Система лоренца. «Моделирование аттрактора Лоренца Три знака после запятой

В 1961 году метеоролог и математик Эдвард Лоренц, скончавшийся 16 апреля 2008 года, ввел в созданную им компьютерную модель погоды данные, округлив их не до шестого, а до третьего знака после запятой. В результате был сформулирован эффект бабочки, открыт один из странных аттракторов, обнаружена непредсказуемость поведения многих детерминированных систем и, в конечном итоге, создана теория хаоса.

Предыстория: демон Лапласа

Вопрос: мыслим ли такой демон хотя бы теоретически? Успехи науки Нового времени наводили на мысль, что да: орбиты планет были рассчитаны, появления комет – предсказаны, случайные события – описаны теорией вероятности.

В дальнейшем, однако, демон Лапласа подвергся жесткой критике. После развития квантовой механики и открытия принципа неопределенности Гейзенберга (нельзя точно измерить одновременно скорость и координаты частицы) стало понятно, что квантовые системы демону неподвластны: в них есть принципиальная непредсказуемость.

Впоследствии также отмечалось, что существование демона противоречило бы законам термодинамики, что ему в принципе не хватило бы для знаний и вычислений информационных мощностей, даже используй он все ресурсы Вселенной.

Однако демон не сдал позиции полностью. В самом деле, представим себе полностью детерминированную (предопределенную, лишенную случайности) систему (классическую, без квантовых эффектов). Если мы знаем все законы, управляющие ее поведением (будь они сколь угодно сложны), знаем все необходимые параметры и обладаем необходимыми вычислительными мощностями (то есть под рукой есть демон Лапласа – читай: суперкомпьютер), то уж для такой-то системы мы сможем полностью предсказать поведение?

Есть одна оговорка. Все наши измерения будут содержать какую-нибудь ошибку. Переменные, хранящиеся в памяти компьютера, будут иметь ограниченную точность. То есть придется пользоваться приблизительными данными. Ну и ладно: нам не нужна бесконечная точность, вполне достаточно приблизительных предсказаний. Исходные данные содержат ошибку в пятом знаке? Ошибка предсказания в пятом знаке нас вполне устроит.

Итак, можно ли, например, предсказывать погоду? Хотя бы примерно? Хотя бы на каком-то ограниченном участке, но на более-менее приличный срок?

Три знака после запятой

В его распоряжении находилась вычислительная машина Royal McBee. В 1960 году Лоренц создал упрощенную модель погоды. Модель представляла собой набор чисел, описывавший значение нескольких переменных (температуры, атмосферного давления, скорости ветра) в данный момент времени. Лоренц выбрал двенадцать уравнений, описывавших связь между этими переменными. Значение переменных в следующий момент времени зависело от их значения в предыдущий момент и рассчитывалось по этим уравнениям. Таким образом, модель была полностью детерминирована.

Коллеги Лоренца от модели пришли в восторг. Машине скармливались несколько чисел, она начинала выдавать ряды чисел (впоследствии Лоренц научил ее рисовать несложные графики), описывающие погоду в некотором воображаемом мире. Числа не повторялись – они порой почти повторялись, система как будто воспроизводила старое свое состояние, но не полностью, циклов не возникало. Словом, искусственная погода была плохо предсказуема, причем характер этой непредсказуемости (апериодичность) был примерно такой же, какой и у погоды за окном. Студенты и преподаватели заключали пари, пытаясь угадать, каким будет состояние модели в следующий момент.

Зимой 1961 года Лоренц решил подробнее изучить уже построенный машиной график изменения одной из переменных. В качестве начальных данных он ввел значения переменных из середины графика и вышел отдохнуть. Машина должна была бы точно воспроизвести вторую половину графика и продолжить строить его дальше. Однако вернувшись, Лоренц обнаружил совершенно другой график. Если в начале он еще более-менее повторял первый, то к концу не имел с ним ничего общего.

Расхождение двух графиков погоды, берущих начало из одной точки. Распечатка Лоренца 1961 года, воспроизведенная в книге Джеймса Глейка "Хаос: Создание новой науки" (СПб., "Амфора", 2001).

Получалось, что модель, из которой полностью устранена случайность, при одних и тех же начальных значениях выдает совершенно разные результаты. Машина не сломалась и считала все правильно, Лоренц не опечатался при вводе данных.

Разгадка нашлась довольно быстро: в памяти машины значения переменных хранились с точностью до шести знаков после запятой (...,506217), а на распечатку выдавалось только три (...,506). Лоренц, разумеется, ввел округленные значения, резонно предположив, что такой точности вполне достаточно.

Оказалось, что нет. "...овалились маленькие костяшки домино... большие костяшки... огромные костяшки, соединенные цепью неисчислимых лет, составляющих Время", – написал в 1952 году в знаменитом рассказе "И грянул гром" Рэй Брэдбери. Примерно это же произошло в модели Лоренца. Система оказалась исключительно чувствительной к малейшим воздействиям на нее.

Эффект бабочки

Откуда в детерминированной системе хаос и непредсказуемость? От сильной чувствительности к начальным условиям. Малейшее воздействие, от которого невозможно избавиться – округление переменной (если это теоретическая модель), ошибка измерения (если это исследование реальной системы) – и система ведет себя совершенно по-другому.

Лоренц приводил наглядный пример: если погода действительно относится к классу настолько чувствительных систем (разумеется, не все системы такие), то взмах крыльев чайки может вызвать заметные изменения погоды. Впоследствии чайка была заменена бабочкой, а в 1972 году появилась работа "Предсказуемость: может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии вызвать торнадо в Техасе?".

Так родился знаменитый термин "эффект бабочки", отсылавший и к рассказу Брэдбери и, удивительным образом, к следующему открытию Лоренца – странному аттрактору, названному в его честь.

Неожиданная структура

Лоренц построил похожую, но более простую модель из трех уравнений с тремя переменными. Модель описывала конвекцию в газе и жидкости, а также поведение несложного механического устройства – водяного колеса Лоренца (см. иллюстрацию). Под напором воды, наполняющей емкости (и вытекающей из них сквозь небольшие отверстия), колесо ведет себя удивительно сложным образом: замедляет вращение, ускоряет его, начинает вращаться в другую сторону, останавливается – в общем, как и положено уважающей себя хаотической системе.

Уравнения выглядели следующим образом
dx/dt = s(y - x)
dy/dt = x(r - z) - y
dz/dt = xy - bz
s=10, r=28, b=8/3. Можно брать и другие значения параметров, однако не при всех система будет демонстрировать хаотическое поведение.

Для наглядного отображения поведения системы Лоренц использовал не обычный временной график, а фазовый портрет. Три числа, описывающие состояние системы, обозначали координаты точки в трехмерном пространстве. С каждым шагом на фазовом портрете появлялась новая точка.

Если бы система рано или поздно приходила к полной устойчивости, добавление точек рано или поздно должно было полностью остановиться. Если бы она приходила к периодическим колебаниям, линия из точек образовала бы кольцо. Наконец, если в поведении системы не было бы вообще никаких закономерностей, на фазовом портрете могло бы появиться что угодно.

Результат оказался совершенно неожиданным. Объект, который появился на портрете (см. главную иллюстрацию), располагался в определенных границах, не пересекая их. Он обладал определенной структурой – напоминал два крыла бабочки – но в ее пределах был совершенно неупорядочен. Он не прекращал "развиваться": ни одна новая точка не совпадала с предыдущей, фазовый портрет можно было строить бесконечно. Переход от одного из крыльев к другому соответствовал началу вращения колеса в другую сторону.

Такие объекты – странные аттракторы – сыграли большую роль во фрактальной геометрии и теории хаоса. "Крылья бабочки" получили название "аттрактор Лоренца".

Эффект бабочки: фазовые портреты для трех моментов времени. Желтая и синяя линия представляют собой траектории, соответствующие начальным наборам данных, в которых значения x отличались на 10 -5 . Сначала линии почти совпадают (желтая закрывает с

Теория хаоса

Второй шок – в этом хаосе, оказывается, спрятан порядок. Неожиданный, странный, плохо понятный, представляющий собой "тонкую структуру, таящуюся в беспорядочном потоке информации" (Дж. Глейк), но тем более интересный. Аттрактор Лоренца не решает проблемы предсказания, но уже само его существование достойно изучения.

Поисками подобных проявлений порядка в хаосе и занимается сравнительно молодая наука – теория хаоса. Она возникла не мгновенно и не имеет одного создателя. Ее основы были заложены в работах Пуанкаре, Колмогорова, Арнольда, Ляпунова, Ландау, Смэйла, Мандельброта, Фейгенбаума и десятков других талантливых ученых, либо увидевших то, что до них никто не видел, либо сумевших описать то, что увидели другие.

Одним же из ключевых моментов (далеко не сразу, кстати, оцененным по достоинству) в ее возникновении считается день, когда Эдвард Нортон Лоренц, любитель погоды и упорный искатель странного, ввел в свою модель значения переменных, округленные до трех знаков после запятой.

ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

ЛОРЕНЦА СИСТЕМА

Система трёх нелинейных дифференц. ур-ний первого порядка:

решения к-рой в широкой области параметров являются нерегулярными ф-циями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайных. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) из ур-ний гидродинамики как модель для описания тепловой конвекции в горизонтальном слое жидкости, подогреваемой снизу ( Р r - Прандтля число, - приведённое Р э -лея число, b - определяется выбором в Фурье-разложении поля скорости и темп-ры).

Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркаций в системе Лоренца при увеличении параметра r : а) ; б) ; в) г) д) е)

Л. с.- один из примеров динамической системы, имеющей простой физ. смысл; она демонстрирует стохастич. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор, движение изображающей точки на к-ром соответствует "случайному" - турбулентному течению жидкости при тепловой конвекции.

Рис. 2. Конвективная петля - физическая модель, для которой выводятся уравнения Лоренца.

Л. с. (при b =l) описывает, в частности, движение жидкости в конвективной петле, расположенной в вертикальной плоскости в однородном тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла ) темп-pa Т(); ниж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t] - скорость движения жидкости, у (t) - темп-pa в точке N , a z(t) - темп-pa в точке М при больших t. С ростом г характер движения жидкости меняется: сначала (при г<1) неподвижна, далее (при ) устанавливается циркуляция с пост. скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещё больших r всё течение становится чувствительным к малым изменениям нач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно: жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда - против.

При обычно используемых значениях Pr =10, b= 8/3 Л. с. обладает . свойствами: ур-ния Л. с. инварианты относительно преобразования , фазовый объём сокращается с пост. скоростью

за единицу времени объём сокращается в 10 6 раз. С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации. 1) При единственным состоянием равновесия является устойчивый узел в начале координат О (О, О, 0). 2) При , где r 1 =13,92, Л. с. кроме упомянутого тривиального ( О )имеет ещё два равновесия , . Состояние равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое и одномерное неустойчивое, состоящее из О и двух сепаратрис и , стремящихся к и (рис. 1, а). 3) При r =r 1 каждая из сепаратрис становится двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе r через r 1 из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодич. движения - предельные циклы L 1 и L 2 . Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное ; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), и при (рис. 1, в), где r 2 =24,06, все траектории по-прежнему стремятся к . Эта ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы _ и идут к "не своим" состояниям равновесия и соответственно. 4) При , гдо = 24,74, в Л. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия существует ещё притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий,- аттрактер Лоренца (рис. 1, д ирис. 3). 5) При седловые циклы L 1 и L 2 стягиваются к состояниям равновесия и , к-рые при теряют устойчивость, и при единственным притягивающим мно-

жеством Л. с. является аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить к со стороны меньших значений, то стохастичность в Л. с. возникает сразу, скачком, т. е. имеет место жёсткое возникновение стохастичности.

Рис. 3. Траектория, воспроизводящая аттрактор Лоренца (выходит из начала координат); горизонтальная плоскость соответствует r = = 27, r =28.

К Л. с. сводятся не только ур-ния, описывающие конвективные движения жидкости, но и др. физ. модели (трёхуровневый , дисковое динамо и т. д.).

Лит.: Lorenz E., Deterministic nonperiodic flow, "J. Atmos. Sci.", 1963, v. 20, p. 130; в рус. пер., в кн.: Странные аттракторы, М., 1981, с. 88; Гапонов - Грехов А. В., Рабинович М. И., Хаотическая простых систем, "Природа", 1981, № 2, с. 54; Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П., О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца, "Тр. Московского матем. общества", 1982, т. 44, с. 150; Рабинович М. И., Трубецков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. В. Г. Шехов.

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1988 .

Смотреть что такое "ЛОРЕНЦА СИСТЕМА" в других словарях:

Фундам. ур ния классич. электродинамики, определяющие микроскопич. эл. магн. поля, создаваемые отдельными заряж. частицами. Л. М. у. лежат в основе электронной теории (классич. микроскопич. электродинамики), построенной X. А. Лоренцем в кон. 19… … Физическая энциклопедия

Система отсчёта инерциальная - система отсчёта, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на неё не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Всякая система… … Концепции современного естествознания. Словарь основных терминов

- (в ф и з и к е) – система тел, по отношению к к рой определяются положения исследуемого тела (или места событий) и отмечаются моменты времени, соответствующие этим положениям. С этой целью с выбранной системой тел связывают обычно к. л. систему… … Философская энциклопедия

СИСТЕМА ОТКЛОНЯЮЩАЯ - устройство между анодом и экраном электронно лучевого прибора, служащее для отклонения электронного луча млн. его перемещения по экрану (см.) в соответствии с некоторым законом. Для управления электронным лучом применяют магнитную,… … Большая политехническая энциклопедия

Преобразованиями Лоренца в физике, в частности в специальной теории относительности (СТО), называются преобразования, которым подвергаются пространственно временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы… … Википедия

В специальной теории относительности преобразования координат и времени какого либо события при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта) к другой. Получены в 1904 Х. А. Лоренцом как преобразования … Большая советская энциклопедия

Компактное инвариантное множество Lв трехмерном фазовом пространстве гладкого потока {St}, к рое имеет указанную ниже сложную топологич. структуру и является асимптотически устойчивым (т. е. оно устойчиво по Ляпунову и все траектории из нек рой… … Математическая энциклопедия

Сила (f), действующая на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле; выражается установленной Х. А. Лоренцем в конце XIX в. формулой: (в СГС системе единиц), где e, v заряд и скорость частицы, E напряжённость электрического поля, B … Энциклопедический словарь

Хаотические, странные аттракторы соответствуют непредсказуемому поведению систем, не имеющих строго периодической динамики, это математический образ детерминированных непериодических процессов. Странные аттракторы структурированы и могут иметь весьма сложные и необычные конфигурации в трехмерном пространстве.

Рис. 1.

и фазовые портреты (нижний ряд) для трех различных систем

(Глейк, 2001)

Хотя в работах некоторых математиков ранее была установлена возможность существования странных аттракторов, впервые построение странного аттрактора (рис. 2) как решение системы дифференциальных уравнений осуществил в работе по компьютерному моделированию термоконвекции и турбулентности в атмосфере американский метеоролог Э. Лоренц (E.Lorentz, 1963). Конечное состояние системы Лоренца чрезвычайно чувствительно к начальному состоянию. Сам же термин «странный аттрактор» появился позже, в работе Д. Рюэлля и Ф. Такенса в (D.Ruelle, F. Takens, 1971: см. Рюэль, 2001) о природе турбуленции в жидкости; авторы отмечали, что размерность странного аттрактора отлична от обычной, или топологической.Позже Б. Мандельброт (B.Mandelbrot) отождествил странные аттракторы, траектории которых при последовательных вычислениях компьютера бесконечно расслаиваются, расщепляются, с фракталами.

Рис. 2. (Хаотические траектории в системе Лоренца). Аттрактор Лоренца (Кроновер, 2000)

Лоренц (Lorenz, 1963) обнаружил, что даже простая система из трех нелинейных дифференциальных уравнений может привести к хаотическим траекториям В свою очередь, движение воздушных потоков в плоском слое жидкости постоянной толщины при разложении скорости течения и температуры в двойные ряды Фурье с последующем усечением до первых-вторых гармоник:

где s, r и b -- некоторые положительные числа, параметры системы. Обычно исследования системы Лоренца проводят при s =10, r =28 и b =8/3 (значения параметров).

Таким образом, системы, поведение которых детерминируется правилами, не включающим случайность, с течением времени проявляют непредсказуемость за счет нарастания, усиления, амплификации малых неопределенностей, флуктуаций. Наглядный образ системы с нарастанием неопределенности - так называемый биллиард Я.Г. Синая: достаточно большая последовательность соударений шаров неизбежно ведет к нарастанию малых отклонений от исчисляемых траекторий (за счет не идеально сферической поверхности реальных шаров, не идеально однородной поверхности сукна) и непредсказуемости поведения системы.

В таких системах «случайность создается подобно тому, как перемешивается тесто или тасуется колода карт» (Кратчфилд и др., 1987). Так называемое «преобразование пекаря» с последовательным растягиванием и складыванием, бесконечным образованием складок - одна из моделей возникновения перехода от порядка к хаосу; при этом число преобразований может служить мерой хаоса. Есть Аттрактор Айдзавы, который является частным случаем аттрактора Лоренца.

где а = 0,95, B = 0,7, с = 0,6, d = 3,5, е = 0,25, F = 0,1. Каждая предыдущая координата вводится в уравнения, полученное в результате значение, умноженное на значения времени.

Примеры других странных аттракторов

Аттрактор ВангСун

Здeсь a, b, d, e?R, c> 0 и f< 0 являются константами, cf ? 0, и x, y, z а это переменные состояния.

Аттрактор Рёсслера

Где a,b,c= положительные постоянные. При значениях параметров a=b=0.2 и

До настоящего момента мы изучали фракталы, которые являются статическими фигурами. Наш подход вполне приемлем до тех пор, пока не возникает необходимость рассмотрения таких природных явлений, как падающие потоки воды, турбулентные завихрения дыма, метеосистемы и потоки на выходе реактивных двигателей. В этих случаях один-единственный фрактал соответствует моментальному снимку данного феномена. Структуры, изменяющиеся во времени, мы определяем как динамические системы. Интуитивно понятно, что динамической противоположностью фрактала является хаос. Это означает, что хаос описывает состояние крайней непредсказуемости, возникающей в динамической системе, в то время как фрактальность описывает крайнюю иррегулярность или изрезанность, присущую геометрической конфигурации.

Достаточно скоро стало ясно, что многие хаотические динамические системы, описыващие феномены окружащего нас мира, устроены очень сложно и не могут быть в полной мере представлены традиционными методами математического анализа. По-видимому, нет никакой возможности получить математические выражения для решений в замкнутом виде, даже если использовать бесконечные ряды или специальные функции.

Рассмотрим знаменитый пример, весьма наглядно демонстрирующий, что стоит за термином «хаотическая динамика». Эдвард Лоренц из Массачусетского технологического института в 1961 году занимался численными исследованиями метеосистем, в частности моделированием конвекционных токов в атмосфере.

Рис. 6.1. Аттрактор Лоренца

Он написал программу для решения следующей системы дифференциальных уравнений:

В дальнейших расчетах параметры постоянны и принимают значения

Согласно описанию эксперимента, принадлежащему самому Лоренцу, он вычислял значения решения в течение длительного времени, а затем остановил счет. Его заинтересовала некоторая особенность решения, которая возникала где-то в середине интервала счета, и поэтому он повторил вычисления с этого момента. Результаты повторного счета, очевидно, совпали бы с результатами первоначального счета, если бы начальные значения для повторного счета в точности были равны полученным ранее значениям для этого момента времени.

Рис. 6.2. Результаты численного эксперимента Лоренца

Лоренц слегка изменил эти значения, уменьшив число верных десятичных знаков. Ошибки, введенные таким образом, были крайне невелики. Но самое неожиданное было впереди. Вновь сосчитанное решение некоторое время хорошо согласовывалось со старым. Однако, по мере счета расхождение возрастало, и постепенно стало ясно, что новое решение вовсе не напоминает старое (см. рис. 6.1, 6.2).

Лоренц вновь повторял и проверял вычисления (вероятно, не доверяя компьютеру), прежде чем осознал важность эксперимента. То, что он наблюдал, теперь называется существенной зависимостью от начальных условий - основной чертой, присущей хаотической динамике. Существенную зависимость иногда называют эффектом бабочки. Такое название относится к невозможности делать долго статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в опубликованной в 1979 году .

Несмотря на большую значимость эксперимента Лоренца, в настоящем тексте не будут рассматриваться модели, связанные с динамическими системами, описываемыми дифференциальными уравнениями. Напротив, мы будем рассматривать наиболее простые модели хаотической динамики. Это означает, что мы ограничимся изучением только дискретных динамических систем, а не непрерывных типа странного аттрактора Лоренца, описанного выше. Но не расстраивайтесь. Обнаружение хаотической динамики в поведении дискретных динамических систем столь же неожиданно, как и в непрерывном случае. Многие известные и эффектные графические примеры соответсвуют именно дискретным системам. В числе их можно упомянуть знаменитое и вездесущее множество Мандельброта и сопутствующие ему множества Жюлиа.

Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 1, 2007 УДК 517.9

АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ

А.М. Мухамедов

В рамках ранее предложенной модели хаотической динамики сплошной среды получена реализация трехмерного режима пульсаций скорости течения, отвечающего аттрактору типа Лоренца. Решение представляет собой набор структур, определяющих геометрию редуцированного к трехмерному случаю расслоенного многообразия, образованного пульсациями скоростей течения среды. Сама динамика аттрактора Лоренца проявляется в виде временной зависимости пульсаций скоростей вдоль линий тока среднего течения.

Как известно, один из классических примеров детерминированного хаоса -аттрактор Лоренца - открытый в результате гидродинамических исследований прикладного характера, все еще не получил адекватного воспроизведения в формализме существующей турбулентной механики. В работах автора была высказана гипотеза о том, что классическое гидродинамическое решение этой задачи не может быть получено в принципе, и предложено обоснование такого вывода. В его основе лежало понимание того, что аттракторные модели хаотической динамики затрагивают мезоскопический уровень движения сплошной среды, и что в классических уравнениях Навье - Стокса этот уровень не представлен. Отсюда следовало предложение расширить варианты решения проблемы аттрактора Лоренца за счет явного включения в математический формализм гидродинамики дополнительных мезоструктур, выводящих аппарат этой теории за рамки классических операций с уравнениями Навье - Стокса.

В настоящее время аттракторные режимы динамики сплошных сред конструируются в рамках моделей, представляющих собой далеко уходящие абстракции движения сплошной среды, почти не использующие представления о механических взаимодействиях частиц среды друг с другом . В одних случаях эти абстракции отображают свойства операторов эволюционного типа, действующих в иерархии вложенных друг в друга гильбертовых пространств. В других случаях они отображают динамику конечномерных систем, воспроизводящих изменения состояний среды, но при этом каждое из состояний актуально представлено всего лишь точкой соответствующего фазового многообразия. Подобное моделирование не отвечает прикладному назначению гидромеханики, требующему воспроизведения всех существенных структур непосредственно, то есть в пространстве, занятом сплошной средой. Если учесть аргументы теоретических и экспериментальных данных в пользу

существования такого представления , то воспроизведение аттракторов в контексте динамики пространственно-временных характеристик среды представляется настоятельной необходимостью.

В данной работе строится аттрактор Лоренца в рамках предложенной в модели турбулентной динамики. Согласно этой модели, фазовыми пространствами турбулентных режимов являются расслоения струй пульсаций гидродинамических величин. Геометрия пульсационных расслоений предполагается априори произвольной, определяемой моделируемыми особенностями соответствующих хаотических режимов. Основным объектом моделирования является хаотическая структура, представляющая собой комплекс неустойчивых траекторий движения точек среды. Предполагается, что каждому установившемуся турбулентному режиму отвечает вполне определенная хаотическая структура. В траектории хаотической структуры отождествлялись с множеством интегральных кривых неинтегрируемого (неголономного) распределения типа Пфаффа, заданного на расслоении пульсаций динамических переменных.

Характерной чертой предложенной модели является способ Лагранжа описания движения среды, не сводящийся, в общем случае, к описанию движения в переменных Эйлера. При этом оказалось, что описание Лагранжа замечательно приспособлено для отображения динамики систем со странными аттракторами. Вместо жестких ограничений парадигмы Эйлера описание Лагранжа накладывает гораздо более мягкие условия, служащие для определения геометрических объектов соответствующих неголономных распределений. Такое изменение акцента моделирования позволяет воспроизводить разнообразные аттракторы в динамике пучков частиц континуальных сред.

1. Зададимся уравнениями динамики пульсаций трехмодового режима

(уг + 4 (х,у!)(хк = Аг{х,у^)(И {1,3,к = 1,2,3), (1)

где хк и уг образуют наборы пространственных и динамических координат расслоения пульсаций, а объекты шгк{х,у^)(хк и Аг{х,у^)М определяют собой характер межмодовых взаимодействий режима. Можно рассматривать эти объекты и само уравнение (1) как правила образования производных от динамических координат по пространственным координатам и времени, определяемых реальной турбулентной эволюцией. Инвариантный геометрический смысл этих объектов состоит в том, что в расслоении пульсаций они определяют объект внутренней связности и вертикальное векторное поле, соответственно.

Предположим, что введенные выше динамические координаты имеют смысл пульсаций скорости течения среды, то есть актуальная скорость среды может быть разложена на поле скоростей среднего течения и пульсации по формуле

иг{х,у)= и0 {х)+ уг. (2)

Уравнения баланса массы и импульса примем в форме стандартного уравнения неразрывности и уравнения Навье - Стокса

Чр + уДи. (4)

Данная система уравнений еще не полна, так как в уравнение (4) входит давление, являющееся термодинамической переменной, динамика которой, в общем случае, выходит за рамки кинематики. Для описания пульсаций давления требуются новые динамические координаты, что увеличивает число необходимых степеней свободы для описания соответствующего турбулентного режима движения. Введем новую динамическую переменную, имеющую смысл пульсаций давления, то есть примем

p(x,y)= po(x)+ y4. (5)

Таким образом, первоначальный набор требуемых динамических координат для отображения движения сплошной среды является четырехмерным.

Возможность редукции к трехмерной системе с динамикой, аналогичной динамике системы Лоренца, заключается в том, что в уравнение (4) давление входит в виде градиента. Отсюда следует, что редукция к трехмерной динамике пульсаций скоростей может быть выполнена, если входящий в уравнение (4) градиент давления будет содержать только первые три динамические координаты. Для этого достаточно потребовать, чтобы в уравнениях динамики для четвертой координаты

dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)

коэффициенты форм связности w4(x,yj)dxk зависели только лишь от первых трех динамических координат. Заметим, что трехмерный режим может оказаться неустойчивым с точки зрения более полного описания, включающего в себя рассмотрение всех возбуждаемых степеней свободы. Тем не менее, мы ограничимся моделированием именно этой априори возможной динамики.

Рассмотрим условия, накладываемые уравнениями баланса (3), (4) на выражения неизвестных величин wk(x,yj)dxk и Ai(x,yj)dt, входящих в динамическое уравнение (1). Для этого подставим (2) и (5) в (3) и (4), и воспользуемся уравнениями (1) и (6). Для упрощения возникающих выражений будем считать пространственные координаты xk декартовыми. В этом случае можно не различать верхние и нижние индексы, поднимая и опуская их по мере необходимости записи ковариантных выражений. Тогда получим следующие уравнения для коэффициентов уравнения (1)

dkuk - wj = 0, (7)

Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)

где введено обозначение Dj = dj - wk^y.

Для дальнейшего конкретизируем постановку задачи. Будем рассматривать режим, среднее поле скоростей которого описывает течение простого сдвига

uk = Ax3à\. (9)

Кроме того, сделаем предположения и в отношении геометрии расслоенного пространства пульсаций. Будем считать связность расслоения линейной функцией по динамическим координатам, то есть w^ = waj (x)yj (а = 1,..., 4). В этом случае из уравнения (8) сразу следует, что второй объект приобретает полиномиальную по динамическим координатам структуру. А именно, вертикальное векторное поле становится многочленом второго порядка по динамическим координатам, то есть

Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.

Таким образом, неизвестными функциями, определяющими уравнение динамики пульсаций рассматриваемого трехмодового режима, являются коэффициенты юак(х), Аг0{х), Агк{х) и А3к{х), для определения которых имеем уравнения (3) и (4). Заметим при этом, что уравнение (4) по существу сводится к определению коэффициентов вертикального векторного поля, тогда как выбор коэффициентов связности ограничивает только лишь уравнение неразрывности (3). Это уравнение оставляет значительный произвол в определении коэффициентов связности, оставляя тем самым широту моделирования пространственной структуры динамики пульсаций, согласованных с выбранным средним течением.

2. Рассмотрим возможность получения в данной задаче аттрактора типа Лоренца. С этой целью, прежде всего, обсудим разложение актуальных значений скорости на среднюю скорость и пульсации около среднего.

По смыслу пульсаций их временное среднее должно быть равным нулю, то есть

(у)т - 0. (10)

Вместе с тем, пульсации определяются как отклонения актуальных значений скорости от осредненного значения. Если среднее течение считать заданным, то отмеченное обстоятельство не позволяет выбирать в качестве модельного уравнения хаоса произвольную систему уравнений с хаотической динамикой. Для того чтобы переменные модельной системы уравнений можно было рассматривать как пульсации реальных гидромеханических величин, требуется выполнение условий (10). Если же (10) не выполняется, то это означает существование в динамике пульсаций неучтенного дрейфа. Соответственно, принятая модельная система оказывается несогласованной либо с учитываемыми действующими факторами, либо со структурой допускаемого среднего течения.

Далее, уравнение (1) является в общем случае не вполне интегрируемой системой типа Пфаффа. Свойство неинтегрируемости этого уравнения является принципиально важным, отвечающим характерной для турбулентного движения особенности. А именно, в процессе движения любые макроскопически малые турбулентные образования, частицы, моли, глобулы, утрачивают свою индивидуальность. Эта особенность учитывается неинтегрируемостью уравнения (1). По существу, (1) описывает ансамбль возможных траекторий движения точек континуума, образованного сплошной средой. Эти траектории определены в расслоении пульсаций. Их проекции на пространство, занимаемое сплошной средой, определяют динамику развития пульсаций вдоль соответствующих пространственных кривых. Заметим, что последние могут быть выбраны произвольно, определяя собой возможность рассмотрения динамики пульсаций вдоль любой пространственной кривой.

Рассмотрим для определенности динамику пульсаций вдоль линий тока среднего течения. Тогда имеем следующие динамические уравнения:

хг = и0, (11)

уг + ш)к у3 4 = Аг. (12)

Прежде чем рассматривать эту систему, преобразуем ее к безразмерным переменным. Для этого в исходном уравнении (4) вместо коэффициента вязкости введем

число Рейнольдса. Затем устраним явную зависимость от этого числа с помощью замены

<сг = 1_<юг, ю4 = со4, х = х^Иё, у = у^Кё, и0 = и0^Иё, рг = Иер0. (13)

Опуская знак надчеркивания над переменными, из (12) получаем

уг = ДиО - и!кдкиО - дгро + у3{-дзиО + <г - дкюЗ^ + ю\кю*к) + у3ук<3к. (14)

Проанализируем (13). Заметим, что используемая модель предполагает развитую турбулентность, то есть число Рейнольдса должно считаться достаточно большим. Тогда, если безразмерные величины имеют значения порядка единицы, то реальные размерные величины в соответствии с (13) будут указывать масштаб проявления динамики. В частности, из (13) следует, что пространственные масштабы оказываются малыми. Тем самым, используемая модель должна рассматриваться, прежде всего, как модель процессов турбулентного перемешивания на мезоскопическом уровне разрешения сплошной среды.

Теперь обратимся к анализу (11) и (12). Легко видеть, что для выбранного среднего течения уравнение (11) имеет простые интегралы. Соответствующие этому уравнения линии тока среднего течения представляют собой прямые, параллельные координатной оси х1. Исключая пространственные координаты, из (12) получаем в общем случае систему неавтономных дифференциальных уравнений. При этом, если коэффициенты связности и градиент давления не зависят от координаты х1, то система (14) становится автономной, содержащей оставшиеся пространственные координаты х2 и х3 в качестве параметров. В этом случае открывается реальный путь к прямому моделированию пространственно неоднородной квазистационарной динамики пульсаций. Ниже будет приведен пример такого моделирования.

В заключение этого пункта заметим, что возникновение неголономного распределения, задаваемого системой Пфаффа (1), (6), является следствием предположения о том, что в состоянии установившейся сильной турбулентности класс возможных траекторий движения частиц среды является стабильным образованием. Необходимым условием этой новой стабильности является требование неустойчивости траекторий движения точек, что, в свою очередь, предполагает большие значения числа Рейнольдса. Попытка распространения подхода на малые значения числа Яе является необоснованной.

3. Обратимся к построению примера, в котором пульсации скорости вдоль траекторий среднего течения описываются канонической системой типа Лоренца. Для простоты будем считать все коэффициенты связности постоянными. В этом случае получаем пространственно-однородную вдоль линий тока среднего течения динамику, которая, тем не менее, вдоль произвольных линий не является пространственно-однородной. Будем называть сделанное допущение квазиоднородным приближением.

Наша задача состоит в том, чтобы придать уравнению (14) вид канонической системы Лоренца. Первым видимым препятствием для этого оказывается неопределенность отождествления динамических координат и соответствующих переменных

из канонической системы. Полагая, что различные типы механизмов межмодовых взаимодействий позволят смоделировать любые из подобных отождествлений, выберем следующий вариант. Пусть структура уравнения (14) имеет следующий вид:

у1 = а(-у1 + у2), (15)

у2 = (г - (г))у1 - у2 - у1у3, (16)

у3 = -у(у3 + (г)) + у1у2, (17)

где явно выделено регулярное слагаемое, которое в соответствии со сказанным в п. 2 должно быть исключено из выражения для пульсаций.

х = о(-х + у), у = гх - у - хг, г= -у г + ху. (18)

Для этого предположим, что временные средние для переменных системы (18) существуют. Исходя из инвариантности этой системы относительно преобразований

х ^ -х, у ^ -у, г ^ г (19)

естественно ожидать, что средние для первых двух переменных должны быть нулевыми. Тогда подстановка

х ^ х, у ^ у, г ^ г + (г) (20)

в (18) дает систему уравнений (15) - (17).

В этой связи отметим, что для различных значений параметров системы Лоренца возможны решения как с нулевыми, так и с отличными от нуля средними значениями первых двух переменных . Имея это в виду, ограничим последующее рассмотрение первой из указанных возможностей. Кроме того, заметим, что подстановка (20) может быть выполнена и в том случае, когда слагаемое в третьем выражении (20) не будет иметь смысла временного среднего. При этом для последующей интерпретации может потребоваться новое определение процедуры осреднения. В общем случае пригодное определение потребует уточнения временных масштабов рассматриваемых явлений. Ясно то, что подобные переопределения потребуют более детального учета как начальных данных, так и вариаций параметров системы. Известный эффект взаимодействия хаотических аттракторов показывает, каким образом могут возникать неоднозначности в определении средних при малых вариациях параметров движения .

Вернемся к нашему рассмотрению. Сравнивая коэффициенты системы (15) -(17) и (14), получаем

(ДиО - и£дки0 - с/ро) =

(-3]иО + - дкю] + ю^) =

V -У (г)) (-о

г -(г) -1 0 V 0 0 -у У

Кроме того, из (7) имеем

дк и0 = 0, 0.

Рассмотрим (21) и (24). Подставляя выражение (9), легко видеть, что (24) выполняется тождественно, а (21) сводится лишь к определению среднего градиента давления. При этом градиент оказывается перпендикулярным к средней скорости течения, что является следствием выбранного отождествления переменных канонической системы Лоренца и компонент пульсаций скорости.

Обратимся к уравнениям (23) и (25). Из (23) получаем однозначные выражения для симметризованных по нижним индексам компонент объекта связности. Антисимметричная часть определяется из (25) с некоторым произволом. Общее решение этих уравнений дается следующим выражением:

/ аё,х2 - Ьйхг -айх1 + сд,х3 Ьйх1 - сйх2 \

ейх2 - /йх3 -ейх1 + Ьйх3 (/ - 1)йх1 - Ьйх2 V ря1х2 - ейх3 (-р + 1)йх1 + айх3 ейх1 - айх2)

Обратимся к оставшемуся уравнению (22). Это матричное уравнение представляет собой систему из 9 квадратичных алгебраических уравнений

Ь2 - с(р + /) +

ае - Ьр + Юр = г - (г) ,

еЬ - а/ + ю43 = 0,

ае - Ьр + Ь + Ю21 = о,

С/ + е2 + Ь2 - (1 - /)(1 - р) + ю42 = -1,

Ес + аЬ + ю43 = 0,

А/ + еЬ + а - А + юЗ1 = 0 ,

Ес + аЬ + ю42 = 0,

Ср - (1 - /)(1 - р) + е2 + а2 + юЗ3 = -у.

Неизвестными в ней являются 6 коэффициентов связности (26), 9 компонент тензора давления, 1 коэффициент, определяющий величину средней скорости, и 3 параметра системы Лоренца. Отсюда следует, что решение этой системы определяется со значительным параметрическим произволом. В рассматриваемом трехмерном режиме тензор градиента давления ю>4г является произвольным и за счет его конкретизации можно смоделировать желаемую динамику при любом, заранее фиксированном, выборе коэффициентов связности. Для многомерных режимов компоненты тензора давления включены в более полную систему уравнений, учитывающих динамику всех возбуждаемых степеней свободы. В этом случае тензор давления уже не может быть произвольным. В этой связи интересно рассмотреть различные частные варианты определения тензора давления, предполагая, что физически разумные допущения должны находить свои представления в более полных, учитывающих многомерную динамику, уравнениях. Будем предполагать тензор градиента давления диагональным с нулевой компонентой, отвечающей координате у2. В этом случае (22) имеет следующее точное аналитическое решение:

ю!1 = .1 - а, ю43 = .1 - у + 1, .1 = (К - а) а - А2, К = г - {г), (27)

К - а т Ка, К - а АК

а = А, Ь = а - К, с =-- .1, р =-, f = -- К, е =---. (28)

Рассмотрим полученное решение (27), (28). В нем остались произвольными величины А, г, а, у, определяющие величину градиента скорости среднего течения, и три параметра модельной системы Лоренца. Все остальные характеристики движения выражены как функции отмеченного набора величин. За счет выбора определенных значений этих величин можно варьировать динамику пульсаций, а по формулам (26), (27) находить соответствующие значения компонент объекта связности. Если учесть, что каждый объект определяет характер взаимодействий пульсаций, то тем самым появляется возможность варьировать различные типы самих взаимодействий. В частности, варьировать величину компонент тензора давления. Следует заметить, что в некоторых случаях эти компоненты можно обратить тождественно в нуль. Особенность решений (27), (28) состоит в том, что обратить компоненты тензора давления в нуль, оставаясь в области тех значений параметров системы, для которых возникает динамика Лоренца, оказывается невозможным. (Однако это вполне возможно в области тех значений параметров, при которых динамика пульсаций является регулярной.)

Произведем некоторые оценки. Пусть параметры модельной системы отвечают аттрактору Лоренца с параметрами а = 10, г = 28, у = 8/3. В этом случае расчеты показывают, что пульсации имеют характерное время т ~ 0.7. В пределах расчетного промежутка времени Ь = 0 + 50, значения пульсаций принадлежат интервалам у1 = -17.3 + 19.8, у2 = -22.8 + 27.2 и у3 = -23.2 + 23.7.

Сопоставим абсолютные значения пульсаций скорости и градиента средней скорости. Из (13) следует, что пульсации получаются делением относительных значений на число л/Йё, тогда как градиент средней скорости остается неизменным. Примем для градиента скорости значение, равное единице по порядку величины, то

есть А ~ 1. Тогда при значении Яе=2000, то есть при нижнем критическом значении , для пульсаций получаем порядок величины, равный 50% от величины градиента. Для случая Яе=40000, пульсации скорости достигают только лишь 10%% от принятого значения градиента средней скорости. Отсюда видно, что разумные пропорции между средней скоростью и пульсациями могут быть обеспечены лишь в некотором диапазоне чисел Яе.

4. Новые данные выявляются при рассмотрении движения точек среды. Для динамики Лоренца в квазиоднородном приближении уравнения движения точек имеют вид

r -(z) -l 0 0 0 -Y

Aox3 -A(r - (z))x3

Эта система оказывается линейной с постоянными коэффициентами. Ее общее решение легко может быть получено элементарным интегрированием. Поэтому отметим только качественные особенности траекторий движения точек. Из характеристического уравнения для скоростей движения получаем, что имеется два отрицательных и один положительный корень. Тем самым в каждой точке пространства выделяются два сжимающих и одно растягивающее направления. Эти особенности динамики являются инвариантными характеристиками, которые могут быть использованы для классификации аттракторов, отвечающих течениям с одинаковыми значениями средней скорости.

Как следует из общего решения системы (29) и (30), возможные перемещения точек среды в направлениях, трансверсальных к линиям тока среднего течения, не ограничены. А именно, в проекции на ось х3 происходит регулярный дрейф. При этом точки, перемещаясь перпендикулярно линиям тока среднего течения, попадают в область больших значений скорости. В этом случае число Яе возрастает, что ведет к уменьшению относительной величины пульсаций. В рамках сделанного квазиоднородного приближения этот эффект ведет к относительному уменьшению пульсаций и, в конечном счете, к их вырождению во флуктуации.

Библиографический список

1. Mukhamedov A.M. Turbulent models: problems and solutions //17 IMACS Congress, Paper T4-1-103-0846, http://imacs2005.ec-lille.fr.

2. Mukhamedov A.M. Towards a gauge theory of turbulence // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. Vol. 29. P. 253.

3. Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. 1971. Vol. 20. P. 167.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989. 296 с.

5. Mandelbrot B. The fractal geometry of nature. Freeman. San Francisco, 1982.

6. Benzi RPaladin G., Parisi G., Vulpiani A. On the multifractal nature of fully developed turbulence and chaotic systems // J. Phys. A. 1984. Vol.17. P.3521.

7. Elnaschie M.S. The Feynman path integrals and E-Infinity theory from the two-slit Gedanken experiment // International Journal of Nonlinear sciences and Numerical Simulations. 2005. Vol. 6(4). P. 335.

8. Мухамедов А.М. Ансамблевые режимы турбулентности в сдвиговых течениях // Вестник КГТУ им. А.Н.Туполева. 2003, № 3. С. 36.

9. Юдович В.И. Асимптотика предельных циклов системы Лоренца при больших числах Релея // ВИНИТИ. 31.07.78. № 2611-78.

10. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

11. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987. 840 с.

Казанский государственный Поступила в редакцию 23.01.2006

технический университет После доработки 15.08.2006

LORENZ ATTRACTOR IN FLOWS OF SIMPLE SHIFT

In the frame of a model given before for simulation of chaotic dynamics of continuum medium the Lorenz attractor is represented. The simulation is given with the help of the structures that define the geometry of a fiber bundle associated with 3-dimensional regime of velocity pulsations. Lorenz dynamics appears as time dependence of pulsations along the lines of average flow.

Мухамедов Альфэрид Мавиевич - родился в Казани (1953). Окончил физический факультет Казанского государственного университета по кафедре гравитации и теории относительности (1976). Докторант кафедры теоретической и прикладной механики Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева. Автор 12 работ по данной тематике, а также монографии «Научный поиск и методология математики» (Казань: Изд-во КГТУ, 2005, в соавторстве с Г.Д. Тарзимановой). Область научных интересов - математические модели хаотической динамики, геометрия расслоенных многообразий, методология современной математики.