Выяснить являются ли векторы линейно независимыми. Линейная зависимость векторов
Линейная зависимость векторов
При решении различных задач, как правило, приходится иметь дело не с одним вектором, а с некоторой совокупностью векторов одной и той же размерности. Такие совокупности называют системой векторов и обозначают
Определение. Линейной комбинацией векторов называется вектор вида
где - любые действительные числа. Также говорят, что вектор линейно выражается через векторы или разлагается по этим векторам.
Например, пусть даны три вектора: , , . Их линейной комбинацией с коэффициентами соответственно 2, 3 и 4 является вектор
Определение. Множество всевозможных линейных комбинаций системы векторов называется линейной оболочкой этой системы.
Определение. Система ненулевых векторов называется линейно зависимой , если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация данной системы с указанными числами равна нулевому вектору:
Если же последнее равенство для данной системы векторов возможно лишь при , то эта система векторов называется линейно независимой .
Например, система двух векторов , линейно независима; система двух векторов и линейно зависима, так как .
Пусть система векторов (19) линейно зависима. Выберем в сумме (20) слагаемое, в котором коэффициент , и выразим его через остальные слагаемые:
Как видно из этого равенства, один из векторов линейно зависимой системы (19) оказался выраженным через другие векторы этой системы (или разлагается по остальным ее векторам).
Свойства линейно зависимой системы векторов
1. Система, состоящая из одного ненулевого вектора, линейно независима.
2. Система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима.
3. Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда среди ее векторов содержится, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные.
Геометрический смысл линейной зависимости в случае двухмерных векторов на плоскости: когда один вектор выражается через другой, мы имеем , т.е. эти векторы коллинеарны, или что то же самое, находятся на параллельных прямых.
В пространственном случае линейной зависимости трех векторов они параллельны одной плоскости, т.е. компланарны . Достаточно «подправить» соответствующими сомножителями длины этих векторов, чтобы один из них стал суммой двух других или выражался через них.
Теорема. В пространстве любая система, содержащая векторов, линейно зависима при .
Пример. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.
Решение . Составим векторное равенство . Записывая в виде вектор-столбцов, получаем
Таким образом, задача свелась к решению системы
Решим систему методом Гаусса:
В результате получим систему уравнений:
которая имеет бесконечное множество решений, среди которых обязательно найдется одно ненулевое, следовательно, векторы линейно зависимые.
Пусть в -мерном арифметическом пространстве имеется совокупность векторов 
.
Определение 2.1.
Совокупность векторов 
называется линейно независимой
системой векторов, если равенство вида
выполняется только при нулевых значениях числовых параметров 
.
Если равенство (2.1) может быть выполнено при условии, что хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то такая система векторов будет называться линейно зависимой .
Пример 2.1. Проверить линейную независимость векторов
Решение. Составим равенство вида (2.1)
Левая часть данного выражения может обращаться в нуль только при выполнении условия 
, которое означает, что система является линейно-независимой.
Пример 2.1.
Будут ли векторы 
линейно независимыми?
Решение.
Нетрудно проверить, что равенство верно при значениях 
, 
. Значит, данная система векторов линейно зависима.
Теорема 2.1. Если система векторов является линейно зависимой, то любой вектор из этой системы может быть представлен в виде линейной комбинации (или суперпозиции) остальных векторов системы.
Доказательство
. Предположим, что система векторов 
линейно зависима. Тогда в силу определения существует набор чисел , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и при этом справедливо равенство (2.1):
Без потери общности предположим, что ненулевым коэффициентом является , то есть 
. Тогда последнее равенство можно разделить на и далее выразить вектор :
.
Таким образом, вектор представлен в виде суперпозиции векторов 
. Теорема 1 доказана.
Следствие.
Если 
– совокупность линейно независимых векторов, то ни один вектор из этого набора не может быть выражен через остальные
.
Теорема 2.2.
Если система векторов
содержит ноль-вектор, то такая система обязательно будет линейно зависимой
.
Доказательство
. Пусть вектор является ноль-вектором, то есть 
.
Тогда выбираем постоянные (
) следующим образом:
, .
При этом равенство (2.1) выполняется. Первое слагаемое слева равно нулю вследствие того, что – ноль-вектор. Остальные слагаемые обращаются в нуль, будучи умноженными на нулевые константы (
). Таким образом,
при , а значит, векторы 
линейно зависимые. Теорема 2.2 доказана.
Следующий вопрос, на который нам предстоит ответить, какое наибольшее количество векторов может составить линейно независимую систему в n -мерном арифметическом пространстве. В пункте 2.1 был рассмотрен естественный базис (1.4):
Было установлено, что произвольный вектор -мерного пространства является линейной комбинацией векторов естественного базиса, то есть произвольный вектор 
выражается в естественном базисе в виде
, (2.2)
где – координаты вектора , представляющие собой некоторые числа. Тогда равенство
возможно лишь при , а значит, векторов 
естественного базиса образуют линейно независимую систему. Если добавить к этой системе произвольный вектор , то на основании следствия теоремы 1 система будет зависимой, поскольку вектор выражается через векторы по формуле (2.2).
Этот пример показывает, что в n -мерном арифметическом пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов. А если к этой системе добавить хотя бы один вектор, то получим систему линейно зависимых векторов. Докажем, что если число векторов превышает размерность пространства, то они линейно зависимые.
Теорема 2.3. В -мерном арифметическом пространстве не существует системы, состоящей более чем из линейно независимых векторов.
Доказательство . Рассмотрим произвольных -мерных векторов:
………………………
Пусть 
. Составим линейную комбинацию векторов (2.3) и приравняем её к нулю:
Векторное равенство (2.4) равносильно скалярным равенствам для координат 
векторов 
:
(2.5)
Эти равенства образуют систему однородных уравнений с неизвестными 
. Так как число неизвестных больше числа уравнений (
), то в силу следствия теоремы 9.3 раздела 1 однородная система (2.5) имеет ненулевое решение. Следовательно, равенство (2.4) справедливо при некоторых значениях 
, среди которых не все равны нулю, а значит, система векторов (2.3) линейно зависимая. Теорема 2.3 доказана.
Следствие. В -мерном пространстве существуют системы, состоящие из линейно независимых векторов, а любая система, содержащая больше чем векторов, будет линейно зависимой.
Определение 2.2. Систему линейно независимых векторов называют базисом пространства , если любой вектор пространства может быть выражен в виде линейной комбинации этих линейно независимых векторов.
2.3. Линейное преобразование векторов
Рассмотрим два вектора и -мерного арифметического пространства .
Определение 3.1.
Если каждому вектору 
сопоставлен вектор из этого же пространства , то говорят, что задано некоторое преобразование -мерного арифметического пространства.
Будем обозначать это преобразование через . Вектор будем называть образом . Можно записать равенсто
. (3.1)
Определение 3.2. Преобразование (3.1) будем называть линейным, если оно удовлетворяет следующим свойствам:
, (3.2)
,
(3.3)
где - произвольный скаляр (число).
Зададим преобразование (3.1) в координатной форме. Пусть координаты векторов 
и 
связаны зависимостью
(3.4)
Формулы (3.4) задают преобразование (3.1) в координатной форме. Коэффициенты (
) системы равенств (3.4) можно представить в виде матрицы
называемой матрицей преобразования (3.1).
Введём векторы-столбцы
,
элементы которых суть координаты векторов и соответственно, так что 
и 
. Будем далее векторы-столбцы и называть векторами.
Тогда преобразование (3.4) может быть записано в матричной форме
. (3.5)
Преобразование (3.5) является линейным в силу свойств арифметических операций над матрицами .
Рассмотрим некоторое преобразование , образом которого является ноль-вектор. В матричном виде это преобразование будет иметь вид
, (3.6)
а в координатной форме – представлять собой систему линейных однородных уравнений
(3.7)
Определение 3.3.
Линейное преобразование называется невырожденным, если определитель матрицы линейного преобразования не равен нулю, то есть 
. Если определитель обращается в нуль, то преобразование будет вырожденным 
.
Известно, что система (3.7) имеет тривиальное (очевидное) решение – нулевое. Это решение является единственным, если только определитель матрицы не равен нулю.
Ненулевые решения системы (3.7) могут появляться, если линейное преобразование является вырожденным, то есть при нулевом определителе матрицы .
Определение 3.4. Рангом преобразования (3.5) называется ранг матрицы преобразования .
Можно сказать, что этому же числу равно количество линейно-независимых строк матрицы .
Обратимся к геометрической интерпретации линейного преобразования (3.5).
Пример 3.1.
Пусть задана матрица линейного преобразования 
, где 
Возьмем произвольный вектор 
, где 
и найдем его образ: 
Тогда вектор 
.
Если 
, то вектор изменит и длину и направление. На рис.1 
.
Если 
, то получим образ
,
то есть вектор 
или 
, а это значит, что изменит только длину, но не изменит направление (рис. 2).
Пример 3.2.
Пусть 
, . Найдём образ:
,
то есть 
, или 
.
Вектор в результате преобразования изменил своё направление на противоположное, при этом длина вектора сохранилась (рис. 3).
Пример 3.3.
Рассмотрим матрицу 
линейного преобразования. Несложно показать, что в этом случае образ вектора полностью совпадает с самим вектором (рис. 4). Действительно,
.
Можно сказать, что линейное преобразование векторов изменяет исходный вектор и по длине, и по направлению. Однако в некоторых случаях существуют такие матрицы, которые преобразуют вектор только по направлению (пример 3.2) или только по длине (пример 3.1, случай 
).
Следует заметить, что все векторы, лежащие на одной прямой, образуют систему линейно зависимых векторов.
Вернёмся к линейному преобразованию (3.5)
и рассмотрим совокупность векторов , для которых образом является нуль-вектор, так что 
.
Определение 3.5
. Совокупность векторов , являющихся решением уравнения 
, образует подпространство -мерного арифметического пространства и называется ядром линейного преобразования
.
Определение 3.6. Дефектом линейного преобразования
называется размерность ядра этого преобразования, то есть, наибольшее число линейно-независимых векторов , удовлетворяющих уравнению 
.
Так как рангом линейного преобразования мы называем ранг матрицы , то можно сформулировать следующее утверждение относительно дефекта матрицы: дефект равен разности 
, где – размерность матрицы, – её ранг.
Если ранг матрицы линейного преобразования (3.5) ищется методом Гаусса, то ранг совпадает с количеством отличных от нуля элементов на главной диагонали уже преобразованной матрицы, а дефект определяется количеством нулевых строк.
Если линейное преобразование является невырожденным, то есть 
, то его дефект обращается в ноль, поскольку ядром является единственный нулевой вектор.
Если линейное преобразование вырожденное и 
, то система (3.6) кроме нулевого решения имеет другие, и дефект в этом случае уже отличен от нуля.
Особый интерес вызывают преобразования, которые, меняя длину, не меняют направление вектора. Точнее говоря, оставляют вектор на прямой, содержащей исходный вектор, при условии, что прямая проходит через начало координат. Такие преобразования будут рассмотрены в следующем пункте 2.4.
Система векторов , называется линейно зависимой , если существуют такие числа , среди которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src=">.
Если же это равенство выполняется только в том случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой .
Теорема. Система векторов , будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы один из ее векторов является линейной комбинацией остальных.
Пример 1.
Многочлен 
является линейной комбинацией многочленов https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Многочлены составляют линейно независимую систему, так как многочлен https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.
Пример 2. Система матриц , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> является линейно независимой, так как линейная комбинация равна нулевой матрице только в том случае, когда https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image022_26.gif" width="40" height="21"> линейно зависимой.
Решение.
Составим линейную комбинацию данных векторов https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height="22">.
Приравнивая одноименные координаты равных векторов, получаем https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">
Окончательно получим
и
Система имеет единственное тривиальное решение, поэтому линейная комбинация данных векторов равна нулю только в случае, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому данная система векторов линейно независима.
Пример 4. Векторы линейно независимы. Какими будут системы векторов
a).
;
b).
?
Решение.
a). Составим линейную комбинацию и приравняем её к нулю
Используя свойства операций с векторами в линейном пространстве, перепишем последнее равенство в виде
Так как векторы линейно независимы, то коэффициенты при должны быть равны нулю, т. е..gif" width="12" height="23 src=">
Полученная система уравнений имеет единственное тривиальное решение 
.
Так как равенство (*) выполняется только при https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – линейно независимы;
b). Составим равенство https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src=">(**)
Применяя аналогичные рассуждения, получим
Решая систему уравнений методом Гаусса, получим
или
Последняя система имеет бесконечное множество решений https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Таким образом, существует, ненулевой набор коэффициентов, для которого выполняется равенство (**)
. Следовательно, система векторов – линейно зависима.
Пример 5 Система векторов линейно независима, а система векторов линейно зависима..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24">(***)
В равенстве (***) . Действительно, при система была бы линейно зависимой.
Из соотношения (***)
получаем 
или 
Обозначим 
.
Получим 
Задачи для самостоятельного решения (в аудитории)
1. Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.
2. Система, состоящая из одного вектора а , линейно зависима тогда и только тогда, когда, а=0 .
3. Система, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда, векторы пропорциональны (т. е. один из них получается из другого умножением на число).
4. Если к линейно зависимой системе добавить вектор, то получится линейно зависимая система.
5. Если из линейно независимой системы удалить вектор, то полученная система векторов линейна независима.
6. Если система S линейно независима, но становится линейно зависимой при добавлении вектора b , то вектор b линейно выражается через векторы системы S .
c). Система матриц , , в пространстве матриц второго порядка.
10. Пусть система векторов a, b, c векторного пространства линейно независима. Докажите линейную независимость следующих систем векторов:
a). a+ b, b, c.
b). a+ https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– произвольное число
c). a+ b, a+c, b+c.
11. Пусть a, b, c – три вектора на плоскости, из которых можно сложить треугольник. Будут ли эти векторы линейно зависимы?
12. Даны два вектора a1=(1, 2, 3, 4), a2=(0, 0, 0, 1) . Подобрать ещё два четырёхмерных вектора a3 и a4 так, чтобы система a1, a2, a3, a4 была линейно независимой.
Другими словами линейная зависимость группы векторов означает, что существует среди них вектор, который можно представить линейной комбинацией других векторов этой группы.
Допустим . Тогда
Следовательно вектор x линейно зависим из векторов этой группы.
Векторы x , y , ..., z называются линейно независимыми векторами , если из равенства (0) следует, что
α=β= ...= γ=0.
То есть группы векторов линейно независимы, если ни один вектор не может быть представлен линейной комбинацией других векторов этой группы.
Определение линейной зависимости векторов
Пусть заданы m векторов строк порядка n:
Сделав Гауссово исключение , приведем матрицу (2) к верхнему треугольному виду. Элементы последнего столбца изменяются только тогда, когда строки переставляются. После m шагов исключения получим:
где i 1 , i 2 , ..., i m - индексы строк, полученные при возможной перестановки строк. Рассматривая полученные строки из индексов строк исключаем те, которые соответствуют нулевым вектором строк. Оставшиеся строки образуют линейно независимые векторы. Отметим, что при составлении матрицы (2) изменяя последовательность векторов строк, можно получить другую группу линейно независимых векторов. Но подпространство, которую оба эти группы векторов образуют совпадают.
Определение 1
. Линейной
комбинацией векторовназывается сумма произведений этих
векторов на скаляры
:
Определение 2
. Система
векторов
называется линейно зависимой системой,
если линейная комбинация их (2.8) обращается
в нуль:
причем среди чисел
существует хотя бы одно, отличное от
нуля.
Определение 3
. Векторы
называются линейно независимыми, если
их линейная комбинация (2.8) обращается
в нуль лишь в случае, когда все числа.
Из этих определений можно получить следующие следствия.
Следствие 1 . В линейно зависимой системе векторов хотя бы один вектор может быть выражен как линейная комбинация остальных.
Доказательство
. Пусть
выполнено (2.9) и пусть для определенности,
коэффициент
.
Имеем тогда:
.
Заметим, что справедливо и обратное
утверждение.
Следствие 2.
Если система
векторов
содержит нулевой вектор, то эта система
(обязательно) линейно зависима –
доказательство очевидно.
Следствие 3
. Если средиn
векторов
какие либоk
(
)
векторов линейно зависимы, то и всеn
векторов линейно зависимы (опустим
доказательство).
2 0 . Линейные комбинации двух, трех и четырех векторов . Рассмотрим вопросы линейной зависимости и независимости векторов на прямой, плоскости и в пространстве. Приведем соответствующие теоремы.
Теорема 1 . Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Необходимость
. Пусть векторы
и
линейно зависимы. Это означает, что их
линейная комбинация
=0
и (ради определенности)
.
Отсюда следует равенство
,
и (по определению умножения вектора на
число) векторы
и
коллинеарны.
Достаточность
. Пусть векторы
и
коллинеарны (
║
)
(предполагаем, что они отличны от нулевого
вектора; иначе их линейная зависимость
очевидна).
По теореме (2.7)
(см. §2.1,п.2 0) тогда
такое, что
,
или
– линейная комбинация равна нулю, причем
коэффициент при
равен 1 – векторы
и
линейно зависимы.
Из этой теоремы вытекает следующее следствие.
Следствие
. Если векторы
и
не коллинеарны, то они линейно независимы.
Теорема 2 . Для того чтобы три вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Необходимость
. Пусть векторы
,
и
линейно зависимы. Покажем, что они
компланарны.
Из определения
линейной зависимости векторов следует
существование чисел
и
таких, что линейная комбинация
,
и при этом (для определенности)
.
Тогда из этого равенства можно выразить
вектор
:
=
,
то есть вектор
равен диагонали параллелограмма,
построенного на векторах, стоящих в
правой части этого равенства (рис.2.6).
Это означает, что векторы
,
и
лежат в одной плоскости.
Достаточность
. Пусть векторы
,
и
компланарны. Покажем, что они линейно
зависимы.
Исключим случай коллинеарности какой либо пары векторов (ибо тогда эта пара линейно зависима и по следствию 3 (см.п.1 0) все три вектора линейно зависимы). Заметим, что такое предположение исключает также существование нулевого вектора среди указанных трех.
Перенесем три компланарных
вектора в одну плоскость и приведем их
к общему началу. Через конец вектора
проведем прямые, параллельные векторам
и
;
получим при этом векторы
и
(рис.2.7) – их существование обеспечено
тем, что векторы
и
не коллинеарные по предположению
векторы. Отсюда следует, что вектор
=
+
.
Переписав это равенство в виде
(–1)
+
+
=0,
заключаем, что векторы
,
и
линейно зависимы.
Из доказанной теоремы вытекает два следствия.
Следствие 1
. Пусть
и
не коллинеарные векторы, вектор
– произвольный, лежащий в плоскости,
определяемой векторами
и
,
вектор. Существуют тогда числа
и
такие, что
=
+
.
(2.10)
Следствие 2
. Если векторы
,
и
не компланарны, то они линейно независимы.
Теорема 3 . Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство опустим; с некоторыми изменениями оно копирует доказательство теоремы 2. Приведем следствие из этой теоремы.
Следствие
. Для любых
некомпланарных векторов
,
,
и любого вектора
и
такие, что
.
(2.11)
Замечание . Для векторов в (трехмерном) пространстве понятия линейной зависимости и независимости имеют, как это следует из приведенных выше теорем 1-3, простой геометрический смысл.
Пусть имеются два линейно
зависимых вектора
и
.
В таком случае один из них является
линейной комбинацией второго, то есть
просто отличается от него численным
множителем (например,
).
Геометрически это означает, что оба
вектора находятся на общей прямой; они
могут иметь одинаковое или противоположное
направления (рис.2.8 хх).
Если же два вектора расположены
под углом друг к другу (рис.2.9 хх), то в
этом случае нельзя получить один из них
умножением другого на число – такие
векторы линейно независимы. Следовательно,
линейная независимость двух векторов
и
означает, что эти векторы не могут быть
уложены на одну прямую.
Выясним геометрический смысл линейной зависимости и независимости трех векторов.
Пусть векторы
,
и
линейно зависимы и пусть (для определенности)
вектор
является линейной комбинацией векторов
и
,
то есть расположен в плоскости, содержащей
векторы
и
.
Это означает, что векторы
,
и
лежат в одной плоскости. Справедливо и
обратное утверждение: если векторы
,
и
лежат в одной плоскости, то они линейно
зависимы.
Таким образом,
векторы
,
и
линейно независимы в том и только в том
случае, если они не лежат в одной
плоскости.
3 0 . Понятие базиса . Одним из важнейших понятий линейной и векторной алгебры является понятие базиса. Введем определения.
Определение 1 . Пара векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор этой пары считается первым, а какой вторым.
Определение 2.
Упорядоченная
пара
,
неколлинеарных векторов называется
базисом на плоскости, определяемой
заданными векторами.
Теорема 1
. Всякий вектор
на плоскости может быть представлен
как линейная комбинация базисной системы
векторов
,
:
(2.12)
и это представление единственно.
Доказательство
. Пусть
векторы
и
образуют базис. Тогда любой вектор
можно представить в виде
.
Для доказательства единственности
предположим, что имеется еще одно
разложение
.
Имеем тогда=0,
причем хотя бы одна из разностей отлична
от нуля. Последнее означает, что векторы
и
линейно зависимы, то есть коллинеарны;
это противоречит утверждению, что они
образуют базис.
Но тогда – разложение единственно.
Определение 3 . Тройка векторов называется упорядоченной, если указано, какой вектор ее считается первым, какой вторым, а какой третьим.
Определение 4 . Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется базисом в пространстве.
Здесь также справедлива теорема разложения и единственности.
Теорема 2
. Любой вектор
может быть представлен как линейная
комбинация базисной системы векторов
,
,
:
(2.13)
и это представление единственно (опустим доказательство теоремы).
В разложениях (2.12) и (2.13) величины
называются координатами вектора
в заданном базисе (точнее, аффинными
координатами).
При фиксированном базисе
и
можно писать
.
Например, если задан базис
и дано, что
,
то это означает, что имеет место
представление (разложение)
.
4 0 . Линейные операции над векторами в координатной форме . Введение базиса позволяет линейные операции над векторами заменить обычными линейными операциями над числами – координатами этих векторов.
Пусть задан некоторый базис
.
Очевидно, задание координат вектора в
этом базисе полностью определяет сам
вектор. Имеют место следующие предложения:
а) два вектора
и
равны тогда и только тогда, когда равны
их соответственные координаты:
б) при умножении вектора
на число
его координаты умножаются на это число:
;
(2.15)
в) при сложении векторов складываются их соответственные координаты:
Доказательства этих свойств опустим; докажем лишь для примера свойство б). Имеем
==
Замечание . В пространстве (на плоскости) можно выбрать бесконечно много базисов.
Приведем пример перехода от одного базиса к другому, установим соотношения между координатами вектора в различных базисах.
Пример 1
. В базисной системе
заданы три вектора:
,
и
.
В базисе
,
,
вектор
имеет разложение.
Найти координаты вектора
в базисе
.
Решение
. Имеем разложения:
,
,
;
следовательно,
=
+2
+
=
=
,
то есть
в базисе
.
Пример 2
. Пусть в некотором
базисе
четыре вектора заданы своими координатами:
,
,
и
.
Выяснить,
образуют ли векторы
базис; в случае положительного ответа
найти разложение вектора
в этом базисе.
Решение
. 1) векторы образуют
базис, если они линейно независимы.
Составим линейную комбинацию векторов
(
)
и выясним, при каких
и
она обращается в нуль:
=0.
Имеем:
=
+
+
=
По определению
равенства векторов в координатной форме
получим следующую систему (линейных
однородных алгебраических) уравнений:
;
;
,
определитель которой
=1
,
то есть система имеет (лишь) тривиальное
решение
.
Это означает линейную независимость
векторов
и, следовательно, они образуют базис.
2) разложим вектор
в этом базисе. Имеем:
=
или в координатной форме.
Переходя к
равенству векторов в координатной
форме, получим систему линейных
неоднородных алгебраических уравнений:
;
;
.
Решая ее (например, по правилу Крамера),
получим:
,
,
и (
)
.
Имеем разложение вектора
в базисе
:
=.
5
0
. Проекция
вектора на ось. Свойства проекций.
Пусть
имеется некоторая осьl
,
то есть прямая с выбранным на ней
направлением и пусть задан некоторый
вектор
.Определим
понятие проекции вектора
на осьl
.
Определение
. Проекцией
вектора
на осьl
называется
произведение модуля этого вектора на
косинус угла между осьюl
и вектором (рис.2.10):
.
(2.17)
Следствием этого определения является утверждение о том, что равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).
Отметим свойства проекций.
1) проекция суммы векторов на некоторую ось l равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось:
2) проекция произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра на проекцию вектора на ту же ось:
=
.
(2.19)
Следствие . Проекция линейной комбинации векторов на ось равна линейной комбинации их проекций:
Доказательства свойств опустим.
6
0
. Прямоугольная
декартова система координат в пространстве
.Разложение вектора по ортам осей.
Пусть в качестве базиса выбраны три
взаимно перпендикулярных орта; для них
вводим специальные обозначения
.
Поместив их начала в точкуO
,
направим по ним (в соответствии с ортами
)
координатные осиOx
,Oy
иOz
(ось с выбранным на ней положительным
направлением, началом отсчета и единицей
длины называется координатной осью).
Определение . Упорядоченная система трех взаимно перпендикулярных координатных осей с общим началом и общей единицей длины называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.
Ось Ox называется осью абсцисс,Oy – осью ординат иOz – осью аппликат.
Займемся
разложением произвольного вектора по
базису
.
Из теоремы (см.§2.2,п.3 0 , (2.13)) следует,
что
может быть и единственным образом
разложен по базису
(здесь вместо обозначения координат
употребляют
):
.
(2.21)
В (2.21)
суть (декартовы прямоугольные) координаты
вектора
.
Смысл декартовых координат устанавливает
следующая теорема.
Теорема
. Декартовы
прямоугольные координаты
вектора
являются проекциями этого вектора
соответственно на осиOx
,Oy
иOz
.
Доказательство.
Поместим
вектор
в начало системы координат – точкуO
.
Тогда его конец будет совпадать с
некоторой точкой
.
Проведем через
точку
три плоскости, параллельные координатным
плоскостямOyz
,Oxz
иOxy
(рис.2.11 хх). Получим
тогда:
.
(2.22)
В (2.22) векторы
и
называются составляющими вектора
по осямOx
,Oy
иOz
.
Пусть через
и
обозначены соответственно углы,
образованные вектором
с ортами
.
Тогда для составляющих получим следующие
формулы:
=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)
Из (2.21), (2.22) (2.23) находим:
=
=
;
=
=
;
=
=
(2.23)
– координаты
вектора
есть проекции этого вектора на координатные
осиOx
,Oy
иOz
соответственно.
Замечание
. Числа
называются направляющими косинусами
вектора
.
Модуль вектора
(диагональ прямоугольного параллелепипеда)
вычисляется по формуле:
.
(2.24)
Из формул (2.23) и (2.24) следует, что направляющие косинусы могут быть вычислены по формулам:
=
;
=
;
=
.
(2.25)
Возводя обе части каждого из равенств в (2.25) и складывая почленно левые и правые части полученных равенств, придем к формуле:
– не любые три угла образуют некоторое направление в пространстве, но лишь те, косинусы которых связаны соотношением (2.26).
7 0 . Радиус-вектор и координаты точки .Определение вектора по его началу и концу . Введем определение.
Определение
. Радиусом-вектором
(обозначается
)
называется вектор, соединяющий начало
координатO
с этой
точкой (рис.2.12 хх):
.
(2.27)
Любой точке пространства соответствует определенный радиус-вектор (и обратно). Таким образом, точки пространства представляются в векторной алгебре их радиус-векторами.
Очевидно, координаты
точкиM
являются
проекциями ее радиус-вектора
на координатные оси:
(2.28’)
и, таким образом,
(2.28)
– радиус-вектор точки есть
вектор, проекции которого на оси координат
равны координатам этой точки. Отсюда
следует две записи:
и
.
Получим формулы для вычисления
проекций вектора
по координатам его начала – точке
и конца – точке
.
Проведем радиус-векторы
и вектор
(рис.2.13). Получим, что
=
=(2.29)
– проекции вектора на координатные орты равны разностям соответствующих координат конца и начала вектора.
8 0 . Некоторые задачи на декартовы координаты .
1)
условия коллинеарности
векторов
. Из теоремы (см.§2.1,п.2 0 ,
формула (2.7)) следует, что для коллинеарности
векторов
и
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
соотношение:
=
.
Из этого векторного равенства получаем
три в координатной форме равенства:,
откуда следует условие коллинеарности
векторов в координатной форме:
(2.30)
– для коллинеарности векторов
и
необходимо и достаточно, чтобы их
соответствующие координаты были
пропорциональны.
2)
расстояние между
точками
. Из представления (2.29)
следует, что расстояние
между точками
и
определяется формулой
=
=.
(2.31)
3)
деление отрезка в
данном отношении
. Пусть даны точки
и
и отношение
.
Нужно найти
– координаты точкиM
(рис.2.14).
Имеем из условия коллинеарности
векторов:
,
откуда
и
.
(2.32)
Из (2.32) получим в координатной форме:
Из формул (2.32’) можно получить
формулы для вычисления координат
середины отрезка
,
полагая
:
Замечание
. Будем считать
отрезки
и
положительными или отрицательными в
зависимости от того, совпадает их
направление с направлением от начала
отрезка к концу
,
или не совпадает. Тогда по формулам
(2.32) – (2.32”) можно находить координат
точки, делящей отрезок
внешним образом, то есть так, что делящая
точкаM
находится на
продолжении отрезка
,
а не внутри его. При этом конечно,
.
4)
уравнение сферической
поверхности
.
Составим уравнение
сферической поверхности – геометрического
места точек
,
равноудаленных на расстояние
от некоторого фиксированного центра –
точки
.
Очевидно, что в данном случае
и с учетом формулы (2.31)
Уравнение (2.33) и есть уравнение искомой сферической поверхности.
