Ортогональная система векторов. Ортогональная система
Определение 1. } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны:
Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.
{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }
Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.
Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, {i , j , k } в 3 х – мерном пространстве).Такаясистема называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.
Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.
Вообще, все основные величины: скалярное произведение векторов, длина вектора, косинус угла между векторами и т.д. имеют наиболее простой вид в ортонормированном базисе. Рассмотрим скалярное произведение: , так как
А все остальные слагаемые равны нулю. Отсюда сразу получаем: ,
* Рассмотрим произвольный базис . Скалярное произведение в этом базисе будет равно:
(Здесь α i и β j – координаты векторов в базисе {f }, а – скалярные произведения базисных векторов).
Величины γ ij образуют матрицу G , называемую матрицей Грама. Скалярное произведение в матричной форме будет иметь вид: *
Теорема 2. В любом n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и носит название
9. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.
Пусть {a 1 ,...,a n } − произвольный базис n – мерного евклидова пространства (существование такого базиса обусловлено n – мерностью пространства). Алгоритм построения по данному базису ортонормированного заключается в следующем:
1. b 1 =a 1 , e 1 = b 1 /| b 1 |, | e 1 |= 1.
2. b 2 ^e 1 , т.к.(e 1 , a 2 )- проекция a 2 на e 1 , b 2 = a 2 - (e 1 , a 2 )e 1 , e 2 = b 2 /| b 2 |, | e 2 |= 1.
3. b 3 ^a 1 , b 3 ^a 2 , b 3 = a 3 - (e 1 , a 3 )e 1 - (e 2 , a 3 )e 2 , e 3 = b 3 /| b 3 |, | e 3 |= 1.
.........................................................................................................
k. b k ^a 1 ,..., b k ^a k-1 , b k = a k - S i=1 k (e i , a k )e i , e k = b k /| b k |, | e k |= 1.
Продолжая процесс, получаем ортонормированный базис {e 1 ,...,e n }.
Замечание 1 . С помощью рассмотренного алгоритма можно построить ортонормированный базис любой линейной оболочки, например, ортонормированный базис линейной оболочки системы, имеющей ранг равный трем и состоящей из пятимерных векторов.
Пример. x =(3,4,0,1,2), y =(3,0,4,1,2), z =(0,4,3,1,2)
Замечание 2. Особые случаи
Процесс Грама - Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.
Кроме того, процесс Грама - Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт 0 (нулевой вектор) на шаге j , если a j является линейной комбинацией векторов a 1 ,...,a j -1 . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортонормировании алгоритм должен делать проверку на нулевые векторы и отбрасывать их. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (т.е. количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).
10. Геометрические векторные пространства R 1 , R 2 , R 3 .
Подчеркнем, что непосредственный геометрический смысл имеют лишь пространства
R 1 , R 2 , R 3 . Пространство R n при n > 3 – абстрактный чисто математический объект.
1) Пусть дана система из двух векторов a и b . Если система линейно зависима, то один из векторов, допустим a , линейно выражается через другой:
a = kb.
Два вектора, связанные такой зависимостью, как уже сказано, называются коллинеарными. Итак, система из двух векторов линейно зависима тогда и только
тогда, когда эти векторы коллинеарны. Заметим, что такое заключение относится не только к R 3 , но и к любому линейному пространству.
2) Пусть система в R3 состоит из трех векторов a, b, c . Линейная зависимость означает, что один из векторов, скажем a , линейно выражается через остальные:
а = kb+ lc . (*)
Определение. Три вектора a, b, с в R 3 , лежащие в одной плоскости или параллельные одной плоскости, называются компланарными
(на рис. слева указаны векторы a, b, с из одной плоскости, а справа те же векторы отложены от разных начал и лишь параллельны одной плоскости).
Итак, если три вектора в R3 линейно зависимы, то они компланарны. Справедливо и обратное: если векторы a, b, с из R3 компланарны, то они линейно зависимы.
Векторным произведением вектора a, на вектор b в пространстве называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:
Обозначение:
Рассмотрим упорядоченную тройку некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве. Совместим начала этих векторов в точке А (то есть выберем произвольно в пространстве точку А и параллельно перенесём каждый вектор так, чтобы его начало совпало с точкой А ). Концы векторов, совмещённых началами в точке А , не лежат на одной прямой, так как векторы некомпланарны.
Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c в трёхмерном пространстве называется правой , если с конца вектора c кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден наблюдателю против часовой стрелки. И наоборот, если кратчайший поворот виден по часовой стрелке, то тройка называется левой .
Другое определение связано с правой рукой человека (см. рисунок), откуда и берётся название.
Все правые между собой (и левые между собой) тройки векторов называются одинаково ориентированными.
Определение . Векторы a и b называются ортогональными (перпендикулярными) друг другу, если их скалярное произведение равно нулю, т.е. a × b = 0.
Для ненулевых векторов a и b равенство нулю скалярного произведения означает, что cosj = 0, т.е. . Нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.к. a ×0 = 0.
Упражнение. Пусть и – ортогональные векторы. Тогда естественно считать диагональю прямоугольника со сторонами и . Докажите, что
т.е. квадрат длины диагонали прямоугольника равен сумме квадратов длин двух его непараллельных сторон (теорема Пифагора).
Определение. Система векторов a 1 ,…, a m называется ортогональной, если ортогональны любые два вектора этой системы .
Таким образом, для ортогональной системы векторов a 1 ,…,a m справедливо равенство:a i ×a j = 0 при i ¹ j , i = 1,…, m ; j = 1,…,m .
Теорема 1.5 . Ортогональная система, состоящая из ненулевых векторов, линейно независима. .
□ Доказательство проведем от противного. Предположим, что ортогональная система ненулевых векторов a 1 , …, a m линейно зависима. Тогда
l 1 a 1 + …+ l m a m = 0 , при этом . (1.15)
Пусть, например, l 1 ¹ 0. Домножим на a 1 обе части равенства (1.15):
l 1 a 1 ×a 1 + …+ l m a m ×a 1 = 0.
Все слагаемые, кроме первого, равны нулю в силу ортогональности системы a 1 , …, a m . Тогда l 1 a 1 ×a 1 =0, откуда следует a 1 = 0 , что противоречит условию. Наше предположение оказалось неверным. Значит, ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. ■
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.6
. В пространстве R n всегда существует базис, состоящий из ортогональных векторов (ортогональный базис)
(без доказательства).
Ортогональные базисы удобны прежде всего тем, что коэффициенты разложения произвольного вектора по таким базисам определяются просто.
Пусть требуется найти разложение произвольного вектора b по ортогональному базису е 1 ,…,е n . Составим разложение этого вектора с неизвестными пока коэффициентами разложения по данному базису:
Умножим обе части этого равенства скалярно на вектор e 1 . В силу аксиом 2° и 3° скалярного произведения векторов получим
Так как векторы базиса е 1 ,…,е n взаимно ортогональны, то все скалярные произведения векторов базиса, за исключением первого, равны нулю, т.е. коэффициент определяется по формуле
Умножая поочередно равенство (1.16) на другие базисные векторы, мы получим простые формулы для вычисления коэффициентов разложения вектора b :
Формулы (1.17) имеют смысл, поскольку .
Определение . Вектор a называется нормированным (или единичным), если его длина равна 1, т.е. (a , a )= 1.
Любой ненулевой вектор можно нормировать. Пусть a ¹ 0 . Тогда , и вектор есть нормированный вектор.
Определение . Система векторов е 1 ,…,е n называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна 1, т.е.
Так как в пространстве R n всегда существует ортогональный базис и векторы этого базиса можно нормировать, то в R n всегда существует ортонормированный базис.
Примером ортонормированного базиса пространства R n может служить система векторов е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) со скалярным произведением, определенным равенством (1.9). В ортонормированном базисе е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1) формулы (1.17) для определения координат разложения вектора b имеют наиболее простой вид:
Пусть a и b – два произвольных вектора пространства R n с ортонормированным базисом е 1 ,=(1,0,…,0),…, е n =(0,0,…,1). Обозначим координаты векторов a и b в базисе е 1 ,…,е n соответственно через a 1 ,…,a n и b 1 ,…, b n и найдем выражение скалярного произведения этих векторов через их координаты в данном базисе, т.е. предположим, что
Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений (1.18) получим
Окончательно имеем
Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов .
Рассмотрим теперь в n-мерном евклидовом пространстве R n совершенно произвольный (вообще говоря, не ортонормированный) базис и найдем выражение скалярного произведения двух произвольных векторов a и b через координаты этих векторов в указанном базисе.f 1 ,…,f n евклидова пространства R n скалярное произведение двух любых векторов было равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов, необходимо и достаточно, чтобы базис f 1 ,…,f n был ортонормированным.
В самом деле, выражение (1.20) переходит в (1.19) тогда и только тогда, когда выполнены соотношения устанавливающие ортонормированность базиса f 1 ,…,f n .
Конструктивного исполнения ПЛМ представляют собой БИС, выполненную в виде системы ортогональных шин, в узлах которой располагаются базовые полупроводниковые элементы -транзисторы или диоды. Настройка ПЛМ на требуемое логическое преобразование (программирование ПЛМ) заключается в соответствующей организации связей между базовыми логическими элементами. Программирование ПЛМ выполняется либо при ее изготовлении, либо пользователем с помощью прибора -программатора. Благодаря -таким свойствам ПЛМ, как простота структурной организации и высокая скорость выполнения логических преобразовании, а также сравнительно низкая стоимость, определяемая технологичностью и массовым производством , ПЛМ находят широкое применение в качестве элементной базы при проектировании вычислительных систем и систем автоматизации производства.
Не существует хороших "механических систем", которым можно было бы следовать даже на этом уровне. По моему мнению, вообще никогда и не было успешной "механической" системы, которая описывалась бы линейной моделью . Не существует и теперь и, по всей вероятности, никогда не будет существовать, даже с использованием искусственного интеллекта , аналоговых процессоров, генетических алгоритмов , ортогональных регрессий и нейронных сетей.
Поясним смысл нормы - G. В (пг+1)-мерном пространстве вводится косоугольная система координат , одной осью которой является прямая Хе, а второй осью - пг-мерная гиперплоскость G, ортогональная g. Всякий вектор х может быть представлен в виде
Параболическая регрессия и система ортогональных по-
Ограничимся для определенности случаем т = 2 (переход к общему случаю т > 2 осуществляется очевидным образом без каких-либо затруднений) и представим функцию регрессии в системе базисных функций if>0 (л), (х), ip2 to) являющихся ортогональными (на совокупности наблюденных
Взаимная ортогональность полиномов (7- (JK) (на системе наблюдений xlt к. .., хп) означает, что
При таком планировании, называемом ортогональным, матрица Х Х станет диагональной, т.е. система нормальных уравнений распадается на k+l независимых уравнений
Система точек с выполнением условия ортогональности (план 1-го порядка)
Очевидно, что тензор деформаций в твердом движении обращается в нуль. Можно показать, что верно и обратное если во всех точках среды тензор деформации равен нулю, то закон движения в некоторой прямоугольной системе координат наблюдателя имеет вид (3.31) с ортогональной матрицей а а. Таким образом, твердое движение можно определить как движение сплошной среды, при котором расстояние между любыми двумя точками среды в процессе движения не меняется.
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если векторы этой системы попарно ортогональны.
О Пример. Система векторов = (, О,. . ., 0), е% = = (О, 1,. . ., 0), . .., е = (0, 0,. . . , 1) ортогональна.
Оператор Фредгол ма с ядром k (to - TI, 4 - 12) обладает в гильбертовом пространстве (согласно теореме Гильберта) полной ортогональной системой собственных векторов . Это значит, что фг(т) образуют полный базис в Lz(to, Т). Поэтому Я сЯ.
Ортогональная система н-енулевых векторов линейно независима.
Приведенный способ пострюения ортогональной системы векторов t/i, УЪ,. ..> ym+t по заданной линейно неза-
Для биотехнической системы бурения скважин, где объем физической работы остается значительным, исследования биомеханической и двигательно-силовой сфер деятельности представляют особый интерес. Состав и структура трудовых движений , количество, динамические и статические нагрузки и развиваемые усилия изучались нами на буровых установках Уралмаш-ЗД при помощи стереоскопической киносъемки (двумя синхронно действующими камерами по специальной методике при частоте 24 кадра в 1 с) и ганиографического метода с применением трехканального медицинского осциллографа. Жесткое закрепление оптических осей, параллельных друг другу и перпендикулярных к линии базиса (объекта киносъемки), позволило количественно изучать (на основе перспективно-ортогональных сопряженных проекций по кинокадрам, как показано на рис. 48) рабочие позы, траектории перемещения центров тяжести работающих при выполнении отдельных операций, приемы, действия и определять усилия, энергозатраты и др.
Перспективным подходом к определению независимых альтернатив необходимо признать выявление независимых синтетических факторных показателей. Исходная система факторных показателей Xi трансформируется в систему новых синтетических независимых между собой факторных показателей FJ, которые представляют собой ортогональные компоненты системы показателей Хг. Трансформация производится с помощью методов компонентного анализа 1. Математиче-
Одной из составных частей ADAD является модуль для трехмерного проектирования сложных систем трубопроводов. Графическая база данных модуля содержит объемные элементы трубопроводов (соединения, краны, фланцы, трубы). Выбранный из библиотеки элемент автоматически приводится в соответствие с характеристиками трубопроводной системы проектируемой модели. Модуль осуществляет обработку чертежей и создает двух-и трехмерные изображения, включая построение изометрических моделей и ортогональных проекций объектов. Предусмотрен выбор деталей для трубопроводов, видов покрытий и типов изоляций согласно заданной спецификации.
Из соотношений (2.49) видно, как следует строить решение уравнений (2.47). Сначала строится полярное разложение тензора of и определяются тензоры р "ь нцц,- Поскольку тензоры а "ь и р I равны, матрица s имеет вид (2.44), (2.45) в главной системе координат тензора р. Фиксируем матрицу Su. Тогда aad = lp labsd. По aad из уравнения aad = = biljд х ad вычисляется au. "Ортогональная часть" дисторсии находится из (2.49) id = nib sd.
Остальные ветв, условию (2.5 1) не удовлетворяют. Докажем это утверждение. Матри-ца х = A 5, f = X Mfs ортогональна. Обозначим через X j матрицу, соответствующую первой матрице s" (2.44), а через Х й - матрицу, соответствующую любому другому выбору матрицы sa (2.44). Сумма " а + Аза по построению s" равна либо удвоенному значению одного из диагональных
Равно нулю:
.Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .
Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой .
Ортогонализация
Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.
Ортогональное разложение
При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .
См. также
Wikimedia Foundation . 2010 .
Смотреть что такое "Ортогональная система" в других словарях:
1) О … Математическая энциклопедия
- (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций, принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b)(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x)наз. весом О. с. ф.,* означает… … Физическая энциклопедия
Система функций??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов … Большой Энциклопедический словарь
Система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х) некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… … Энциклопедический словарь
Система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… … Естествознание. Энциклопедический словарь
Система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., О. с. ф. с весом 1 на отрезке [ π, π]. Бесселя … Большая советская энциклопедия
Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид. где d В ортогональных системах координат q = (q1, q², …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат… … Википедия
ортогональная многоканальная система - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN ortogonal multiplex …
система координат (фотограмметрического) снимка - Правая ортогональная пространственная система координат, фиксируемая на фотограмметрическом снимке изображениями координатных меток. [ГОСТ Р 51833 2001] Тематики фотограмметрия … Справочник технического переводчика
система - 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
