Пучок прямых, уравнение пучка прямых. Пучок плоскостей, уравнение пучка плоскостей Уравнение пучка прямых – решение задач

Лекции по алгебре и геометрии. Семестр 1.

Лекция 14. Уравнения пучка прямых на плоскости, пучка плоскостей и связки плоскостей.

Глава 14. Уравнения пучка прямых на плоскости, пучка плоскостей и связки плоскостей.

п.1. Уравнение пучка прямых на плоскости.

Определение. Пучком прямых на плоскости называется множество всех прямых данной плоскости, имеющих одну общую точку, которая называется центром пучка.

На рис.1 точка
– центр пучка.

Теорема. Пусть

– две прямые в координатной плоскости Оху, пересекающиеся в точке
. Тогда уравнение

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в точке
.

Доказательство.

Пусть L – призвольная прямая этого пучка с центром пучка в точке
и – ее нормальный вектор. Тогда векторное уравнение прямой L имеет вид:

, (2)

где – радиус-вектор точки
, – текущий радиус-вектор, т.е. радиус-вектор текущей точки
.

Так как прямые и
по условию теоремы пересекаются, то их нормальные векторы не коллинеарные и, следовательно, образуют базис.

Тогда вектор может быть разложен по этому базису:

,

где
– кэффициенты этого разложения одновременно не равные нулю, т.к. по определению нормальный вектор
. Подставляя в (2) получаем или

Но
и
– векторные уравнения прямых и
, т.е. ,

Подставляя в (3), получаем равенство (1).

Таким образом, мы доказали, что уравнение любой прямой из данного пучка имеет вид (1).

Обратно, докажем, что при любых
, одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть уравнение некоторой прямой из данного пучка.

Действительно, с одной стороны, при любых
, одновременно не равных нулю, уравнение (1) есть общее уравнение прямой

С другой стороны, пусть в уравнении (1)
– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, и пусть
– координаты центра пучка. Так как
и
, то координаты центра пучка удовлетворяют уравнениям прямых и
:

Тогда, подставляя координаты точки
в уравнение (1), получаем

Т.е. уравнение (1) есть уравнение прямой, проходящей через точку
, а значит прямая принадлежит данному пучку, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Если в (1)

. Если
, то уравнение (1) есть уравнение прямой . Поэтому, если уравнение (1) рахделить на
, то получим уравнение любой прямой из данного пучка, кроме прямой
:

Пример. Написать уравнение произвольной прямой, проходящей через заданную точку
.

Решение. Искомая прямая есть прямая пучка прямых с центром пучка в точке
. Очевидно, следующие две прямые принадлежат этому пучку:

и

Или
,
. Тогда уравнение любой прямой этого пучка имеет вид

Если заменить в этом уравнении греческие буквы на латинские, получаем

– уравнение прямой, проходящей через заданную точку
. В частности, при
, получаем уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат:
.

Разделив уравнение (5) на
, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку
:

, (6)

а при
, получаем уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через начало координат:

.

Другими словами, уравнение
, где
, есть уравнение пучка прямых с центром пучка в начале координат.

п.2. Уравнение связки плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть , ,

– три плоскости в ПДСК Охуz, имеющие единственную общую точку
. Тогда уравнение , (7)

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение связки плоскостей с центром связки в точке
.

Доказательство практически один к одному повторяет доказательство предыдущей теоремы об уравнении пучка прямых.

Пример. Найти уравнение связки плоскостей с центром связки в точке
.

Решение. Очевидно, что следующие три плоскости пересекаются в единственной точке
:

,
,
.

Тогда уравнение

где
и одновременно не равны нулю, есть искомое уравнение.

В частности, если
, то уравнение

(9)

есть уравнение связки плоскостей с центром связки в начале координат.

п.3. Уравнение пучка плоскостей.

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

Теорема. Пусть

– две плоскости, пересекающиеся по прямой L. Тогда уравнение

где
– произвольные действительные числа одновременно не равные нулю, есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка L.

Доказательство аналогично доказательству теоремы об уравнении пучка прямых и предоставляется читателю.

Пример. Найти уравнение пучка плоскостей, осью которого является ось абсцисс.

Решение. Очевидно, что координатные плоскости

и
пересекаются по оси Ох.

Тогда уравнение (10) в данном случае принимает вид

. Заменив греческие буквы на латинские, получаем

, (11)

где
– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю. Уравнение (11) есть искомое уравнение пучка плоскостей с осью пучка Ох.

Аналогично, уравнение

, (12)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оу, а уравнение

(13)

есть уравнение пучка плоскостей с осью пучка Оz.

п.4. Основные задачи на прямые и плоскости.

Задача 1. Найти уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
и
.

Эта задача нами уже решена, см. лекцию 11, параграф 4, задача 1:

.

Задача 2. Найти угол между двумя прямыми

и
.

Эта задача была решена в лекции 11, параграф 4:

Искомый угол равен либо углу между их направляющими векторами

или
.

Задача 3. Найти общее уравнение плоскости, если известны координаты ее нормального вектора
и координаты точки
, лежащей на данной плоскости.

Решение. Одно решение этой задачи приведено в параграфе 2, формула (8).

Это же уравнение можно получить и по другому. Общее уравнение плоскости имеет вид

где
– координаты ее нормального вектора. Осталось найти коэффициент D. С этой целью подставим в уравнение координаты точки
: , откуда .

Подставляя в уравнение получаем:

– искомое уравнение плоскости.

Задача 4. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
,
и
.

Как мы видели в задаче 3, для составления общего уравнения плоскости достаточно знать координаты ее нормального вектора и координаты любой точки, лежащей на данной плоскости.

В качестве нормального вектора плоскости можно взять векторное произведение вектора
на вектор
, а в качестве точки, лежащей на плоскости можно взять точку
. Получаем

Искомое уравнение плоскости можно получить и в другом виде. Уравнение плоскости в векторной форме имеет вид

,

.

Задача 5. Найти угол между двумя плоскостями.

Решение. Из геометрии нам известно, что двугранный угол между двумя плоскостями измеряется линейным углом (см. рис.12).

Нетрудно видеть, что линейный угол , измеряющий двугранный угол между двумя плоскостями равен углу
между нормальными векторами этих плоскостей или равен
. Здесь используется признак равенства углов со взаимно перпендикулярными сторонами.

или
.

Таким образом, задача вычисления угла между плоскостями сводится к задаче вычисления угла между векторами.

Задача 6. Найти расстояние от заданной точки
до заданной плоскости

Решение. Выберем произвольную точку
, лежащую на данной плоскости. Заметим, что если
, то начало координат лежит на плоскости и его можно взять в качестве точки
. Если же
, то в качестве такой точки можно взять точку пересечения плоскости с одной из координатных осей. Так как плоскость не может быть параллельной всем трем координатным осям, то хотя бы одна координатная ось пересекает данную плоскость.

Пусть, например,
– точка пересечения плоскости с координатной осью Ох. Здесь
, если
.

Итак, пусть точка
тем или иным способом выбрана, тогда расстояние
от заданной точки
до заданной плоскости равно модулю проекции вектора
на нормальный вектор плоскости :

.

Так как , то эту формулу можно записать в виде

. (14)

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение плоскости и произвольная точка пространства
. Число

называется невязкой точки
относительно плоскости .

С помощью введенного понятия невязки, формула расстояния от точки до плоскости иожет быть записана в виде:

.

Определение. Величина

(15)

называется отклонением точки
от плоскости .

Из последнего определения следует, что расстояние от точки
до плоскости равно модулю отклонения точки
от плоскости :

Из формулы (21) видно, что отклонение и невязка имеют одинаковый знак.

Замечание. Формулы (14) – (16) можно записать в другом виде. Приведем данное уравнение плоскости к нормальному виду:

и минус, в противном случае.

Теперь, формула (14) расстояния от точки до плоскости принимает вид:

– отклонение точки
от плоскости .

Задача 7. Найти расстояние от данной точки
до данной прямой
.

Решение. Задача решается аналогично предыдущей.

. Так как
, то

.

Аналогично вводятся понятия невязки точки относительно прямой и отклонения точки от прямой.

Определение. Пусть дано произвольное общее уравнение прямой
и произвольная точка плоскости
. Число

называется невязкой точки
относительно прямой L.

Определение. Величина

называется отклонением точки
от плоскости .

Если привести уравнение прямой к нормальному виду:

,

, причем знак плюс берется в случае, когда
и минус, в противном случае, то формула расстояния от точки до прямой принимает вид:

– отклонение точки
от прямой L.

Задача 8. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями.

Решение. 1-й способ. Найти на одной плоскости произвольную точку и найти расстояние от нее до второй плоскости, т.е. свести эту задачу к задаче 6.

2-й способ. Приведем оба уравнения параллельных плоскостей к нормальному виду:

где
и
– нормальные векторы плоскостей и
соответственно,
,
– расстояния от начала координат до плоскостей и
соответственно.

Так как нормальные векторы и направлены от начала координат к плоскости, то возможны 2 случая:

а)
. На следующем рисунке схематически изображены две параллельнве плоскости и
и их единичные нормальные векторы, отложенные от начала координат О.

Здесь,
,
– расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Так как неизвестно, какая плоскость ближе к началу координат, то расстояние между плоскостями

б)
. Так как нормальные векторы и направлены от начала координат к плоскостям и противоположны,то начало координат находится между плоскостями, см. следующий рисунок.

Здесь, как и в предыдущем случае,
,
– расстояния от начала координат до соответствующих плоскостей. Отсюда следует, что расстояние между плоскостями

Задача 9. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми.

В статье рассматриваются определения пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Разбирается подробное решение с применением определения, рассматриваются задачи на составление уравнения пучка прямых, нахождение координат.

Пучок прямых определяется на плоскости, но не в трехмерном пространстве. Аксиома геометрии говорит о том, что если имеются две несовпадающие точки, расположенные на плоскости, то через них можно провести только одну прямую. Если на плоскости γ задается точка М 0 и M 1 , то через них можем провести прямую. Когда имеется еще одна точка М 2 , которая не лежит на прямой М 0 М 1 , тогда можно провести прямую М 0 М 2 . Если отметим точку М 3 , не принадлежащую ни одной из проведенных прямых, через нее также може провести прямую, проходящую через М 0 .

Отсюда следует, что в плоскости γ можно провести множество прямых через заданную точку. Это и привело к определению пучка прямых.

Определение 1

Заданная плоскость γ с множеством всех прямых, которые лежат в плоскости γ и проходящие через точку М 0 называют пучком прямых с центром в точке М 0 .

Исходя из определения, имеем, что любые две прямые из этого пучка пересекутся в центре данного пучка прямых. Пучок определяется при условии, если указан центр данного пучка.

Уравнение пучка прямых – решение задач

Для решения задач применяется уравнение пучка прямых, то есть сам пучок рассматривается относительно систему координат О х у на плоскости.

Когда имеем на плоскости прямоугольную систему координат О х у с указанными пересекающимися прямыми а 1 и а 2 , пучок задает эти прямые. За систему координат О х у отвечает общее уравнение прямой, которое имеет вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 или A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Введем обозначение пересечения прямых как точка М 0 с координатами х 0 и y 0 . Отсюда следует, что точка М имеет координаты M 0 (x 0 , y 0) .

Чтобы определить вид используемого уравнения в пучках, рассмотрим на теореме.

Теорема

При заданных двух пересекающихся прямых а 1 и а 2 имеются прямые, которые входят в пучок прямых, образованных в системе координат О х у. Их уравнения имеют вид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тогда и только тогда, когда уравнение прямой α · (A 1 x + B 1 y + C 1 = 0) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 соответствует ей,a α и β являются действительными числами, неравными нулю. Данное условие записывается так: α 2 + β 2 ≠ 0 .

Доказательство

Начнем рассмотрение доказательства с рассмотрения прямой a с указанного пучка, после чего докажем, что ее можно задавать при помощи уравнения α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · (A 2 x + B 2 y + C 2) = 0 .

Центр пучка возьмем за точку с координатами M 0 = (x 0 , y 0) .

Отсюда получаем, что n → = (A 1 , B 1) является нормальным вектором прямой A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , тогда n 2 → = (A 2 , B 2) - нормальный вектор для прямой A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Получаем, что n → 1 и n 2 → - это неколлинеарные векторы, потому что у прямой а 1 и а 2 нет общих точек пересечения. Значит, необходимо разложить нормальный вектор n → по двум неколлинеарным n 1 → и n 2 → . Разложение необходимо выполнять по формуле n → = α · n 1 → + β · n 2 → . В итоге получаем, что n → = (α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2) .

После вычислений получаем координаты нормального вектора прямой a , равные n → = α · A 1 + β · A 2 , α · B 1 + β · B 2 . Координаты точки, пересекающиеся с прямой a в точке M 0 (x 0 , y 0) , записываются при помощи общего уравнения прямой a . Тогда получаем выражение вида:

α · A 1 + β · A 2 · x - x 0 + α · B 1 + β · B 2 · y - y 0 = 0 ⇔ ⇔ α · (A 1 x + B 1 y - A 1 x 0 + B 1 y 0) + β · A 2 x + B 2 y - A 2 x 0 - B 2 y 0 = 0

По - A 1 x 0 - B 1 y 0 = C 1 и - A 2 x 0 - B 2 y 0 = C 2 получим общее уравнение прямой a , имеющее вид α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Вышесказанная необходимость доказана.

Осталось найти доказательства достаточности.

Значит, нужно произвести доказательство выражения α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , где имеем α и β некоторыми действительными числами неравными нулю, существует уравнение из пучка прямых с точкой пересечения M 0 (x 0 , y 0) . Такое уравнение определено при помощи двух пересекающихся прямых A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Запишем уравнение α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 в виде α · A 1 + β · A 2 · x + α · B 1 + β · B 2 · y + α · C 1 + β · C 2 = 0 .

Уравнение будет считаться общим, если выполняется условие, когда α · A 1 + β · A 2 и α · B 1 + β · B 2 отличны от нуля. Иначе мы получили выражение вида α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 1 = - β α · A 2 и α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 1 = - β α · B 2 или α · A 1 + β · A 2 = 0 ⇔ A 2 = - α β · A 1 и α · B 1 + β · B 2 = 0 ⇔ B 2 = - α β · B 1 . Это значило бы, что векторы не коллинеарны.

Это невозможно в данном случае, так как n 1 → и n 2 → - это нормальные векторы прямых а 1 и а 2 , которые пересекаются.

Имеем, что уравнение α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 является общим уравнением прямой. Далее необходимо произвести доказательство удовлетворения координат точки при их пересечении, то есть координаты точки M 0 (x 0 , y 0) . Докажем, справедливо ли равенство α · (A 1 x + B 1 y + C 1) + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

M 0 (x 0 , y 0) является точкой пересечения прямых, значит, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих пересекающихся прямых.

Когда A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 справедливы, отсюда следует, что α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = α · 0 + β · 0 = 0 .

Что и требовалось доказать.

Можем сделать вывод, что уравнение, которое имеет вид α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 и есть уравнение пучка.

Значения α и β необходимы для того, чтобы определять прямые, находящиеся в данном пучке, с уравнениями A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Необходимо, чтобы как минимум один из параметров был не равен нулю, тогда можно упростить выражение. При условии, что α ≠ 0 получаем выражение вида A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 с λ = α β .

При β ≠ 0 выражение принимает вид μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 с μ = α β .

Они не являются эквивалентными уравнению пучка прямых, относящихся к виду α · A 1 x + B 1 y + C 1 + β · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 + λ · A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 при любых значениях λ не даст возможности получить уравнение вида A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

Уравнение μ · A 1 x + B 1 y + C 1 + A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 при любых значениях μ не даст в результате A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 .

Подробно рассмотрим на решении примеров.

Пример 1

Написать уравнение прямой пучка с заданным центром в точке M 0 (- 1 , 4) , k = 3 .

Решение

Необходимо составить уравнение прямой, которая будет проходить через заданную точку с координатами M 0 (- 1 , 4) с угловым коэффициентом равным 3 . Тогда запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом и получим y - 4 = 3 · (x - (- 1)) ⇔ y = 3 x + 7 .

Ответ: y = 3 x + 7 .

Пример 2

Найти координаты центра пучка прямых в О х у, если известны два уравнения пересекающихся прямых x - 4 2 = y + 3 0 и x 2 3 + y - 1 = 1 .

Решение

Чтобы найти координаты центра пучка, необходимо найти точки пересечения x - 4 2 = y + 3 0 и x 2 3 + y - 1 = 1 .

Получим, что каноническое уравнение прямой на плоскости x - 4 2 = y + 3 0 эквивалентно x 2 3 + y - 1 = 1 , а уравнение в отрезках x 2 3 + y - 1 = 1 общему уравнению прямой 3 2 x - y - 1 = 0 .

Теперь составляем систему уравнений, включающую в себя уравнения прямых.

Получим, что

y + 3 = 0 3 2 x - y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 3 2 x - (- 3) - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x = - 4 3

Получим, что - 4 3 , - 3 - это координаты центральной точки, где пересекаются все прямые.

Ответ: - 4 3 , - 3 .

Пример 3

Произвести составление уравнения пучка прямых в О х у, которое задано при помощи прямых 3 x - 2 y + 1 = 0 и x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ , имеющих общую точку пересечения.

Решение

Для начала необходимо получить общее уравнение прямой. Оно определено параметрическим уравнением x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ .

Отсюда следует, что

x = - 2 + 2 · λ y = 5 · λ ⇔ λ = x + 2 2 λ = y 5 ⇔ x + 2 2 = y 5 ⇔ ⇔ 5 · (x + 2) = 2 · y ⇔ 5 x - 2 y + 10 = 0

Произведем запись уравнения пучка прямых и получим α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0 , а α и β являются действительными числами, где обязательным условием считается α 2 + β 2 ≠ 0 .

Ответ: α · (3 x - 2 y + 1) + β · (5 x - 2 y + 10) = 0 .

Пример 4

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (2 , - 1) и принадлежащей пучку прямых с уравнением α · (5 x + y - 19) + β · (2 x - 3 y + 6) = 0 .

Решение

Задача решается двумя способами.

Первый способ начинается с определения М 0 , являющейся центром пересечения. Тогда нужно найти точки пересечения уравнений 5 x + y - 19 = 0 и 2 x - 3 y + 6 = 0 , а их результат и будет являться координатами для M 0 .

Определяем координаты, решив получившуюся систему:

5 x + y - 19 = 0 2 x - 3 y + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x 2 x - 3 · (19 - 5 x) + 6 = 0 ⇔ y = 19 - 5 x x = 3 ⇔ ⇔ y = 19 - 5 · 3 x = 3 ⇔ y = 4 x = 3

Значит точка М 0 имеет координаты (3 , 4) . Это записывается как M 0 (3 , 4) . Чтобы получить искомое уравнение, которое проходит через точки с координатами M 0 (3 , 4) и M 1 (2 , - 1) . В итоге получаем:

x - 3 2 - 3 = y - 4 - 1 - 4 ⇔ x - 3 - 1 = y - 4 - 5 ⇔ x - 3 1 = y - 4 5

Второй способ начинается с того, что необходимо определить параметры α и β , чтобы уравнение α · (5 x + y - 19) + β · 2 x - 3 y + 6 = 0 было уравнением прямой, которая проходит через M 1 (2 , - 1) . Для этого найдем координаты М 1 и получим, что

α · 5 · 2 + (- 1) - 19 + β · 2 · 2 - 3 · (- 1) + 6 = 0 ⇔ ⇔ - 10 · α + 13 · β = 0 ⇔ α = 13 · β 10

Принимаем значение β = 10 , при желании можно выбирать любое другое такое значение β , которое дает несложное вычисление α . Получаем α = 13 · β 10 = 13 · 10 10 = 13 .

При подстановке значений α = 13 и β = 10 в заданное уравнение пучка, преобразуем:

13 · (5 x + y - 19) + 10 · (2 x - 3 y + 6) = 0 ⇔ 85 x - 17 y - 187 = 0 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Необходимо проверить эквивалентность получившихся уравнений.

x - 3 1 = y - 4 5 ⇔ 5 · x - 3 = 1 · y - 4 ⇔ 5 x - y - 11 = 0

Отсюда следует, что все решено верно.

Ответ: 5 x - y - 11 = 0 .

Пример 5

Определить принадлежность прямой 3 x - y + 5 = 0 пучку прямых α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Решение

Решение производится двумя способами.

Первый способ решения начинается с нахождения центров координаты заданного уравнения пучка и их проверки:

x - 2 y + 4 = 0 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 x - y + 4 = 0 ⇔ x = 2 y - 4 2 y - 4 - y + 4 = 0 ⇔ ⇔ x = 2 y - 4 y = 0 ⇔ x = 2 · 0 - 4 y = 0 ⇔ x = - 4 y = 0 3 · (- 4) - 0 + 5 = 0 ⇔ - 7 = 0

Получим, что подстановка координат центра в уравнение прямой 3 x - y + 5 = 0 дает неверное равенство. Делаем вывод, что прямая не пересекает центр пучков, значит, и не принадлежит ему.

Второй способ начинается с раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых α · (x - 2 y + 4) + β · x - y + 4 = 0 ⇔ 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 .

Когда прямая 3 x - y + 5 = 0 принадлежит пучку прямых, тогда имеются такие значения α и β , что два уравнения α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 и 3 x - y + 5 = 0 являются эквивалентными.

Тогда получаем систему, состоящую из трех равнений α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 .

Для ее преобразования необходимо приравнять коэффициенты перед переменными x и y и свободные членов имеющихся уравнений α + β · x - 2 α + β · y + 4 α + 4 β = 0 и 3 x - y + 5 = 0 , чтобы получать результат решения.

Для проверки необходимо применить теорему Кронекера-Капелли.

Для этого необходимо записать основную и расширенную матрицы для составленной системы уравнений. Получим, что A = 1 1 2 1 4 4 и T = 1 1 3 2 1 1 4 4 5 .

Результат нахождения ранга расширенной матрицы равняется 3 , потому как 1 1 3 2 1 1 4 4 5 = 7 ≠ 0 .

Отсюда имеем, что система уравнений α + β = 3 2 α + β = 1 4 α + 4 β = 5 не определена, то есть имеет решений. Так как решения отсутствуют, прямая не проходит через центр прямой имеющихся пучков прямых.

Ответ: нет, прямая 3 x - y + 5 = 0 не принадлежит заданному пучку прямых, записанных уравнением вида α · (x - 2 y + 4) + β · (x - y + 4) = 0 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

В данной статье мы рассмотрим понятие пучка прямых. Представим уравнение пучка прямых. Приведем примеры нахождения уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку.

является уравнением прямой, проходящей через точку P . Обратно, любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3), при некотороых числах λ 1 и λ 2 .

Доказательство. Во первых покажем, что уравнение (3) является линейным уравнением (уравнением первого порядка), т.е. уравнением, при котором коэффициент при x или y не равен нулю.

Группируем коэффициенты при x и y :

Тогда, например при λ 1 ≠0 (по условию теоремы хотя бы один из чисел λ 1 и λ 2 не равен нулю), получим:

Полученное равенство является условием параллельности прямых, определяемых уравнениями (1) и (2), что противоречит условию теоремы (эти прямые пересекаются и не совпадают). Таким образом хотя бы один из равенств (5) не выполняется, т.е. хотя бы один коэффициент при x и y в уравнении (4) не равен нулю. Отсюда следует, что уравнение (4) является линейным уравнением (уравнением первой степени) и является уравнением некоторой прямой. По условию теоремы, эта прямая проходит через точку P (x 0 , y 0), которая является пересечением прямых (1) и (2), т.е. выполняются равенства:

т.е. уравнение (3) проходит через точку P .

Докажем вторую часть теоремы. Покажем, что любая прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ 1 и λ 2 .

Возьмем некоторую прямую проходящую через точки P и M" (x" , y" ). Покажем, что данная прямая определяется уравнением (3) при некоторых значениях λ 1 и λ 2 , не равных одновременно нулю.

В первой части доказательства теоремы мы показали, что прямая, проходящая через точку P определяется уравнением (3). Теперь, если эта прямая проходит через еще одну точку M" (x" , y" ), то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (3):

Заметим, что выражения в скобках не могут быть равным нулю одновременно, т.к. это означало бы, что оба уравнения проходят через точки P и M" (x" , y" ) и, следовательно, совпадают. Пусть, например, λ 1 (A 1 x" 0 +B 1 y" 0 +C 1)≠0. Тогда задав λ 2 произвольное число, отличное от нуля, решим (9) относительно λ 1:

Подставим координаты точки M в уравннение (12):

Упростим (13):

Задав, например, λ 2 =4, получим λ 1 =−5.

Положим значения λ 1 и λ 2 в (12):

Ответ:

Пример 2. Построить уравнение пучка прямых с центром M (4,1):

Решение. Возьмем две различные точки, не совпадающие с точкой M : M 1 (2,1), M 2 (−1,3). Построим уравнение, проходящие через точки M и M 1 . Нормальный вектор n 1 этой прямой должен быть ортогональным вектору , равному разностьям координат точек M и M 1: ={2−4, 1−1}={−2,0}. Т.е. можно взять n 1 ={0,1}. Тогда уравнение прямой с нормальным вектором n 1 , проходяще через точку M имеет следующий вид:

Ответ:

Заметим, что взяв другие точки M 1 и M 2 , мы получим уравнение того же пучка прямых, но с другими двумя прямыми.

Собственным пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через одну прямую.

Несобственным пучком плоскостей называется множество все параллельных между собой плоскостей.

Теорема 1. Для того чтобы три плоскости, заданные общими уравнениями

относительно общей декартовой системы координат, принадлежали одному пучку, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы

был равен или двум, или единице.

Доказательство необходимости . Пусть три плоскости (1) принадлежат одному пучку. Требуется доказать, что

Предположим сначала, что три данные плоскости принадлежат собственному пучку. Тогда система (1) имеет бесконечное множество решений (т.к. по определению собственного пучка: три плоскости принадлежат пучку, если они проходят через одну прямую); это будет тогда и только тогда, когда, так как если, то система (1) или имеет единственное решение, или несовместна, смотря по тому будет ли определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля или равен нулю.

Если три данные плоскости принадлежат несобственному пучку то ранг матрицы

равен 1, а значит, ранг матрицы М равен или двум или единице.

Доказательство достаточности . Дано: Требуется доказать, что три данные плоскости принадлежат одному пучку.

Если, то и. Пусть. Тогда система (1) совместна, имеет бесконечное множество решений, а среди данных плоскостей есть пересекающиеся, (т.к. если бы не было пересекающихся, то они были бы все параллельны и ранг матрицы был бы равен 1), поэтому три данные плоскости принадлежат собственному пучку.

Если; , то все плоскости коллинеарны (две из них непременно параллельны, а третья может и совпадать с одной из параллельных плоскостей).

Если, то и, и все плоскости совпадают.

Теорема 2 . Пусть в общей декартовой системе координат заданы две различные плоскости и общими уравнениями: ; .

Для того, чтобы третья плоскость, заданная также общим уравнением

относительно той же системы координат, принадлежала пучку, определяемому плоскостями и, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости была линейной комбинацией левых частей уравнений плоскостей и.

Доказательство необходимости . Дано: плоскость принадлежит пучку плоскостей, определяемому плоскостями и. Требуется доказать, что существуют числа и, такие, что будет выполнено тождество, справедливое при всех значениях х , у , z :

В самом деле, если три плоскости, и принадлежат одному пучку, то, где

Первые две строки этой матрицы линейно независимы (поскольку плоскости и различны), а так как, то третья строка есть линейная комбинация двух первых, т.е. существуют число и, такие, что

Умножая обе части первого равенства на х , обе части второго на у , обе части третьего на z и складывая почленно полученные равенства и равенство, получим доказываемое тождество.

Доказательство достаточности. Пусть тождество

справедливо при всех значениях х , у и z . Требуется доказать, что плоскость принадлежит пучку, определяемому плоскостями и.

Из данного тождества следуют соотношения,

так что третья строка матрицы М есть линейная комбинация двух первых, а потому. Ч.т.д.

Уравнение где и не равны нулю одновременно, называются уравнением пучка плоскостей, определяемого двумя различными плоскостями и, уравнения которых в общей декартовой системе координат таковы:

Как было доказано, уравнение всякой плоскости пучка, определяемого различными плоскостями и, может быть записано в виде.

Обратно если уравнение, в котором хотя бы одно из чисел и не равно нулю, есть уравнение первой степени, то оно является уравнением плоскости, принадлежащей пучку, определяемому плоскостями и. В самом деле, третья строка матрицы М , составленной из коэффициентов уравнений и имеет вид

т.е. является линейной комбинацией двух других, поэтому.

Если плоскости и пересекаются, а и не равны нулю одновременно, то все коэффициенты при х , у , z в уравнении не могут быть равны нулю, так как если бы имели место соотношения

то плоскости и были бы коллинеарны вопреки предположению.

Но если плоскости и параллельны, то существуют такие числа и, среди которых хотя бы одно не равно нулю, и такие, что в уравнении все коэффициенты при х , у и z равны нулю. Но тогда это будет несобственный пучок, и также как и в случае пучка прямых, здесь надо быть очень внимательным.