Проследить динамику развития объекта, внутреннюю сущность соотношений его элементов и различные со­стояния в процессе проектирования можно только с по­мощью моделей, использующих принцип динамической аналогии, т. е. с помощью математических моделей.

Математическая модель - это система математиче­ских соотношений, описывающих изучаемый процесс или явление. Для составления математической модели мож­но использовать любые математические средства - тео­рию множеств, математическую логику, язык дифферен­циальных или интегральных уравнений. Процесс состав­ления математической модели называется математическим моделированием . Как и другие виды моделей, ма­тематическая модель представляет задачу в упрощен­ном виде и описывает только свойства и закономер­ности, которые наиболее важны для данного объекта или процесса. Математическая модель позволяет осуществ­лять многосторонний количественный анализ. Изменяя исходные данные, критерии, ограничения, каждый раз можно получать оптимальное по заданным условиям ре­шение и определять дальнейшее направление поиска.

Создание математических моделей требует от их раз­работчиков, кроме знания формально-логических мето­дов, тщательного анализа изучаемого объекта с целью строгого формулирования основных идей и правил, а также с целью выявления достаточного объема досто­верных фактических, статистических и нормативных данных.

Следует отметить, что все используемые в настоя­щее время математические модели относятся к предпи­сывающим . Цель разработки предписывающих моде­лей - указание направления поиска решения, в то время как цель разработки описывающих моделей - отражение действительных процессов мышления человека.

Достаточно широко распространена точка зрения, что с помощью математики можно получить только некото­рые числовые данные по изучаемому объекту или про­цессу. «Разумеется, многие математические дисциплины направлены на получение конечного численного резуль­тата. Но сводить математические методы только к зада­че получения числа - значит бесконечно обеднять мате­матику, обеднять возможность того могучего оружия, которое сегодня есть в руках исследователей…

Математическая модель, записанная на том или ином частном языке (например, дифференциальные уравне­ния), отражает определенные свойства реальных физиче­ских процессов. В результате анализа математических моделей мы получаем, прежде всего, качественные пред­ставления об особенностях изучаемых процессов, уста­навливаем закономерности, определяющие динамический ряд последовательных состояний, получаем возможность предсказать течение процесса и определять его количе­ственные характеристики».

Математические модели используются во многих известных способах моделирования. Среди них можно назвать разработку моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, оптимизационные модели.

Примером математических моделей, описывающих статическое и динамическое состояние объекта, могут служить различные методы традиционных расчетов конструкций. Процесс расчета, представленный в виде последовательности математических операций (алгоритм), позволяет сказать, что составлена математическая модель для расчета определенной конструкции.

В оптимизационных моделях присутствуют три элемента:

Целевая функция, отражающая принятый критерий качества;

Регулируемые параметры;

Налагаемые ограничения.

Все эти элементы должны быть описаны математически в виде уравнений, логических условий и т.д. Решение оптимизационной задачи представляет собой процесс поиска минимального (максимального) значения целевой функции при соблюдении заданных ограничений. Результат решения считается оптимальным, если функция цели достигает своего экстремального значения.

Пример оптимизационной модели – математическое описание критерия «длина связи» в методике вариантного проектирования промышленных зданий.

Целевая функция отражает общую взвешенную протяженность всех функциональных связей, которая должны стремиться к минимуму:

где – весовое значение связи элемента с ;

– длина связи между и элементами;

– общее число размещаемых элементов.

Поскольку площади размещаемых элементов помещений во всех вариантах проектного решения равны, то варианты отличаются один от другого только различными расстояниями между элементами и их расположением относительно друг друга. Следовательно, регулируемыми параметрами служат в данном случае координаты элементов, размещаемых на планах этажей.

Налагаемые ограничения на расположение элементов (в заранее фиксированном месте плана, у наружного периметра, друг над другом и т.д.) и на длину связей (значения длины связей между и ым элементами заданы жестко, заданы минимальные или максимальные пределы значений, заданы границы изменения значений) записываются формально.

Вариант считается оптимальным (по данному критерию), если значение функции цели, вычисленной для этого варианта, будет минимальным.

Разновидность математических моделей – экономико-математическая модель – представляет собой модель связи экономических характеристик и параметров системы.

Примером экономико-математических моделей служит математическое описание критериев затрат в упомянутой выше методике вариантного проектирования промышленных зданий. В математических моделях, полученных на основе использования методов математической статистики, отражена зависимость стоимости каркаса, фундаментов, земляных работ одноэтажных и многоэтажных промышленных зданий и их высоты, пролета и шага несущих конструкций.

По способу учета влияния случайных факторов на принятие решения математические модели подразделяются на детерминированные и вероятностные. Детерминированная модель не учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на аналитическом представлении закономерностей функционирования. Вероятностная (стохастическая) модель учитывает влияние случайных факторов в процессе функционирования системы и основана на статистической, т.е. количественной оценке массовых явлений, позволяющей принимать в расчет их нелинейность, динамику, случайные возмущения, описываемые разными законами распределения.

Используя приведенные выше примеры, можно сказать, что математическая модель, описывающая критерий «длина связей», относится к детерминированным, а математические модели, описывающие группу критериев «затраты», - к вероятностным моделям.

Лингвистические, семантические и информационные модели

Математические модели имеют очевидные достоинства, так как количественная оценка аспектов задачи дает ясное представление о приоритетах целей. Немаловажно, что специалист всегда может обосновать принятие того или иного решения, представив соответствующие численные данные. Однако полное математическое описание проектной деятельности невозможно, поэтому большинство задач, решаемых на начальной стадии архитектурно-строительного проектирования, относится к слабоструктурированным .

Одна из особенностей слабоструктурированных задач - словесное описание используемых в них критериев. Введение критериев, описанных на естественном языке (такие критерии называют лингвистическими ), позволяет использовать менее сложные методы для поиска оптимальных проектных решений. При наличии таких критериев проектировщик принимает решение на основании привычных, не вызывающих сомнения выражениях целей.

Содержательное описание всех аспектов задачи вносит систематизацию в процесс ее решения, с одной стороны, а с другой, значительно облегчает работу специалистов, которые без изучения соответствующих разделов математики могут более рационально решать свои профессиональные задачи. На рис. 5.2 приведена лингвистическая модель , описывающая возможности создания условий для естественной вентиляции в различных вариантах планировочных решений хлебозавода.

Другие преимущества содержательного описания проблем заключаются в следующем:

Возможность описания всех критериев, которыми определяется эффективность проектного решения. При этом важно, что в описание могут быть введены слож­ные понятия и в поле зрения специалиста наряду с ко­личественными, измеряемыми факторами попадут и ка­чественные, не измеряемые. Таким образом, на момент принятия решения будет использована вся субъективная и объективная информация;

Рис. 5.2 Описание содержания критерия «вентиляция» в виде лингвистической модели

Возможность однозначной оценки степени достижения цели в вариантах по данному признаку на основе фор­мулировок, принятых специалистами, что обеспечивает достоверность полученной информации;

Возможность учета неопределенности, связанной с не­полным знанием всех последствий принимаемых реше­ний, а так же информации прогнозного характера.

К моделям, которые используют естественный язык для описания объекта исследования, относятся и семан­тические модели.

Семантическая модель - есть такое представление объекта, при котором отражается степень взаимосвязан­ности (близости) между различными составными частя­ми, аспектами, свойствами объекта. Под взаимосвязан­ностью понимается не относительное пространственное расположение, а связь по смыслу.

Так, в семантическом смысле связь между коэффи­циентом естественной освещенности и площадью света прозрачных ограждений будет представлена как более близкая, чем связь между оконными проемами и смеж­ными с ними глухими участками стены.

Совокупность отношений связанности показывает, что представляет собой каждый выделяемый в объекте эле­мент и объект в целом. В то же время семантическая модель отображает помимо степени связанности различ­ных сторон в объекте также содержание понятий. Элементарными моделями служат понятия, выраженные естественным языком.

Построение семантических моделей основывается на принципах, в соответствии с которыми понятия и связи не изменяются в течение всего времени использования модели; содержание одного понятия не переходит в дру­гое; связи между двумя понятиями имеют равное по отношению к ним и неориентированное взаимодействие.

Каждый анализ модели направлен на выбор элемен­тов модели, имеющих общее определенное качество. Это дает основание для построения алгоритма, учитывающе­го только непосредственные связи. При преобразовании модели в неориентированный граф ищется путь между двумя элементами, который прослеживает движение из одного элемента в другой, с использованием каждого элемента только один раз. Порядок следования элемен­тов называется последовательностью этих двух элемен­тов. Последовательности могут иметь разную длину. Самые короткие из них называются отношениями эле­ментов. Последовательность двух элементов существует и в том случае, если между ними существует непосред­ственная связь, но в таком случае не существует от­ношения.

В качестве примера семантической модели приведем описание планировки квартиры вместе с коммуникацион­ными связями. Понятие - это помещения квартиры. Не­посредственная связь означает функциональное соедине­ние двух помещений, например дверью (см. табл. 5.1).

Преобразование модели в форму неориентированного графа позволяет получить последовательность элементов (рис. 5.3).

Примеры последовательности, образованной между элементом 2 (ванная) и элементом 6 (кладовая), приведены в табл. 5.2. Как видно из таблицы, последовательность 3 пред­ставляет отношение этих двух элементов.

Таблица 5.1

Описание планировки квартиры

Рис. 5.3 Описание планировочного решения в виде неориентирован­ного графа

ЭВМ прочно вошла в нашу жизнь, и практически нет такой области человеческой деятельности, где не применялась бы ЭВМ. ЭВМ сейчас широко используется в процессе создания и исследования новых машин, новых технологических процессов и поиске их оптимальных вариантов; при решении экономических задач, при решении задач планирования и управления производством на различных уровнях. Создание же крупных объектов в ракетотехнике, авиастроении, судостроении, а также проектирование плотин, мостов, и др. вообще невозможно без применения ЭВМ.

Для использования ЭВМ при решении прикладных задач, прежде всего прикладная задача должна быть "переведена" на формальный математический язык, т.е. для реального объекта, процесса или системы должна быть построена его математическая модель .

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект -заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Моделирование широко используется в различных сферах человеческой деятельности, особенно в сферах проектирования и управления, где особенными являются процессы принятия эффективных решений на основе получаемой информации.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Все модели можно разделить на два класса:

1. вещественные,
2. идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

1. натурные,
2. физические,
3. математические.

Идеальные модели можно разделить на:

1. наглядные,
2. знаковые,
3. математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели .

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит , языки программирования, упорядоченная запись , топологическая запись , сетевое представление .

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью , более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи .

Еще не существует стандартизированной терминологии и она вряд ли появится, так как за всю историю математического моделирование очень большое количество ученных занимались данной темой.

Математическое моделирование применяется в различных сферах человеческой жизни. Таких как, например: математика, биохимия, медицина и так далее .

Определение математической модели, данное А.Д. Мишкисом.

Пусть мы исследуем совокупную величину S свойств некого объекта A (объект: система, ситуация, явление, процесс и так далее). Для чего мы строим математический объект A" – арифметическое соотношение, геометрическая фигура, система уравнений и так далее, исследование которого средствами математики должно дать ответы на поставленные вопросы о свойствах S. В данном случае математический объект A" называют математической моделью объекта A относительно совокупности свойств S. В определении дает понять не только то, что объекты A и A" имеют разную природу, но и то, что A" определяется не только самим оригиналом A, но и совокупностью его исследуемых свойств S. То если мы проводим два исследования одного и того же объекта A по отношении двух различных совокупностей S1 и S2 его свойств, то соответствующие математические модели " и " A1 A2 могут быть совершенно различны. Из данного исследования следует первое свойство математических моделей - их множественность. Выделим, что здесь имеется в виду не только множественность моделей, связанная с их иерархичностью, а результат порожденный необходимостью исследования различных систем, ... S1 S2 его свойств.

Например, одно и тоже массированное кучевое облако можно рассматривать как с точки зрения порождения им нисходящих воздушных потоков, распределяющихся далее по поверхности земли и осознаваемые нами как ветровой порыв перед началом сильного ливневого дождя, так и как зону высокой электрической активности атмосферы. Все это проявление объекта представляет высокую опасность для полета воздушных судов. Нисходящие потоки опасны на этапах взлета - посадки, из-за значительного изменения величины подземной силы крыла воздушного судна (резкая смена направление скорости ветра с встречного на попутное). Возникающие в таком облаке сильные электрические поля могут создать разряд атмосферного электричества (молнию), результатом воздействия которого на воздушного судна может стать полный или частичный выход из строя радиоэлектронной аппаратуры на борту воздушного судна. Ясно, что в первом случае для модели используются уравнения аэрогидродинамики и исследуется поле скоростей воздушных потоков (математическая модель относительно совокупности признаков S1). Во втором случае изучается электрическая структура облака и строится электродинамическая модель (относительно совокупности признаков S2).

Вторым, наиболее важным свойством является единство математических моделей. Отличающим фактом является то, что разнообразные реальные системы или их содержательные модели могут иметь одну и ту же математическую модель.

Весомым в теории математического моделирования является постоянное согласование всех аспектов построения модели с задачами и целями исследования. Поэтому выделим на первый план некоторые существенные для исследований особенности механических систем и процессов.

Во-первых, факторы, определяющие такие объекты, характеризуются, как измеримые величины – параметры.

Во-вторых, в основе таких моделей лежат уравнения, описывающие фундаментальные законы природы (механики), не нуждающиеся в пересмотре и уточнении. Даже готовые частные модели отдельных явлений, используемые при составлении более общих, хорошо сформулированы и описаны с точки зрения условий и областей применения.

В-третьих, огромное препятствие при разработке моделей механических систем и процессов представляет описание недостоверно известных характеристик объекта, как функциональных, так и числовых.

В-четвертых, нынешние требования к таким моделям подводят к необходимости учета множества факторов, влияющих на поведение объекта, не только таких, которые связаны известными законами природы. Все эти особенности приводят к тому, что модели механических систем и процессов относятся в основном к классу математических.

Математические модели базируется на математическом описании объекта. В математическое описание, естественно, прежде всего, входят взаимосвязи параметров объекта, что характеризует его особенности функционирования. Такие связи можно представить в виде:

Рисунок 2.1.1 - Взаимосвязи параметров объекта

Первые четыре из указанных видов носят обобщающее название: аналитических зависимостей.

Математическое описание заключает в себе не только взаимосвязи элементов и параметров объекта (закономерности и законы), но и полный набор функциональных и числовых данных объекта (характеристики; начальные, граничные, конечные условия; ограничения), а также методы вычисления выходных параметров модели. То есть математическое описание – это полная совокупность функций, методов, данных вычисления, позволяющая получить результат.

Однако в математическую модель может не входить часть математического описания (чаще всего некоторые исходные данные), но кроме него обязаны содержаться описания всех допущений, использованных для ее построения, а также алгоритмы перевода исходных и выходных данных с модели на оригинал и обратно.

Рисунок 2.1.2 – Математическое описании модели

В качестве дополнения к классификации математические модели в зависимости от природы объекта, решаемых задач и применяемых методов могут различаться следующими видами:

– расчетные (алгоритмы, номограммы, формулы, графики, таблицы);

– соответственные (пример: модель в аэродинамической трубе и реальный полет самолета в атмосфере);

– подобные (пропорциональные соответствующие параметры и одинаковые математические описания);

– нелинейные и линейные (описываемые функциями, содержащие основные параметры только в степени 0 и 1, или любыми видами функций),

– нестационарные и стационарные (зависящие или независящие от времени),

– дискретные или непрерывные,

– стохастические или детерминированные (вероятностные, однозначные или точные: модели массового обслуживания, имитационные и др.),

– нечеткие и четкие (примеры нечетких множеств: около 10; глубоко или мелко; хорошо или плохо).

Исходя из исторических событий сложилось так, что под математической моделью порой подразумевают лишь один особый вид моделей, содержащих только однозначное прямое математическое описание в виде вычислительных алгоритмов или аналитических зависимостей – то есть детерминированная математическая модель, при помощью которой при одних и тех же исходных данных можно получить лишь один и тот же результат. Большое распространение получили детерминированные модели, устанавливающие связь с параметрами оригинала при помощи коэффициентов пропорциональности, всех одновременно равных единице. Математическое описание, используемое такой моделью, естественно рассматривать как описание непосредственно оригинала – данное утверждение верно: у модели и оригинала в этом случае существует одно общее математическое описание. В условиях такой кажущейся простоты неопытный инженер воспринимает и модель уже не как модель, а как оригинал. Однако такая математическая модель является всего лишь моделью со всеми упрощениями, условностями, абстракциями, предположениями, положенными в ее основу. Появляется желание "упростить" процесс добротного моделирования, что вообще говоря невозможно, так как модель или соответствует оригиналу, или ее нет вообще. Халатное отношение к этому приводит к множеству ошибочных выводов в прикладных исследованиях, и полученные результаты не соответствуют реальному положению вещей.

В качестве антипода детерминированных моделей представлены модели имитационные.

Имитационные модели (стохастические) – это математические модели таких оригиналов, для отдельных элементов которых отсутствует аналитический вид математического описания. Математическое описание имитационных моделей содержит в себе описание случайных процессов (стохастических). В качестве такого описания представляют разнообразные формы законов распределения, которые можно составить на основании статистической обработки результатов наблюдения за оригиналом.

В математическое описание имитационных моделей кроме законов распределения случайных величин, которые описывают явление, может входить описание взаимосвязей случайных величин (например, с помощью моделей теории массового обслуживания), а также алгоритм статистических испытаний (метод Монте-Карло для реализации элементарных случайных событий). Отсюда следует, что имитационные модели используют математический аппарат теории вероятностей: математической статистики, теории массового обслуживания и метода статистических испытаний.

Как систему уравнений, или арифметических соотношений, или геометрических фигур, или комбинацию того и другого, исследование которых средствами математики должно ответить на поставленные вопросы о свойствах некоторой совокупности свойств объекта реального мира , как совокупность математических соотношений, уравнений, неравенств, описывающих основные закономерности, присущие изучаемому процессу, объекту или системе .

В автоматизированных системах управления математическая модель используется для определения алгоритма функционирования контроллера. Этот алгоритм определяет, как следует изменять управляющее воздействие в зависимости от изменения задающего для того, чтобы была достигнута цель управления.

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий . Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Модели-гипотезы в науке не могут быть доказаны раз и навсегда, можно лишь говорить об их опровержении или неопровержении в результате эксперимента .

Если модель первого типа построена, то это означает, что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Феноменологическая модель

Второй тип - феноменологическая модель («ведем себя так, как если бы…» ), содержит механизм для описания явления, хотя этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен, и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа, и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Приближение

Третий тип моделей - приближения («что-то считаем очень большим или очень малым» ). Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый приём в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

Мысленный эксперимент

где x ¨ {\displaystyle {\ddot {x}}} означает вторую производную от x {\displaystyle x} по времени: x ¨ = d 2 x d t 2 {\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}} .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификации эта модель линейная, детерминистская, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т. д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведёт к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Свойства гармонического осциллятора качественно изменяются малыми возмущениями. Например, если добавить в правую часть малое слагаемое − ε x ˙ {\displaystyle -\varepsilon {\dot {x}}} (трение) ( ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} - некоторый малый параметр), то получим экспоненциально затухающие колебания, если изменить знак добавочного слагаемого (ε x ˙) {\displaystyle (\varepsilon {\dot {x}})} то трение превратится в накачку и амплитуда колебаний будет экспоненциально возрастать.

Для решения вопроса о применимости жёсткой модели необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Нужно исследовать мягкие модели, получающиеся малым возмущением жёсткой. Для гармонического осциллятора они могут задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь f (x , x ˙) {\displaystyle f(x,{\dot {x}})} - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения. Явный вид функции f {\displaystyle f} нас в данный момент не интересует.

Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведётся к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований.

Если система сохраняет своё качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U {\displaystyle U} -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задаётся как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда на различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Великобритании обрушился металлический Железнодорожный мост через Ферт-оф-Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту (задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи (пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения эксперимента (активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

В качестве другого примера можно привести математическую статистику . Задача этой науки - разработка методов регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений . То есть множество возможных моделей ограничено вероятностными моделями. В конкретных задачах множество моделей ограничено сильнее.

Компьютерные системы моделирования

Для поддержки математического моделирования разработаны системы компьютерной математики, например, Maple , Mathematica , Mathcad , MATLAB , VisSim и др. Они позволяют создавать формальные и блочные модели как простых, так и сложных процессов и устройств и легко менять параметры моделей в ходе моделирования. Блочные модели представлены блоками (чаще всего графическими), набор и соединение которых задаются диаграммой модели.

Дополнительные примеры

Модель Мальтуса

Согласно модели, предложенной Мальтусом , скорость роста пропорциональна текущему размеру популяции , то есть описывается дифференциальным уравнением:

где α {\displaystyle \alpha } - некоторый параметр, определяемый разностью между рождаемостью и смертностью. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция x (t) = x 0 e α t {\displaystyle x(t)=x_{0}e^{\alpha t}} . Если рождаемость превосходит смертность ( α > 0 {\displaystyle \alpha >0} ), размер популяции неограниченно и очень быстро возрастает. В действительности этого не может происходить из-за ограниченности ресурсов. При достижении некоторого критического объёма популяции модель перестаёт быть адекватной, поскольку не учитывает ограниченность ресурсов. Уточнением модели Мальтуса может служить логистическая модель , которая описывается дифференциальным уравнением Ферхюльста :

где - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x s {\displaystyle x_{s}} , причём такое поведение структурно устойчиво.

Система хищник-жертва

Допустим, что на некоторой территории обитают два вида животных : кролики (питающиеся растениями) и лисы (питающиеся кроликами). Пусть число кроликов x {\displaystyle x} , число лис y {\displaystyle y} . Используя модель Мальтуса с необходимыми поправками, учитывающими поедание кроликов лисами, приходим к следующей системе, носящей имя модели Лотки - Вольтерры :

Поведение данной системы не является структурно устойчивым : малое изменение параметров модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения .

При некоторых значениях параметров эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к постепенно затухающим колебаниям численности кроликов и лис.

Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведёт к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерры - Лотки ответа не даёт: здесь требуются дополнительные исследования.

См. также

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры . - 2-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X .
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Севостьянов, А. Г. Моделирование технологических процессов: учебник / А. Г. Севостьянов, П. А. Севостьянов. - М.: Легкая и пищевая промышленность, 1984. - 344 с.
7. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. - 1-е. - М. : ЗАО "Издательский дом МЭИ", 2008. - С. 333. - 9 с. - ISBN 978-5-383-00326-8 .
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena (англ.) . Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4 . Дата обращения 18 июня 2013. Архивировано 18 июня 2013 года.
9. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений, называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения её состояния.»
    Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.»
    Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, чёрным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с

Определение математической модели

Важным фактором, определяющим роль математики в различных приложениях, является возможность описания наиболее существенных черт и свойств изучаемого объекта на языке математических символов и соотношений. Такое описание принято называть математическим моделированием или формализацией.

Определение 1. Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) рекомендуется выполнение следующей последовательности работ:

1. Определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

2. Выявление важнейших факторов проблемы;

3. Выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. Математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными . Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними . В экономической литературе их называют эндогенными переменными .

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения . Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными --игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).

Общая схема принятия решения

В математической экономике трудно переоценить роль моделей принятия решения. Наиболее частое применение находят те из них, которые сводят исходные задачи оптимального планирования производства, рационального распределения ограниченных ресурсов и эффективной деятельности экономических субъектов к экстремальным задачам, к задачам оптимального управления и к игровым задачам. Какова же общая структура таких моделей?

Любая задача принятия решения характеризуется наличием лица или лиц, преследующих определенные цели и имеющих для этого определенные возможности. Поэтому для выявления основных элементов модели принятия решения требуется ответить на следующие вопросы:

џ кто принимает решение?

џ каковы цели принятия решения?

џ в чем состоит принятие решения?

џ каково множество возможных вариантов достижения цели?

џ при каких условиях происходит принятие решения?

Итак перед нами некая общая задача принятия решения. Для построения ее формальной схемы (модели) введем общие обозначения.

Буквой N обозначим множество всех, принимающих решение сторон. Пусть N={1,2,..., n}, т.е. имеется всего n участников идентифицируемых только номерами. Каждый элемент называется лицом, принимающим решение (ЛПР). (например, отдельная личность, фирма, плановый орган большого концерна, правительства и др.).

Предположим, что множество всех допустимых решений (альтернатив, стратегий) каждого ЛПР предварительно изучено и описано математически (например, в виде системы неравенств). Обозначим их через X 1 , X 2 ,..., X n . После этого процесс принятия решения всеми ЛПР сводится к следующему формальному акту: каждое ЛПР выбирает конкретный элемент из своего допустимого множества решений,..., . В результате получается набор х =(х1 ,...,хn) выбранных решений, который мы называем ситуацией.

Для оценки ситуации х с точки зрения преследуемых целей ЛПР строятся функции f 1 ,..., f n (называемыми целевыми функциями или критериями качества), ставящие в соответствие каждой ситуации х числовые оценки f 1 (x),..., f n (x) (например, доходы фирм в ситуации х, или их затраты и т. д.). Тогда цель i -го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такое свое решение, чтобы в ситуации х =(х 1 ,...,х n ) число f i (х) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит частично в виду наличия других сторон, влияющих на общую ситуацию x с целью достижения своих собственных целей. Этот факт пересечения интересов (конфликтность) отражается в том, что функция f i помимо x i зависит и от остальных переменных x j (j i). Поэтому в моделях принятия решения со многими участниками их цели причодится формализовать иначе, чем максимизация или минимизация значений функции f i (х). Наконец, пусть нам удалось математически описать все те условия, при которых происходит принятие решения. (описание связей между управляемыми и неуправляемыми переменными, описание влияния случайных факторов, учет динамических характеристик и т. д.). Совокупность всех этих условий для простоты обозначим одним символом.

Таким образом, общая схема задачи принятия решения может выглядеть так:

Конкретизируя элементы модели (1.6.1.), уточняя их характеристики и свойства, можно получть тот или иной конкретный класс моделей принятия решения. Так если в (1.6.1.) N состоит только из одного элемента (n=1), а все условия и предпосылки исходной реальной задачи можно описать в виде множества допустимых решений этого единственного ЛПР, то из (1.6.1.) получаем структуру оптимизационной (экстремальной) задачи: < Х, f >. В этой схеме ЛПР может рассматриваться как планирующих орган. С помощью данной схемы можно написать экстремальные задачи двух видов:

Если в экстремальной задаче явно учитывается фактор времени, то она называется задачей оптимального управления. Если n 2 , то (1.6.1.) является общей схемой задачи принятия решения в условиях конфликта, т. е. в тех ситуациях, когда имеет место пересечение интересов двух или более сторон.

Часто у ЛПР имеется не одна, а несколько целей. В этом случае из (1) получаем схему, где все функции f 1 (x),..., f n (x) определены на одном и том же множестве Х. Такие задачи называются задачами многокритериальной оптимизации.

Имеются классы задач принятия решения, получившие свои названия исходя из их назначения: системы массового обслуживания, задачи управления запасами, задачи сетевого и календарного планирования, теория надежности и др.

Если элементы модели (1) не зависят явно от времени, т. е. процесс принятия решения сводится к мгновенному акту выбора точки из заданного множества, то задача называется статической. В противном случае, т. е. когда принятие решения представляет собой многоэтапный дискретный или непрерывный во времени процесс, задача называется динамической . Если элементы модели (1) не содержат случайных величин и вероятностных явлений, то задача называется детерминированной, в противном случае -- стохастической.