим,
при
этот единственный корень
не является арифметическим, но может
быть выражен через арифметический
корень из противоположного числа:
,
где
является арифметическим, т.к.
.
Опр. Системой компл-х чисел наз-ся мин-ое поле, которое яв-ся расширением поля действительных чисел и в котором есть элемент i (i 2 -1=0)
Опр. Алгебра <ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i> наз-ся сис-ой комп-х чисел, если вып-ся следующие условия (аксиомы):
1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m
2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)
3. a,b∊ℂa+b=b+a
4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a
5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0
6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n
7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)
8. a,b∊ℂa∙b=b∙a
9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a
10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1
11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc
12.
13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b
14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0
15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ и (α∙β)∊ℳ}⇒ℳ=ℂ
Св-ва ℂ чисел:
1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i
2. Поле комп-х чисел нельзя линейно упорядочить т.е. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-невозможно.
3. Основная теорема алгебры: Поле ℂ чисел алгебраически замкнуто, то есть любой мн-н полож. степени над полем ℂ чисел имеет хотя бы один компл. корень
След-е из осн. теоремы алг.: Любой мн-н полож. степени над полем комплексных чисел можно разл-ть на произведение … первой степени с положительным коэффициентом.
След-е: любое квад-е ур-е имеет 2-а корня: 1) D>0 2-а разл. действ. корня 2)D=0 2-а деств. совп-х корня 3)D<0 2-а компл-х корня.
4. Аксиом. теория комплексных чисел категорична и непротиворечива
Методика.
В общеобразовательных классах не рассматривается понятие комплексного числа, ограничиваются лишь изучением действительных чисел. Но в старших классах школьники уже обладают достаточно зрелым математическим образованием и в состоянии понимать необходимость расширения понятия о числе. С точки зрения общего развития, знания о комплексных числах находят применение в естественных науках и технике, что немаловажно для школьника в процессе выбора будущей профессии. Авторы некоторых учебников включают изучение данной темы как обязательной в свои учебники по алгебре и началам математического анализа для профильных уровней, что предусмотрено государственным стандартом.
С методической точки зрения тема “Комплексные числа” развивает и углубляет заложенные в основном курсе математики представления о многочленах и числах, в известном смысле завершая путь развития понятия числа в средней школе.
Однако даже в старших классах у многих школьников плохо развито абстрактное мышление, или очень сложно представить себе «мнимую, воображаемую» единицу, понять различия между координатной и комплексной плоскостью. Или же наоборот, школьник оперирует абстрактными понятиями в отрыве от их реального содержания.
После изучения темы “Комплексные числа” ученики должны иметь четкое представление о комплексных числах, знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа. Учащиеся должны уметь производить над комплексными числами операции сложения, умножения, вычитания, деления, возведения в степень, извлечения корня из комплексного числа; переводить комплексные числа из алгебраической формы в тригонометрическую, иметь представление о геометрической модели комплексных чисел
В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 - интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел. Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.
В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.
Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра
В учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала математического анализа», профильный уровень, 10 класс тема «Комплексные числа» вводится во втором полугодии 10 класса сразу после изучения тем «Действительные числа» и «Тригонометрия». Такое размещение не случайно: и числовая окружность, и формулы тригонометрии находят активное применение при изучении тригонометрической формы комплексного числа, формулы Муавра, при извлечении из комплексного числа квадратного и кубического корней. Тема «Комплексные числа» представлена в 6-ой главе и разбита на 5 параграфов: комплексные числа и арифметические операции над ними; комплексные числа и координатная плоскость; тригонометрическая форма записи комплексного числа; комплексные числа и квадратные уравнения; возведение комплексного числа в степень, извлечение кубического корня из комплексного числа.
Понятие комплексного числа вводится как расширение понятия о числе и невозможности выполнения некоторых действий в действительных числах. В учебнике представлена таблица с основными числовыми множествами и операциями, допустимыми в них. Перечисляются минимальные условия, которым должны удовлетворять комплексные числа, и затем вводится понятие мнимой единицы, определение комплексного числа, равенство комплексных чисел, их сумма, разность, произведение и частное.
От геометрической модели множества действительных чисел переходят к геометрической модели множества комплексных чисел. Рассмотрение темы «Тригонометрическая форма записи комплексного числа» начинается с определения и свойств модуля комплексного числа. Далее рассматривается тригонометрическая форма записи комплексного числа, определение аргумента комплексного числа и стандартная тригонометрическая форма комплексного числа.
Далее изучается извлечение квадратного корня из комплексного числа, решение квадратных уравнений. И в последнем параграфе вводится формула Муавра и выводится алгоритм извлечения кубического корня из комплексного числа.
Также в рассматриваемом учебнике в каждом параграфе параллельно с теоретической частью рассматривается несколько примеров, иллюстрирующих теорию и дающих более осмысленное восприятие темы. Приведены краткие исторические факты.
рассмотрим множество R2 всевозможных упорядоченных пар (я» У) действительных чисел х%у € R. Для таких пар (а, Ь) = (с, d) тогда и только тогда, когда а = с и b - d. Введем 0а этом множестве R2 внутренние законы композиции в виде операций сложения и умножения. Сложение определим равенством £faa операция ассоциативна и коммутативна; она обладает (в соответствии с определением 4.5) нейтральным элементом (0, 0), и, по определению 4.6, для каждой пары (а, 6) можно указать симметричный (противоположный) элемент (-а, -6). Действительно, V(a, 6) £ R2 Кроме того, или Поле комплексных чисел. Умножение определим равенством Легко проверить, что введенная таким образом операция ассоциативна, коммутативна и относительно сложения дистрибутивна. Эта операция обладает нейтральным элементом, которым является пара (1, 0), поскольку Итак, относительно введенных операций сложения и умножения множество R2 является абелевым кольцом с единицей (см. табл. 4.1). ю* Между множеством пар (я, 0) € R2 и множеством действительных чисел ж G R нетрудно установить взаимно однозначное соответствие (ж, 0) х} из которого следует, что, Поле комплексных чисел. т.е. сложение и умножение таких пар выполняются так же, как и действительных чисел. Заменим пары вида (ж, 0) действительными числами, т.е. вместо (ж, 0) будем писать просто ж, в частности вместо (1, 0) - просто 1. Особое место в множестве R2 занимает пара (0, 1). Согласно (4.3) она обладает свойствами и получила специальное обозначение i, причем Тогда с учетом (4.2) и (4.3) любую пару (ж, у) € R2 можно представить в виде Поле комплексных чисел. Обозначим z. Элемент z называют комплексно сопряженным элементу z. С учетом (4.3) z-z = x2 -by2. Если z не совпадает с нейтральным элементом (0, 0), т.е. если ж и у неравны 0 одновременно (обозначают 2^0), то х2 + + у2 ф 0. Тогда обратным (симметричным, противоположным относительно операции умножения - см. 4.1) к элементу z = x + iy будет такой элемент г"1, что zz~l = 1 или zzz~l =z, т.е. (ж2 + y2)z~l = ж - гу. Отсюда -1_ Х 2 У \ Следовательно, всякий элемент гф О имеет обратный к свбе относительно операции умножения, а множество R2 с 00еденными на нем в соответствии с (4.1) и (4.3) операциями сложения и умножения является, таким образом, полем (см. табл. 4.1). Его называют полем (или множеством) комплексных чисел и обозначают С. Б силу указанного выше взаимно однозначного соответствия (г, 0) € R2 ++ х € R доле комплексных чисел является расширением поля действительных чисел. Любой элемент г в С называют комплексным числом^ а его запись в виде z = x + iy> где ж,у£ R и i2 = -l,- алгебраической формой представленил комплексного числа. При этом £ называют действительной частью комплексного числа и обозначают Re z, а у - мнимой частью и обозначают Imz (t именуют мнимой единицей). Заметим, что мнимая часть комплексного числа есть действительное число. Название для у не совсем удачно, но как дань исторической традиции осталось и по сей день. Термин „комплексное число44 ввел в 1803 г. французский математик JI. Карно (1753-1823), но систематически этот термин стал употреблять с 1828 г. К. Гаусс, чтобы заменить им менее удачное „мнимое число44. В русской математической литературе XIX в. использовали термин „составное число44. Уже у Р. Декарта противопоставлены действительная и мнимая части комплексного числа. В Дальнейшем первые буквы французских слов reele (действительный) и imagimaire (мнимый) стали обозначениями этих частей, хотя многие математики считали сущность мнимых величин неясной и даже загадочной и мистической. Так, И. Ньютон не включал их в понятие числа, а Г. Лейбницу принадлежит Фраза: „Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием44. Поскольку множество R2 всевозможных пар действительных чисел можно отождествить с точками на плоскости, ка- ждому комплексному числу z =? х + iy соответствует точка у) (рис. 4.1), что позволяет говорить о геометрической форме представления комплексного числа. При отождествлении комплексных чисел с точками плоскости ее называют ком-плексной плоскостью, или плоскостью комплексных чисел. На оси Ох располагают действительные числа, т.е. числа z, для которых lmz = y = 0, а на оси Оу -числа z = = iy, называемые чисто мнимыми, для которых Re г = х = 0. Поэто-Рис. 4.1 му координатные оси в комплексной плоскости называют соответственно действительной и мнимой. Точки плоскости, отвечающие комплексно сопряженным элементам z и z (комплексно сопряженным числам), симметричны относительно действительной оси, а точки, изображающие z и -г, симметричны относительно начала координат. Расстояние Поле комплексных чисел. точки М(ж, у), изображающей комплексное число z = x + iy на плоскости, от начала координат называют модулем комплексного числа и обозначают \z\ или г. Угол, который образует радиус-вектор точки М с положительным направлением оси Ох, называют аргументом комплексного числа и обозначают Argz или (р (см. рис. 4.1). Отсчет угла производят как в тригонометрии: положительным направлением изменения угла считают направление против часовой стрелки. Ясно, что Arg z определен не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2я\ Единственное значение аргумента, удовлетворяющее условию (иногда 0, называют главным и обозначают argz. Таким образом, Arg* = arg2: + 2штг, m € Z. Для z - 0 значение Args не определено. Соответствующую этому числу точку (начало координат) характеризуют лишь условием \z\ = г = 0. Итак, каждому комплексному числу z на комплексной плоскости отвечает радиус-вектор точки М(х, у), которую можно задать ее полярными координатами: полярным радиусом г ^ 0, равным модулю комплексного числа, и поллрным углом совпадающим с главным значением аргумента этого комплексного числа. Согласно известным из школьного курса тригонометрии определениям тригонометрических функций и обратных к ним (см. 3.5), при любом расположении точки z на комплексной плоскости имеем x=rcosy>= X С учетом ограничений, налагаемых на главное значение аргумента комплексного числа, получим если х > 0; если х 0; если х = 0 и у. Из (4.6) следует, что правомерна запись + tsiny>), (4.8) Называемая тригонометрической формой представления комплексного числа. Для перехода от алгебраической формы представления к тригонометрической используют (4.5) и (4.7)» а для обратного перехода - (4.6). Отметим, что два отличных от нуля комплексных числа равны тогда и только тогда, когда модули их равны, а аргументы отличаются на слагаемые, кратные 2тг. Согласно (4.1) суммой комплексных чисел z\ и г2 будет комплексное число а их разностью - Из этих формул следует, что сложение (или вычитание) комплексных чисел аналогично сложению (или вычитанию) векторов в комплексной плоскости по правилу параллелограмма (рис. 4.2) (при этом соответствующие координаты векторов складывают или вычитают). Поэтому для модулей комплексных чисел справедливы неравенства треугольник а в виде (длина любой стороны треугольника не больше суммы длин двух его других сторон). Однако этим аналогия между комплексными числами и векторами исчерпывается. Сумма или разность комплексных чисел может быть действительным числом (например, сумма комплексно сопряженных чисел г-f z = = 2х, х = Rez е R). Согласно (4.3) произведением комплексных чисел z\ и z2 будет комплексное число.Деление числа ф 0 вводят как действие, обратное умножению, т.е. под частным Z1/22 при V*2 ф 0 понимают комплексное число -г, удовлетворяющее равенству z^z = z\. После умножения обеих частей этого равенства на 22, получим Возведение комплексного числа z в степень п € N является умножением z на себя п раз с учетом того, что при к 6 N Поле комплексных чисел. Тригонометрическая форма записи (4.8) дает возможность упростить умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел. Так, для z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) и Z2 = Г2(со + -f isin no (4.3) можно установить, что На комплексной плоскости (рис. 4.3) умножению соответствует поворот отрезка ОМ на угол (против часовой стрелки при 0) и изменение его длины в Г2 = \z2\ раз, * делению - поворот этого отрезка на тот же угол по часовой стрелке и изменение его длины в 1/гг = 1/|г2| раз- Рассматривая возведение в степень п £ N как умножение z на себя п раз, полунаем В честь английского математика А. де Муавра (1667-1754) это соотношение называют формулой Муавра возведения комплексного числа в целую положительную степень. Возведение комплексного числа в рациональную степень q = m/n, q€ Q, m € Z, n6N, связано с возведением этого числа в степень 1/п, или, как принято говорить, с извлечением корня n-й степени из комплексного числа. Извлечение корня - это операция, обратная возведению в степень, т.е. = ш, если wn = z. Пусть). Тогда из (4.13) имеем и, учитывая равенство комплексных чисел, получим Из выражения (4.14), называемого формулой Муавра извлечения корня целой положительной степени из комплексного числа) следует, что среди возможных значений y/z различными будут п значений, соответствующих к = = 0, п - 1. Все п различных значений для $fz имеют один и фот же модуль, а их аргументы отличаются на углы, кратные 2jr/n. Значениям отвечают точки комплексной плоскости в вершинах правильного п-угольника, вписанного в окружность радиуса 1/f с центром в начале координат. При этом радиус-вектор одной из вершин образует с осью Ох угол (р/п. Из (4.13) и (4.14) следует формула для возведения комплексного числа z /0 в рациональную степень g€Q. Бели g = m/n, где m € Z и n € N, есть несократимая дробь, то Пример 4.10. Пусть Тогда, согласно (4.5), ri = 1 и rj = = 2. Анализируя действительные и мнимые части комплексных чисел z\ и Z2 (рис. 4.4), с учетом (4.7) получаем (Поэтому в тригонометрической форме. Согласно (4.11) и (4.12) найдем: Используя (4.13), возведем z\ в степень п = 4 применив (4.14), извлечем из z2 корень степени п = 3 Результаты вычислений приведены на рис. 4.4. Трем значениям корня третьей степени из zi соответствуют вершины правильного треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса причем полярные углы этих вершин = я*/18, 4>в = 13тг/18 и = 25тг/18 (или = -11^/18).
Понятие комплексного числа, прежде всего, связано с уравнением . Не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению.
Таким образом, комплексные числа возникли как обобщение (расширение) поля действительных чисел при попытках решать произвольные квадратные (и более общие) уравнения путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором всегда было бы выполнимо действие извлечения корня.
Определение. Число, квадрат которого равен - 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей.
Определение . Полем комплексных чисел С называется минимальное расширение поля действительных чисел, содержащее корень уравнения .
Определение . Поле С называется полем комплексных чисел , если оно удовлетворяет следующим условиям:
Теорема. (О существовании и единственности поля комплексных чисел). Существует единственное с точностью до обозначения корня уравнения поле комплексных чисел С .
Каждый элемент можно однозначно представить в следующем виде:
где , – корень уравнения i 2 +1=0.
Определение . Любой элемент называется комплексным числом , действительное число x называется действительной частью числа z и обозначается , действительное число y называетсямнимой частью числа z и обозначается .
Таким образом, комплексное число представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел x и y .
Если х =0, то число z= 0+iy=iy называется чисто мнимым или мнимым. Если y =0, то число z =x+ 0i=х отождествляется с действительным числом х.
Два комплексных числа и считаются равными, если равны их действительные и мнимые части:
Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:
Определение . Два комплексных числа, имеющих одну и ту же действительную часть, мнимые части которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку, называются комплексно–сопряженными или просто сопряженными .
Число,сопряженное числу z , обозначается . Таким образом, если , то .
1.3. Модуль и аргумент комплексного числа.
Геометрическое изображение комплексных чисел
Геометрически комплексное число изображается на плоскости (рис. 1) как точка М с координатами (x , y ).
Определение . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С , оси Ох и Оу, на которых расположены действительные числа и чисто мнимые числа , называются действительной и мнимой осями соответственно.
Положение точки можно определить также с помощью полярных координат r и φ , т.е. с помощью длины радиуса–вектора и величины угла наклона радиуса–вектора точки М (x, y ) к положительной действительной полуоси Ох .
Определение . Модулем комплексного числа называется длина вектора , изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.
Модуль комплексного числа обозначается или буквой r и равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей.
Комплексным числом z наз. выражение , где а и в – вещественные числа, i – мнимая единица или специальный знак.
При этом выполняются соглашения:
1) с выражением a+bi можно производить арифметические операции по правилам, которые приняты для буквенных выражений в алгебре;
5) равенство a+bi=c+di, где a, b, c, d – действительные числа, имеет место тогда и только тогда, когда a=c и b=d.
Число 0+bi=bi называется мнимым или чисто мнимым .
Любое действительное число а есть частный случай комплексного числа, ведь его можно записать в виде a=a+ 0i. В частности, 0=0+0i, но тогда ели a+bi=0, то a+bi=0+0i, следовательно, a=b=0.
Т.о., комплексное число a+bi=0 тогда и только тогда, когда a=0 и b=0.
Из соглашений следуют законы преобразования комплексных чисел:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Мы видим, что сумма, разность, произведение и частное (где делитель не равен нулю) комплексных чисел, в свою очередь комплексное число.
Число а наз. вещественной частью комплексного числа z (обозначается ), в – мнимая часть комплексного числа z (обозначается ).
Комплексное число z с нулевой вещественной частью наз. чисто мнимым , с нулевой мнимой – чисто вещественным.
Два комплексных числа наз.равными, если у них совпадают и вещественная и мнимая части.
Два комплексных числа наз. сопряженными , если у них веществ. части совпадают, а мнимые отличаются знаками. , то сопряженное к нему .
Сумма сопряженных чисел есть число веществ, а разность чисто мнимое число. На множестве комплексных чисел естественным образом определены операции умножения и сложения чисел. Именно, если и - два комплексных числа, то сумма: ; произведение: .
Определим теперь операции вычитания и деления.
Заметим, что произведение двух комплексных чисел есть число веществ.
(т.к. i=-1). Это число наз. квадратом модуля числа . Т.о., если число , то его модуль есть вещественное число.
В отличие от вещественных чисел для комплексных чисел не вводится понятие «больше», «меньше».
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью .
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP , изображающего комплексное число на координатной (комплексной ) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __
Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP , изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .
Тригонометрическая формакомплексного числа . Наряду с записью комплексного числа в алгебраической форме также употребляется и другая, называемая тригонометрической .
Пусть комплексное число z=a+bi изображается вектором ОА с координатами (a,b). Обозначим длину вектора ОА буковой r: r=|ОА|, а угол, который он образует с положительным направлением оси Ох – через угол φ.
Воспользовавшись определениями функций sinφ=b/r, cosφ=a/r, комплексное число z=a+bi можно записать в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где , а угол φ определяется из условий
Тригонометрической формой комплексного числа z называется его представление в виде z=r(cosφ+i*sinφ), где r и φ – действительные числа и r≥0.
Действительно число r называется модулем комплексного числа и обозначается |z|, а угол φ – аргументом комплексного числа z. Аргумент φ комплексного числа z обозначается Arg z.
Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме:
Это знаменитая формула Муавра.
8 .Векторное пространство. Примеры и простейшие свойства векторных пространств. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Базис и ранг конечной системы векторов
Векторное пространство - математическое понятие, обобщающее понятие совокупности всех (свободных) векторов обычного трёхмерного пространства.
Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа. В применении к любым векторам х, у, z и любым числам α, β эти правила удовлетворяют следующим условиям :
1) х +у =у +х (коммутативность сложения);
2)(х +у )+z =x +(y +z ) (ассоциативность сложения);
3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x +0 =x: для любого вектора x ;
4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х +у =0 ,
5) 1 · х =х, где 1 – единица поля
6) α (βx )=(αβ )х (ассоциативность умножения), где произведение αβ есть произведение скаляров
7) (α +β )х =αх +βх (распределительное свойство относительно числового множителя);
8) α (х +у )=αх +αу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
Векторным (или линейным) пространством называется множество R, состоящее из элементов любой природы (называемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и умножения элементов на действительные числа, удовлетворяющие условиям 1-8.
Примерами таких пространств могут служить множество действительных чисел, множество векторов на плоскости и в пространстве, матрицы и т.д.
Теорема “Простейшие свойства векторных пространств”
1. В векторном пространстве существует единственный нулевой вектор.
2. В векторном пространстве любой вектор имеет единственный противоположный ему.
4. .
Док-во
Пусть 0 – нулевой вектор векторного пространства V. Тогда . Пусть – еще один нулевой вектор. Тогда . Возьмем в первом случае , а во втором – . Тогда и , откуда следует, что , ч.т.д.
Сначала мы докажем, что произведение нулевого скаляра на любой вектор равен нулевому вектору.
Пусть . Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, получаем:
Относительно сложения векторное пространство является абелевой группой, а в любой группе справедлив закон сокращения. Применяя закон сокращения, из последнего равенства следует 0*х=0
Теперь докажем утверждение 4). Пусть – произвольный вектор. Тогда
Отсюда сразу же следует, что вектор (-1)х является противоположным вектору х.
Пусть теперь х=0. Тогда, применяя аксиомы векторного пространства, и получаем:
Пусть и допустим, что . Так как , где К – поле, то существует . Умножим равенство слева на : , откуда следует или 1*х=0 или х=0
Линейная зависимость и независимость системы векторов. Набор векторов называется системой векторов.
Система из векторов называется линейно-зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что (1)
Система из k векторов называется линейно-независимой, если равенство (1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1) тривиальная.
Замечания:
1. Один вектор тоже образует систему: при линейно-зависимую, а при линейно независимую.
2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.
Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов:
1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно-зависима.
2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно-зависима.
3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно-зависима.
4. Система из k>1 векторов линейно-зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.
5. Любые векторы, входящие в линейно-независимую систему, образуют линейно-независимую подсистему.
6. Система векторов, содержащая линейно-зависимую подсистему, линейно-зависима.
7. Если система векторов линейно-независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно-зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.
Докажем, например, последнее свойство. Так как система векторов - линейно зависима, то существуют числа , не все равные 0, что. В этом равенстве . В самом деле, если , то. Значит, нетривиальная линейная комбинация векторов равна нулевому вектору, что противоречит линейной независимости системы . Следовательно, и тогда, т.е. вектор есть линейная комбинация векторов . Осталось показать единственность такого представления. Предположим противное. Пусть имеется два разложения и , причем не все коэффициенты разложений соответственно равны между собой (например, ).
Тогда из равенства получаем .
Следовательно, линейная комбинация векторов равна нулевому вектору. Так как не все ее коэффициенты равны нулю (по крайней мере ), то эта комбинация нетривиальная, что противоречит условию линейной независимости векторов . Полученное противоречие подтверждает единственность разложения.
Ранг и базис системы векторов. Рангом системы векторов называется максимальное число линейно-независимых векторов системы.
Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.
Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.
Док-во :
Пусть система имеет базис .
1 случай. Вектор - из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .
2 случай. Вектор - не из базиса. Тогда r>k.
Рассмотрим систему векторов . Данная система является линейно зависимой, так как - базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с 1 , с 2 , …, с k , с, не все равные нулю, такие, что
Очевидно, что (если с=0, то базис системы является линейно зависимым).
Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.
Вычитая эти равенства, получим
Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим
Следовательно, разложение вектора по базису единственно.
Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.
