1.3.Строение простого алгебраического расширения поля.

Теорема 1.5 . Пусть a - алгебраический над полем P элемент положительной степени n . Тогда любой элемент поля P(a) однозначно представим в виде линейной комби­нации n элементов 1, a, ..., a n -1 с коэффициентами из Р.

Доказательство . Пусть - любой элемент поля P (a). По теореме 1.4, P( a) = P [ a]; следовательно, существует в P [ x ] полином f такой, что

(1)  = f (a ).

Пусть g - минимальныйполином для a над P; в силу условия теоремы его степень равна п. По теореме о делении с остатком, существуют в P [ x ] полиномы h и r такие, что

(2) f = gh + r, где r = 0 или der r < der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n-1 x n-1 (c i P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3)  = c 0 + c 1 a +… c n -1 a n -1

Покажем, что элемент  однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a, ..., a n -1 . Пусть

(4)  = d 0 + d 1 a +… d n -1 a n -1 (d i  P)

Любое такое представление. Рассмотрим полином 

 = (с 0 – d 0 ) + (c 1 - d i .) x + . . . + (с n -1 – d n -1 ) x n -1

Случай, когда степень  меньше n , невозможен, так как в силу (3) и (4) (a) = 0 и степень  меньше степени g . Возможен лишь случай, когда  = 0, т. е. с 0 = d 0 , . . . , с n -1 = d п-1. Следовательно, элемент  однозначно представим в виде линейной комбинации элементов 1, a,…,a n -1 .

1.4.Освобождение от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби.

Задача об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби состоит в следующем. Пусть a - алгебраический элемент степени n>1 над полем P; f и h - полиномы из кольца полино­мов P [x]и h(a) 0. Требуется представить элемент f(a)/h(a)0P(a) в виде линейной комбинации степеней эле­мента a, т. е. в виде (a),

где 0P[x].

Эта задача решается следующим образом. Пусть g - минимальный полином для a над P. Так как, по теореме 1.4, полином неприводим над P и h(a)  0, то g не делит h и, значит, полиномы h и g - взаимно простые. Поэтому существуют в P[x] такие полиномы u и v , что

uh + vg =1 (1)

Поскольку g(a) = 0, из (1) следует, что

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Следовательно, f(a)/h(a) = f(a)u(a), причем f,u 0P[x] и f(a)u(a)0P[a]. Итак, мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби f(a)/h(a) .

Пример.

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби

Решение. В нашем случае  =
. Минимальным многочленом этого числа является

p (x )= x 3 -2.

Многочлены p (x ) и g (x )=- x 2 + x +1 взаимно просты. Поэтому существуют такие многочлены  и  , что

p  + g  =1.

Для отыскания  и  применим алгоритм Евклида к многочленам p и g:

- x 3 -2 - x 2 + x +1 - x 2 + x +1 2 x -1

x 3 - x 2 - x - x -1 - x 2 +1/2 x -1/2 x +1/4

x 2 + x -2 1/2 x +1

x 2 - x -1 1/2 x -1/4

2 x -1 5/4

Таким образом,

p = g (- x -1)+(2 x -1),

g =(2 x -1)(-1/2 x +1/4)+5/4.

Откуда находим

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

или

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p 1/5(2 x -1)+ g (2/5 x 2 +1/5 x +3/5)=1.

Таким образом,

(x )= (2/5 x 2 +1/5 x +3/5).

y ( )= y (
)=
.

Следовательно

.

Пусть поле P содержится в поле T и a – элемент T не принадлежащий P . Рассмотрим наименьшее поле P (a ) содержащее все элементы из P и a . Все элементы вида принадлежат P (a ). Рассмотрим два случая.

Конечные поля.

Теорема 4.2. Число элементов конечного поля p n , где p – простое число.

Доказательство . Поскольку поле P конечно, то его характеристика отлична от нуля. Пусть p его характеристика. Поле P, можно рассматривать как векторное пространство над Z p . Обозначим через v 1 ,…,v n базис P. Любой элемент поля P однозначно характеризуется координатами (x 1 ,…,x n) в этом базисе. Каждая координата принимает p значений, следовательно, число различных наборов координат, а значит и элементов поля P, равно p n .

Лемма 4.1 В поле характеристики p .

Доказательство . , где - кратность вхождения элемента. Величина не делится на p только в случае i= 0;p. Так как pe=0 , то .

Теорема 4.3. Для любого натурального n и простого p существует поле порядка p n .

Расширим Z p так, чтобы результирующее поле содержало все корни многочлена . Многочлен не имеет кратных корней, так как его производная равна –1. Обозначим через M множество корней многочлена . Легко проверить, что M является полем и число его элементов равно p n

Теорема 4.4. Поле порядка единственно с точностью до изоморфизма.

Доказательство .

Поскольку число элементов поля , то его характеристика равна . Следовательно, любое поле P порядка можно рассматривать как расширение кольца вычетов . Мултьипликативная группа поля () имеет порядок , и, следовательно, для любого справедливо . Таким образом, все элементы поля являются корнями уравнения над .

Теорема 4.5. Мультипликативная группа корней n -ой степени из 1 в поле P является цикличной.

Доказательство. Пусть p характеристика поля P . Если , то , и, значит, множество корней уравнения совпадает с множеством корней степени . Не нарушая общности можно считать . Доказательство достаточно провести для случая, когда все корни n -ой степени из 1 содержатся в поле P . В противном случае расширим поле и воспользуемся фактом, что любая подгруппа циклической группы – циклическая. Поскольку имеет только единственный корень, равный нулю, то количество корней n -ой степени из 1 равно n . Рассмотрим три случая:

1. n – простое число. Тогда группа корней имеет порядок n , и, значит циклическая

2. - степень простого числа. Найдем корень уравнения , не являющийся корнем уравнения . Порядок элемента является делителем порядка группы n и не является делителем . Следовательно, порядок равен n и группа циклическая.

3. Пусть . Обозначим через порождающий элемент циклической группы корней из 1 степени . Положим . Индукцией по k покажем, что порядок равен . При k =1 утверждение очевидно. Пусть оно доказано для k -1. Порядок элемента равен . Наибольший общий делитель t и равен 1, и, значит, найдутся числа u и v , что . Поскольку и , то порядок элемента делится на t и на . Далее, из равенства , следует, что порядок элемента является делителем . Теорема доказана.

Теория Галуа

Поле T называется конечным расширением поля P , если T является конечно мерным линейным пространством над P . Размерность пространства называется степенью расширения.

Любое алгебраическое расширение поля P является конечным. Его степень равна степени неприводимого многочлена.

Теорема 5.1. Конечное расширение U поля T , являющегося конечным расширением поля P , является конечным расширением P . Причем степень расширения U над P равна произведению степеней расширения.

Доказательство . Почти очевидно.

Элемент поля T называется алгебраичным над P , если он является корнем некоторого многочлена над P .

Все элементы конечного расширения P алгебраичны над P .

Любое конечное расширение может быть получено с помощью присоединения конечного числа алгебраических расширений.

Теорема 5.2. Любое конечное расширение поля P характеристики 0 является простым расширением.

Доказательство не очевидно.

Конечное расширение T называется нормальным расширением P , если из факта, что неприводимый многочлен над P имеет в T корень, следует его разложимость на линейные множители. Ясно, что нормальное расширение поля характеристики 0, является полем разложения многочлена. Верно и обратное утверждение. Поле разложения многочлена является нормальным расширением.

Автоморфизмом поля называется изоморфное отображение само на себя.

Группой Галуа нормального расширения T поля P называется группа автоморфизмов поля T , сохраняющая элементы поля P .

Теорема 5.3. Каждому промежуточному полю U , соответствует некоторая подгруппа группы Галуа, а именно, совокупность тех автоморфизмов, которые не меняют элементы . Поле определяется подгруппой однозначно.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения

1 0 . Понятие минимального многочлена.

Пусть a - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k.

Определение. Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа a, если выполнены условия:

а) m(x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из k;

б) m(a) = 0, т.е. a - корень многочлена m(x).

2 0 . Основные свойства минимальных многочленов.

1. Если f(x) Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен m(х) числа a.

Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на m, запишем

f = mg + r, deg r < deg m

на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие.

2. Допустим, что a - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа a.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3. Минимальный многочлен алгебраического числа a над данным полем определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Определение. Степень минимального многочлена числа a называется степенью числа a; обозначение deg k a.

4. a Î k Û deg k a = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если a - алгебраическое число степени n, то 1, a, a 2 , ..., a n -1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c 0 , c 1 , ..., c n-1 Îk) c 0 + c 1 a + ... + c n-1 a n -1 = 0 возможно только в случае c 0 = c 1 = . . . = c n-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степени числа a линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем m.

6. Пусть a - алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь представима в виде = g(a) для некоторого g(x) Î k[x].

Доказательство. В самом деле, многочлены f и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство

Откуда f(a) g(a) = 1, что и требовалось.

3 0 . Строение простых алгебраических расширений.

Определение. Пусть k - подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащее число a и подполе k, обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(a) получено присоединением к полю k числа a).

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (о строении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа a над полем k линейное пространство k(a) обладает базисом из элементов вида

1, a, a 2 , . . . , a n -1 , где n = deg k a.

Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] - кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = { f(a)½f(x)Î k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке a является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. ÿ

4 0 . Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения.

Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число , и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c 2 + c 3 + c 4 = (c 5 - 1)/(c- 1) = 1/(c- 1),

следовательно, .

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число , и запишем сначала дробь

в виде суммы простейших:

.

Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочлен относительно c. Сначала разделим c 5 - 2 на c + 1:

следовательно,

C 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16.

Тогда получаем

34(c 4 - c 3 + c 2 - c + 1) - 3(c 4 - 2c 3 + 4c 2 - 8c + 16) =

31c 4 - 40c 3 + 22c 2 - 10c - 14,

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число . Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x 3 - 2 и g(x) = 1 + 2x - x 2:

f(x) = - g(x)×(x + 2) + r(x), где r(x) = 5x

5g(x) = r(x)×(x - 2) - 5.

Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x):

f(x)×(x - 2) + g(x)×(x 2 + 1) = 5.

Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим

следовательно, =.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

.

Решение. Обозначим через c число и применим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения существуют рациональные числа x, y, z такие, что

Xc 2 + yc + z или 89 = (c 2 + 16c - 11)(xc 2 + yc + z).

Раскрывая скобки и используя равенство c 3 = 2, получаем:

89 = (32x + 2y - 11z) + (2x - 11y + 16z)c + (-11x + 16y + z)c 2 .

Так как числа 1, c, c 2 линейно независимы над Q имеем

32x + 2y - 11z = 89, 2x - 11y + 16z = 0,

11x + 16y + z = 0.

Решением последней системы является набор чисел (3, 2, 1). Значит, получаем ответ: .

алгебраическое расширение поля - — Тематики защита информации EN extension field … Справочник технического переводчика

Поле E, содержащее данное поле K в качестве подполя. Типы расширений Алгебраическое расширение расширение, все элементы которого являются алгебраическими над K, то есть любой элемент которого является корнем некоторого многочлена f(x) c… … Википедия

Алгебраическое расширение поля EÉ K, являющееся нормальным и сепарабельным. При этих условиях E будет иметь наибольшее количество автоморфизмов над K (если E конечно, то количество автоморфизмов также конечно и равно степени расширения ).… … Википедия

П о л у г р у п п ы А полугруппа S, содержащая Ав качестве подполугруппы. Обычно речь идет о расширениях полугруппы А, связанных с Атеми или иными условиями. Наиболее развита теория идеальных Р. полугрупп (полугрупп, содержащих Ав качестве… … Математическая энциклопедия

Уравнение вида где многочлен n й степени от одного или нескольких переменных. А. у. с одним неизвестным наз. уравнение вида: Здесь п целое неотрицательное число, наз. коэффициентами уравнения и являются данными, хназ. неизвестным и является… … Математическая энциклопедия

Поля k алгебраич. расширение поля k, являющееся алгебраически замкнутым полем. Такое расширение для любого поля kсуществует п определено однозначно с точностью до изоморфизма. А. з. поля действительных чисел является поле комплексных чисел (см.… … Математическая энциклопедия

Нормальное расширение алгебраическое расширение поля EÉ K для которого каждый неприводимый многочлен f(x) над K, имеющий хотя бы один корень в E, разлагается в E на линейные множители. Равносильное определение: Если KÌ EÌ K*, где K* … … Википедия

Сепарабельное расширение алгебраическое расширение поля, состоящее из сепарабельных элементов то есть таких элементов α, минимальный аннулятор f(x) над K для которых не имеет кратных корней. Производная f (x) должна быть по вышеуказанному… … Википедия

Расширение поля, такое, что E конечномерно над K как векторное пространство. Размерность векторного пространства E над K называется степенью расширения и обозначается . Свойства конечных расширений Конечное расширение всегда алгебраично. В… … Википедия

Поля алгебраическое расширение Lполя К, удовлетворяющее одному из следующих эквивалентных условий: 1) любое вложение поля Lв алгебраич. замыкание поля Кявляется автоморфизмом поля L; 2) L поле разложения нек рого семейства многочленов с… … Математическая энциклопедия

Определение 4.9. Пусть поле F является расширением поля Р и a е F. Образуем множество всех элементов, которые получаются из элементов поля Р и элемента а с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления. Очевидно, это множество является полем, которое называется простым расширением поля Р с помощью присоединения элемента а и обозначается Р(а). Если элемент a - алгебраический над полем Р, то Р(а) называется простым алгебраическим расширением, а если a - трансцендентный над Р, то Р(а) называется простым трансцендентным расширением поля Р.

Легко видеть, что Р(а) = {--|g(x),h(x)e P[x],/i(a)^0

и Р(а) есть минимальное поле, содержащее поле Р и элемент а.

Теорема 4.4 (о строении простого алгебраического расширения поля). Если a - алгебраический элемент над полем Р степени п, то:

• 1) Р(о0 = {/(a) | /(х) е Р[х]};
• 2) Р(а) является векторным пространством над полем Р с базисом {1 = а 0 , а,..., а"- 1 }, так что |Р(а) : Р| = п;
• 3) всякий элемент (3 е Р(а) однозначно представим в виде значения Да) некоторого многочлена Дх) с коэффициентами из поля Р степени, не превосходящей п - 1.

Доказательство. 1. Из определения простого алгебраического расширения поля Р вытекает, что

В то же время из решения задачи об освобождении от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби вытекает

возможность представить отношение -- в виде --= /(а),

hi ос) л(а)

где fix) g Р[х]. Следовательно, Р(а) = -{/(а) | Дх) g Р[х]}.

• 2. Докажем, что система {1 = а 0 , а, ..., а п_1 } является базисом векторного пространства Р(а) над полем Р.
• 2.1. Докажем, что система векторов {1 = а 0 , а, ..., а" -1 }

линейно независима. Предположим, что существуют элементы а 0 , ..., а п-1 е Р, такие что а 0 1 + а 2 а + ... + а п _ г а п ~ 1 = 0.

Тогда а оказывается корнем многочлена g(x) = а 0 + ajX + ... + + a n _p^- 1 g Р[х]. Если предположить, что этот многочлен ненулевой, то его степень меньше степени минимального многочлена элемента а, что противоречит определению минимального многочлена. Следовательно, многочлен g(x) нулевой, т.е. все его коэффициенты равны нулю. Но это и означает линейную независимость системы векторов { 1 = а 0 , а,..., а п_1 }.

• 2.2. Докажем, что всякий элемент (3 е Р(а) является линейной комбинацией векторов системы {1 = а 0 , а,..., а" -1 }. В п. 1) доказано, что . Разделим Дх) на минимальный многочлен ф(х) алгебраического элемента а: f{x ) = ф(х) q(x) + г(х), где либо г(х) = 0, либо степень остатка г(х) строго меньше степени многочлена ф(х), равной п. В первом случае Дх) = ф(х) q(x), (3 =Да) = ф(а) q(a) = 0 и (3 = 0 тривиально выражается через элементы данной системы. Во втором случае остаток имеет вид г(х) = Ь 0 + Ь } х + ... + b n _ 1 x n_1 . Но тогда (3 = Да) = ф(а) q(a) + r(a) = r(a) = Ъ 0 + bja + ... + Ь^а* -1 , что и требовалось доказать. Итак, система векторов {1 = а 0 , а, ..., a n-1 } является базисом.
• 3. Из определения базиса вытекает однозначность представления всякого элемента (3 е Р(а) в виде линейной комбинации базисных элементов {1 = а 0 , а, ..., а" -1 }. Теорема доказана.

Следствие . Степень простого алгебраического расширения Р(а) совпадает со степенью минимального многочлена элемента а.

Рассмотрим примеры.

• 1. Простые алгебраические расширения поля Q: Q(V2) = = {a + bV2 |a,beQ}, Q(^3) = {a + b/3 + Cyfi? |a,b, cgQ}.
• 2. Рассмотрим поле классов вычето^ по модулю 2: Z 2 = {0,1}, и многочлен над этим полем х 2 + х + 1. Проверкой устанавливаем, что он не имеет корней в Z 2 , а значит, неприводим над Z 2 . Будем считать, что в некотором расширении поля Z 2 этот многочлен имеет корень а. Тогда получаем простое алгебраическое расширение Z 2 (a) = {0,1, a, a +1}.

Упражнение 4.1. Составьте таблицы сложения и умножения элементов расширения из предыдущего примера 2.

Как отмечалось выше, простое алгебраическое расширение F = Р(а) поля Р является конечным, а значит, алгебраическим, т.е. всякий элемент (3 е F является корнем некоторого многочлена с коэффициентами из Р. Покажем на примере, как найти этот многочлен.

Пример 4.1

Пусть F = Q(a) и а является корнем многочлена/(х) = х 3 + х - 1. Найдите минимальный многочлен элемента (3 = а 2 + а + 2.

Решение. По условию, а 3 + а - 1 = О, отсюда а 3 = 1 - а. Из данного по условию равенства р = а 2 + а + 2 находим а 2 + а + 2- Р = 0. Умножив данное равенство на а, получаем аР = а 3 + а 2 + 2а=(1-

• - а) + а 2 + 2а = а 2 + а + 1, откуда а 2 + (1 - (3)а +1 = 0. Наконец, а 2 р = а 4 + а 3 + 2а 2 = а(1 - а) + (1 - а) + 2а 2 = а 2 + 1, откуда (1 -
• - р)а 2 +1 = 0. Таким образом, приходим к системе равенств

Исключая а 2 и а, приходим к равенству Р 3 - 4Р 2 + ЗР - 1 = 0, которое говорит о том, что Р является корнем многочлена ср(х) = х 3 -

- 4х 2 + Зх - 1. Этот многочлен, как легко видеть, не имеет рационль- ных корней, а значит, неприводим над полем Q. Следовательно, ф(х) является искомым минимальным многочленом алгебраического над полем Q элемента р.

Заметим, что при исключении а из системы равенств можно привлечь знания по решению систем линейных уравнений. Равенства системы говорят о том, что вектор (а 2 , а, 1) является ненулевым решением однородной системы линейных уравнений

Следовательно, определитель матрицы системы равен нулю:

Отсюда получаем равенство Р 3 - 4Р 2 + ЗР - 1 = 0.

Наконец, отметим, что это упражнение можно превратить в школьную задачу: известно, что а 3 + а-1 = 0, Р = а 2 + а + 2; найдите уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является р.