2-го рода от пути интегрирования

Рассмотрим криволинейный интеграл 2-го рода, где L - кривая, соединяющая точки M и N. Пусть функции P(x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой области D, в которой целиком лежит кривая L. Определим условия, при которых рассматриваемый криволинейный интеграл зависит не от формы кривой L, а только от расположения точек M и N.

Проведем две произвольные кривые MSN и MTN, лежащие в области D и соединяющие точки M и N (рис.14).

Предположим, что, то есть

где L - замкнутый контур, составленный из кривых MSN и NTM (следовательно, его можно считать произвольным). Таким образом, условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования равносильно условию, что такой интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.

Теорема 5 (теорема Грина). Пусть во всех точках некоторой области D непрерывны функции P(x, y) и Q(x, y) и их частные производные и. Тогда для того, чтобы для любого замкнутого контура L, лежащего в области D, выполнялось условие

необходимо и достаточно, чтобы = во всех точках области D.

Доказательство.

1) Достаточность: пусть условие = выполнено. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D, ограничивающий область S, и напишем для него формулу Грина:

Итак, достаточность доказана.

2) Необходимость: предположим, что условие выполнено в каждой точке области D, но найдется хотя бы одна точка этой области, в которой - ? 0. Пусть, например, в точке P(x0, y0) имеем: - > 0. Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, она будет положительна и больше некоторого? > 0 в некоторой малой области D`, содержащей точку Р. Следовательно,

Отсюда по формуле Грина получаем, что

где L` - контур, ограничивающий область D`. Этот результат противоречит условию. Следовательно, = во всех точках области D, что и требовалось доказать.

Замечание 1. Аналогичным образом для трехмерного пространства можно доказать, что необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

от пути интегрирования являются:

Замечание 2. При выполнении условий (52) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

При этом функцию и можно найти по формуле

где (x0, y0, z0) - точка из области D, a C - произвольная постоянная. Действительно, легко убедиться, что частные производные функции и, заданной формулой (53), равны P, Q и R.

Пример 10.

Вычислить криволинейный интеграл 2-го рода

по произвольной кривой, соединяющей точки (1, 1, 1) и (2, 3, 4).

Убедимся, что выполнены условия (52):

Следовательно, функция и существует. Найдем ее по формуле (53), положив x0 = y0 = z0 = 0. Тогда

Таким образом, функция и определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Примем С = 0, тогда u = xyz. Следовательно,

Формула Остроградского - Грина

Эта формула устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуры С и двойным интегралом по области, ограниченной этим контуром.

Определение 1. Область D называется простой областью, если её можно разбить на канечное число областей первого типа и независимо от этого на конечное число областей второго типа.

Теорема 1. Пусть в простой области определены функции P(x,y) и Q(x,y) непрерывные вместе со своими частными производными и

Тогда имеет место формула

где С - замкнутый контур области D.

Это формула Остроградского - Грина.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Определение 1. Говорят, что замкнутая квадрируемая область D односвязна, если любую замкнутую кривую l D можно непрерывно диформировать в точку так, что все точки этой кривой принадлежали бы области D (область без “дырок” - D 1), если такое деформирование невозможно, то область назывется многосвязной (с “дырками” - D 2).

Определение 2. Если значение криволинейного интеграла по кривой АВ не зависит от вида кривой, соединяющей точки А и В, то говорят, что этот криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования:

Теорема 1. Пусть в замкнутой односвязной области D определены непрерывные, вместе со своими частными производными функции P(x,y) и Q(x,y). Тогда следующие 4 условия равносильны (эквивалентны):

1) криволинейный интеграл по замкнутому контуру

где С - любой замкнутый контур в D;

2) криволинейный интеграл по замкнутому контуру не зависит от пути интегрирования в области D, т.е.

3) дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D, т.е., что существует функция F такая, что (х,у) D имеет место равенство

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)

4) для всех точек (х,у) D будет выполняться следующее условие:

Докажем по схеме.

Докажем, что из.

Пусть дано 1), т.е. = 0 по свойству 2 §1, что = 0 (по свойству 1 §1) .

Докажем, что из.

Дано, что кр.инт. не зависит от пути интегрирования, а только от выбора начала и канца пути

Рассмотрим функцию

Пакажем, что дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом функции F(x,y), т.е. , что

Зададим частный прирост

х F (x,y)= F(х + х, у) -F (x,y)= = == =

(по свойству 3 § 1, ВВ* Оу) = = P (c,y)х (по теореме о среднем, с -const), где x

(всилу непрерывности функции Р). Получили формулу (5). Аналогично получается формула (6).

Докажем, что из.

Дана формула

dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.

Очевидно, что = Р(х,у). Тогда

По условию теоремы правые части равенств (7) и (8) непрерывные функции, то по теореме о равенстве смешанных производных будут равны и левые части, т.е.., что

Докажем, что из 41.

Выберем любой замкнутый контур из области D, который ограничивает область D 1 .

Функции P и Q удовлетворяют условиям Остроградского-Грина:

В силу равенства (4) в левой части (9) интеграл равен 0, а это значит, что и правая часть равенства равна

Замечание 1. Теорема 1. может быть сформулировано в виде трёх самостоятельных теорем

Теорема 1*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (.1), т.е.

Теорема 2*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (3):

дифференциальная форма P(x,y)dx + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции F в области D.

Теорема 3*. Для того, чтобы в односвязной квадрируемой области D крив.инт. не зависил от пути интегрирования чтобы выполнялось условие (4):

Замечание 2. В теореме2* область D может быть и многосвязной.

30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными первого порядканепрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина:, причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.

Из лекций: Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точки M1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство:.

.

31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

– задание поверхности.

Спроектируем S на плоскость xy, получим область D. Разобьём область D сеткой линий на части, называемые Di. Из каждой точки каждой линии проведём параллельные z линии, тогда и S разделится на Si. Составим интегральную сумму: . Устремим максимум диаметра Di к нулю:, получим:

Это поверхностный интеграл первого рода

Так считается поверхностный интеграл первого рода.

Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.

При переходе от переменных x и y к u и v:

Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла. См. в вопросах выше.

Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10). Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не имеющий общих точек с границей L. В точке М контура L можно восстановить две нормали ик поверхности S. Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.

Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением .

Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.

Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть R(x,y,z) – функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy – площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "–", если этот угол тупой. Составим интегральную сумму для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным x,y: . Пусть λ – наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается.

Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е. и.

Если существуют все эти интегралы, то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности: .

Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) - непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S. Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда .

Для общего случая имеем:

=

Лекция 4

Тема: Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г на плоскости и двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Г обозначается символом Замкнутый контур Г начинается в некоторой точке В этого контура и заканчивается в точке В. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора точки В.

Определение 1 . Обход контура Г считается положительным, если при обходе контура Г область D остаётся слева. Г + - контур Г обходится в положительном направлении, Г - - контур обходится в отрицательном направлении т.е. в противоположном направлении

.

Аналогично доказывается, что:

Из равенств (1) и (2) получаем:

Следовательно,

Формула Грина при сделанных предположениях доказана.

Замечание 1 . Формула Грина остаётся справедливой, если граница Г области D некоторыми прямыми, параллельными оси 0Х или 0Y пересекается более чем в двух точках. Кроме этого формула Грина справедлива и для n-связных областей.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1 . Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

Доказательство: Необходимость. Дано: не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

, т.е.

Достаточность . Дано: Криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

Т.е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть непрерывны вместе с частными производными и в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество

Доказательство: Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру. По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что

Определение. Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвяз-ной. если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G. Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязлыми областями; внутренность тора или трехмерное пространство, иа которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются. Пусть в поверхностно односвязной области G задан о непрерывное векторное поле Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 9 .Для того чтобы криволинейный интеграл в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора а вдоль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю. 4 Необходимость. Пусть и т-еграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда по любому замкнугому контуру L равен нулю. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки А и В (рис.35). По условию имеем - различные пути, соединяющие точни А и В\откуда как раз и есть выбранный зам!«утый контур L. Достаточность. Пусть для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл не зависит от пути интегрирования. Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L] и Ьг и покажем, что Для простоты ограничимся случаем, когда линии L\ и L2 не пересекаются. В этом случае объединение образует простой замкнутый контур L (рис. 36). По условию а по свойству аддитивности. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Следовательно, откуда справедливость равенства (2) и вытекает. Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий. Теорема 10. Для того, чтобы криволинейный.интеграл не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле было безвихревым, Здесь предполагается, что координаты) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна. Замечание. В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции век тора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы. Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля, Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а = 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю: Ротор плоского поля равен что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему. Теорема 11. Для того, чтобы криволинейный интеграл в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области. Если область неодносвязна, то выполнение условия вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии. Пример. Пусть Рассмотрим интеграл Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не односвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L - окружности радиуса R с центром в начале координат: Тогда Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования. §10. Потенциальное поле Определение. Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и(М) такая, что При этом функция и(М) называется потенциалом поля; ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями. то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам: Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если следовательно, - постоянное число. Пример 1. Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как напомним, что Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно. Пример 2. Поле вектора является потенциальным. Пусть функция такая, что найдена. Тогда и откуда Значит, - потенциал поля. Теорема 12. Для того чтобы паче вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а. Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку а конечную точку Му, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки. Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования, Равенство равносильно трем скалярным равенствам Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Докажем первое из них, второе и третье равенст ва доказываются аналогично. По определению частной производной имеем Рассмотрим точку, близкую к точке Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано нарис.37. Тогда Отсюда Последний интеграл берется моль отрезка прямой ММ), параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату ж: Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем где величина £ заключена между. Из формулы (7) вытекает, что Так как то в силу непрерывности функции получаем Аналогично доказывается, что Следствие. Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криво линейный интеграл в нем не зависит от пути. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Теорема 13. Интеграл в потенциальном поле а(М) равен разности значений потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования, Ранее был о доказано, что функция является потенциалом поля. В потенциальном поле криволинейный интефал не зависит от пуги интефирования. Поэтому, выбирая путь отточки М\ к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Afo (рис. 38), получаем или, меняя ориентацию пути в первом интефале справа, Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде где с - постоянная. Делая в формуле (10) замену и- с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу Пример 3. В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция где - расстояние от точки до начала координат. Вычисление потенциала в декартовых координатах Пусть задано потенциальное поле Ранее было показано, что потенциальная функция «(М) может быть найдена по формуле Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой М(х, y,z) ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, . При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М\ имеем: На отрезке. Рис. 39 . На отрезке. Следовательно, потенциал равен где - координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование. Пример 4. Доказать, что векторное поле к является потенциальным, и найти его потенциал. 4 Проверим, будет ли поле вектора a(Af) потенциально. С этой це/ью вычислим ротор поля. Имеем Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Л/о начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим Итак, где с - произвольная постоянная. Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, z) есть скалярная функция, для которой gradu = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам: Интегрируя (13) по х, получим где - произвольная дифференцируемая функция ог у и г. Продифференцируем по у: Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Проинтегрировав (17) по у, найдем - некоторая функция z. Подставив (18) в (16), получим. Дифференцируя последнее равенство no z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для откуда