Обобщенные координаты, обобщенные силы. Обобщенная сила системы с одной степенью свободы Обобщенные координаты

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs.

Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если qi имеет длины, то Qi - размерность обычной силы; если qi - угол, то Qi имеет размерность момента силы, и т. д. При изучении движения механич. системы О. с, входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

Смотреть что такое "ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ" в других словарях:

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при… …

В механике величины Qi, произведение к рых на элементарные при рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов (хлопок, вискоза). Для наклейки О. обычно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

- (ВВС СССР) Флаг советских Военно воздушных сил Годы существования … Википедия

- الإمارات العربية المتحدة‎ аль Имарат аль Арабия аль Муттахида … Википедия

Поле сил заданное в области Q конфигурационного пространства как градиент скалярной ф ции: где (обобщённые) координаты, U(q) потенциальная энергия. Работа П. с. по любому замкнутому контуру в Q, стягиваемому в точку, равна нулю. Признаком… … Физическая энциклопедия

- (ВВС) вид вооружённых сил государства, предназначенный для самостоятельных действий при решении оперативно стратегических задач и для совместных действий с другими видами вооружённых сил. По своим боевым возможностям современные ВВС… … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F․s․cosα, где s = M0M1 … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение М0М1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F s cosa, где s=M0M1, a угол… … Физическая энциклопедия

Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которые действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение . Поскольку, согласно равенству (106), , а при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения), то вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,

Используя это равенство и формулу (42) из § 87, вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим Получим

Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно

где обозначено

По аналогии с равенством определяющим элементарную работу силы F, величину называют обобщенной силой, соответствующей координате

Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате , и т. д.

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством

Формула (112) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины будут представлять собой обобщенные активные силы системы.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как произведение а следовательно, и имеет размерность работы, то

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q - линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q - угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в и имеет размерность момента; если q - объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в и имеет размерность давления, и т. д.

Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (110), что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перечещрется по гладкой наклонной плсскссти, а груз В весом - по шероховатой горизолтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен

Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити и блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы положение определяется координатой (положительное направление отсчета показано стрелкой). Для определения сообщаем системе возможное перемещение при котором и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил остальные силы работы не совершают. Так как то

Следовательно,

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень А В имеет длину l и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес . Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии а жесткость - с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарика вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол и расстояние шарика от конца ненапряженной пружины положительные направления отсчета координат показаны стрелками.

Сообщаем сначала системе возможное перемещение, при котором угол получает приращение . На этом перемещении работу совершают» силы . По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению )

Следовательно,

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая приращение , а угол . На этом перемещении работу совершают сила тяжести и сила упругости, модуль которой Тогда

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s , где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА 1 и ОА 2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Чему равно число степеней свободы механической системы?

В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

Что называют возможными перемещениями механической системы?

Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Какие связи механической системы называют идеальными?

Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

Как формулируется принцип возможных перемещений?

Какие виды может иметь уравнение работ?

Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Как формулируется золотое правило механики?

Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

Какие связи называются голономными?

Что называется числом степеней свободы механической системы?

Что называется обобщенными координатами системы?

Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

Что называется обобщенной силой?

Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

Как определяется размерность обобщенной силы?

Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

Что такое обобщенная сила инерции?

Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

Какие связи называются геометрическими?

Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

Что называется кинетическим потенциалом системы?

Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.

1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е.

2. Обобщенные силы можно вычислять как коэффициенты при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (226"), т. е.

3. Наиболее целесообразен способ вычисления обобщенных сил, который получается из (226""), если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата, а другие при этом не изменяются. Так, если , а остальные , то из (179") имеем

.

Индекс указывает, что сумма элементарных работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата . Если варьируемой координатой является , то

. (227")

Условия равновесия системы сил в терминах обобщенных сил

Условия равновесия системы выводятся из принципа возможных перемещений. Они применимы к системам, для которых этот принцип справедлив: для равновесия механической системы, подчиненной голономным, стационарным, идеальным и неосвобождающим связям, в момент, когда скорости всех точек системы равны нулю, необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы были равны нулю

. (228")

Общее уравнение динамики

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

, (229)

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

,

,

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

,

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

,

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Лекция 24

12. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ, ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ

Для введения понятия обобщенных координат рассмотрим плоский двойной математический маятник, состоящий из двух невесомых стержней длиной l 1 и l 2 с точечными массами m 1 и m 2 на концах (рис. 12.1). Система обладает двумя степенями свободы.

Действительно стержень ОМ 1 может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О , перпендикулярной плоскости движения хОу , а стержень M 1 M 2 – вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку M 1 , в той же плоскости. Поэтому уравнения связей имеют вид: z 1 = 0,z 2 = 0,

Поэтому, так как n = 2, а число уравнений связей k = 4, то S = 3n – k = 2, т.е. лишь две из шести декартовых координат являются независимыми и должны быть заданы. Остальные же координаты можно выразить из уравнений связей через независимые координаты.

На практике координаты х 1 , у 1 z 1 , х 2 , у 2 , z 2 выражают через какие-либо независимые переменные другой природы, в нашем случае ими являются углы и отклонения стержней от вертикали:

х 1 = l 1 × cos j 1 , y 1 = l 1 × sin j 1 , z 1 = 0;

x 2 = l 1 × cos j 1 + l 2 × cos j 2 , y 2 = l 1 × sin j 1 + l 2 × sin j 2 , z 2 = 0. (12.1)

Здесь углы и играют роль независимых параметров, однозначно определяющих положение рассматриваемой механической системы.

Пусть теперь имеется система n материальных точек, на которую наложены k голономных связей, заданных уравнениями (10.2). Поскольку число степеней свободы равно S , то введем независимые переменные q 1 , q 2 , ..., q s . Тогда для рассматриваемой системы соотношения (12.1) примут вид:

x n = x n (q 1 , q 2 , ... , q s , t );

у n = у n (q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ),

z n = z n (q 1 , q 2 , ..., q s , t );

(q 1 , q 2 , ..., q s , t ); (n = 1, 2,…, n ). (12.2)

Отметим, что независимые координаты q m (m = 1, 2, …, s ) – это не обязательно набор S переменных из числа декартовых координат x n , у n , z n . Ими могут быть переменные другой природы, так в приведенном выше примере вместо декартовых координат введены угловые координаты.

S независимых параметров q 1 , q 2 , ..., q s однозначно определяющих положение точек материальной системы, совместимое со связями, называются обобщенными координатами .

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями ( = dq m /dt ).

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты: если q m – линейная величина, то – линейная скорость; если q m – угол, то – угловая скорость; если q m – площадь, то – секторная скорость. Следовательно, понятие обобщенной скорости охватывает все известные нам понятия о скоростях.

Для введения понятия обобщенных сил рассмотрим голономную систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют соответственно силы , , ..., . Пусть система имеет S степеней свободы, и ее положение определяется обобщенными координатами q 1 , q 2 , ...,q s . Сообщим системе в фиксированный момент времени такое виртуальное перемещение, при котором обобщенная координата q m приобретает приращение d q m > 0, а остальные обобщенные координаты не изменяются. Тогда каждый радиус-вектор получит виртуальное перемещение ( ) m , которое вычисляется как частный дифференциал:

(d ) m = . (12.3)

Согласно (10.9) виртуальная работа всех активных сил при вариации d q m обобщенной координаты q m запишется в виде:

где (12.4)

Величину называют обобщенной силой , соответствующей обобщенной координате q m . Если всем S обобщенным координатам в данный момент времени сообщить положительные приращения (вариации) d q 1 , d q 2 , ..., d q s , то полная виртуальная работа всех активных сил в обобщенных координатах

Из выражения (12.5) следует, что обобщенные силы представляют собой коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении для виртуальной работы. Проецируя (11.4) на декартовые оси, получим

. (12.6)

Если все действующие силы потенциальные, то их проекции F n x , F n y , F n z на декартовые оси могут быть выражены через потенциальную энергию П системы согласно формулам:

(22.7)

Подставив (12.7) в (12.6), получим:

Для механической системы, находящейся в потенциальном силовом поле, обобщенная сила определяется взятой с обратным знаком частной производной от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате:

. (12.8)

Отметим, что размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность обобщенной координаты.

Пример 12.1 . Определить обобщенную силу математического маятника весом , если длина нити равна l . За обобщенную координату взять угол отклонения j маятника от вертикали (рис. 12.2).

Рис. 12.2 Рис. 12.3

Решение. Математический маятник является системой с одной степенью свободы (S = 1 ), так как для определения его положения достаточно задать один параметр.

Рассмотрим маятник в произвольном положении. За обобщенную координату q примем угол j . Активной силой, действующей на маятник, является сила тяжести .

Способ 1. Поскольку сила потенциальна, то для определения обобщенной силы Q воспользуемся формулой (12.8). Для вычисления потенциальной энергии П маятника направим ось х по вертикали вниз, взяв за начало отсчета потенциальной энергии точку О подвеса маятника, т.е. П(х= 0) = 0. Потенциальная энергия маятника равна работе силы тяжести на перемещении материальной точки из данного положения М в нулевое, т.е. П = –Р × х 1 = –Р × l × cos j . Согласно (12.8)

Способ 2. Наиболее распространен-ным методом вычисления обобщенной силы является её определение по формуле (11.4) Q m = d A m / d q m . Сообщим маятнику в данный момент времени виртуальное перемещение d j > 0, т.е. в сторону возрастания угла j (рис. 12.3), и вычислим элементарную работу силы тяжести на этом перемещении:

d A= – P × h × d j ,

где h = l × sin j , – плечо силы относительно центра вращения точки O . Следовательно,