Частной производной функции z = f(x, y по переменной х называется производная этой функции при постоянном значении переменной у, она обозначается или z" х.

Частной производной функции z = f(x, y) по переменной у называется производная по у при постоянном значении переменной у; она обозначается или z" у.

Частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.

Полным дифференциалом функции z = f(x, y) в некоторой точке М(Х, у) называется выражение

,

Где и вычисляются в точке М(х, у), а dx = , dy = у.

Пример 1

Вычислить полный дифференциал функции.

z = х 3 – 2х 2 у 2 + у 3 в точке М(1; 2)

Решение:

1) Находим частные производные:

2) Вычислим значение частных производных в точке М(1; 2)

() М = 3 · 1 2 – 4 · 1 · 2 2 = -13

() М = - 4 · 1 2 · 2 + 3 · 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется первообразной? Перечислить свойства первообразной.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Перечислить свойства неопределенного интеграла.

4. Перечислить основные формулы интегрирования.

5. Какие методы интегрирования вы знаете?

6. В чем заключается суть формулы Ньютона – Лейбница?

7. Дать определение определенного интеграла.

8. В чем суть вычисления определенного интеграла методом подстановки?

9. В чем суть метода вычисления определенного интеграла по частям?

10. Какая функция называется функцией двух переменных? Как она обозначается?

11. Какая функция называется функцией трех переменных?

12. Какое множество называется областью определения функции?

13. С помощью каких неравенств можно задать замкнутую область Д на плоскости?

14. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной х? Как она обозначается?

15. Что называется частной производной функции z = f(x, y) по переменной у? Как она обозначается?

16. Какое выражение называется полным дифференциалом функции

Тема 1.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференци­альные уравнения с разделяющимися переменными. Общие и частные ре­шения. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Ли­нейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффици­ентами.

Практическое занятие № 7 «Нахождение общих и частных решений дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»*

Практическое занятие № 8 «Линейные и однородные дифференциальные уравнения»

Практическое занятие № 9 «Решение дифференциальных уравнений 2 - го порядка с постоянными коэффициентами»*

Л4, глава 15, стр. 243 – 256

Методические указания

Частные производные функции двух переменных.
Понятие и примеры решений

На данном уроке мы продолжим знакомство с функцией двух переменных и рассмотрим, пожалуй, самое распространенное тематическое задание – нахождение частных производных первого и второго порядка, а также полного дифференциала функции . Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.

Для эффективного изучения нижеизложенного материала вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции . Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на странице Математические формулы и таблицы .

Быстренько повторим понятие функции двух переменных , я постараюсь ограничиться самым минимумом. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами .

Пример: – функция двух переменных.

Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .

С геометрической точки зрения функция двух переменных чаще всего представляет собой поверхность трехмерного пространства (плоскость, цилиндр, шар, параболоид, гиперболоид и т. д.). Но, собственно, это уже больше аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».

Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной .

Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций . Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас:

…да, кстати, для этой темы я таки создал маленькую pdf-книжку , которая позволит «набить руку» буквально за пару часов. Но, пользуясь сайтом, вы, безусловно, тоже получите результат – только может чуть медленнее:

Пример 1

Найти частные производные первого и второго порядка функции

Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.

Обозначения :
или – частная производная по «икс»
или – частная производная по «игрек»

Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом) .

Комментарии к выполненным действиям:

(1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом .

Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).

(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной , то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».

(3) Используем табличные производные и .

(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.

Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом) .

(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.

(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы) . В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .

В чём смысл частных производных?

По своей сути частные производные 1-го порядка напоминают «обычную» производную :

– это функции , которые характеризуют скорость изменения функции в направлении осей и соответственно. Так, например, функция характеризует крутизну «подъёмов» и «склонов» поверхности в направлении оси абсцисс, а функция сообщает нам о «рельефе» этой же поверхности в направлении оси ординат.

! Примечание : здесь подразумеваются направления, которые параллельны координатным осям .

В целях лучшего понимания рассмотрим конкретную точку плоскости и вычислим в ней значение функции («высоту»):
– а теперь представьте, что вы здесь находитесь (НА САМОЙ поверхности).

Вычислим частную производную по «икс» в данной точке:

Отрицательный знак «иксовой» производной сообщает нам об убывании функции в точке по направлению оси абсцисс. Иными словами, если мы сделаем маленький-маленький (бесконечно малый) шажок в сторону острия оси (параллельно данной оси) , то спустимся вниз по склону поверхности.

Теперь узнаем характер «местности» по направлению оси ординат:

Производная по «игрек» положительна, следовательно, в точке по направлению оси функция возрастает . Если совсем просто, то здесь нас поджидает подъём в гору.

Кроме того, частная производная в точке характеризует скорость изменения функции по соответствующему направлению. Чем полученное значение больше по модулю – тем поверхность круче, и наоборот, чем оно ближе к нулю – тем поверхность более пологая. Так, в нашем примере «склон» по направлению оси абсцисс более крут, чем «гора» в направлении оси ординат.

Но то были два частных пути. Совершенно понятно, что из точки, в которой мы находимся, (и вообще из любой точки данной поверхности) мы можем сдвинуться и в каком-нибудь другом направлении. Таким образом, возникает интерес составить общую «навигационную карту», которая сообщала бы нам о «ландшафте» поверхности по возможности в каждой точке области определения данной функции по всем доступным путям. Об этом и других интересных вещах я расскажу на одном из следующих уроков, ну а пока что вернёмся к технической стороне вопроса.

Систематизируем элементарные прикладные правила:

1) Когда мы дифференцируем по , то переменная считается константой.

2) Когда же дифференцирование осуществляется по , то константой считается .

3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (, либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.

Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре.

Обозначения :
или – вторая производная по «икс»
или – вторая производная по «игрек»
или – смешанная производная «икс по игрек»
или – смешанная производная «игрек по икс»

Со второй производной нет никаких проблем. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной .

Для удобства я перепишу уже найденные частные производные первого порядка:

Сначала найдем смешанные производные:

Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек».

Аналогично:

В практических примерах можно ориентироваться на следующее равенство :

Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка.

Находим вторую производную по «икс».
Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз:

Аналогично:

Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание , так как никаких чудесных равенств для их проверки не существует.

Вторые производные также находят широкое практическое применение, в частности, они используются в задаче отыскания экстремумов функции двух переменных . Но всему своё время:

Пример 2

Вычислить частные производные первого порядка функции в точке . Найти производные второго порядка.

Это пример для самостоятельного решения (ответы в конце урока). Если возникли трудности с дифференцированием корней, вернитесь к уроку Как найти производную? А вообще, довольно скоро вы научитесь находить подобные производные «с лёту».

Набиваем руку на более сложных примерах:

Пример 3

Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Решение: Находим частные производные первого порядка:

Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении.

Дальнейшие комментарии:

(1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом.

(2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни.

(1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является .

(2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения .

(3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: .

Теперь находим смешанные производные второго порядка:

Значит, все вычисления выполнены верно.

Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах.

Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид:

В данном случае:

То есть, в формулу нужно тупо просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях:

И по неоднократным просьбам читателей, полный дифференциал второго порядка .

Он выглядит так:

ВНИМАТЕЛЬНО найдём «однобуквенные» производные 2-го порядка:

и запишем «монстра», аккуратно «прикрепив» квадраты , произведение и не забыв удвоить смешанную производную:

Ничего страшного, если что-то показалось трудным, к производным всегда можно вернуться позже, после того, как поднимите технику дифференцирования:

Пример 4

Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка .

Рассмотрим серию примеров со сложными функциями:

Пример 5

Найти частные производные первого порядка функции .

Решение:

Пример 6

Найти частные производные первого порядка функции .
Записать полный дифференциал .

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое

Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации.

Пример 7

Найти частные производные первого порядка функции .

(1) Используем правило дифференцирования суммы

(2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в этом смысле ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс» , а поэтому, нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции.

(1) В первом слагаемом и в числителе и в знаменателе содержится «игрек», следовательно, нужно использовать правило дифференцирования частного: . Второе слагаемое зависит ТОЛЬКО от «икс», значит, считается константой и превращается в ноль. Для третьего слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции.

Для тех читателей, которые мужественно добрались почти до конца урока, расскажу старый мехматовский анекдот для разрядки:

Однажды в пространстве функций появилась злобная производная и как пошла всех дифференцировать. Все функции разбегаются кто куда, никому не хочется превращаться! И только одна функция никуда не убегает. Подходит к ней производная и спрашивает:

– А почему это ты от меня никуда не убегаешь?

– Ха. А мне всё равно, ведь я «е в степени икс», и ты со мной ничего не сделаешь!

На что злобная производная с коварной улыбкой отвечает:

– Вот здесь ты ошибаешься, я тебя продифференцирую по «игрек», так что быть тебе нулем.

Кто понял анекдот, тот освоил производные, минимум, на «тройку»).

Пример 8

Найти частные производные первого порядка функции .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока.

Ну вот почти и всё. Напоследок не могу не обрадовать любителей математики еще одним примером. Дело даже не в любителях, у всех разный уровень математической подготовки – встречаются люди (и не так уж редко), которые любят потягаться с заданиями посложнее. Хотя, последний на данном уроке пример не столько сложный, сколько громоздкий с точки зрения вычислений.

Каждая частная производная (по x и по y ) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:

(где y = const),

(где x = const).

Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функций одной переменной , считая при этом другую переменную постоянной (константой).

Если Вам не нужен разбор примеров и необходимого для этого минимума теории, а нужно лишь решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору частных производных онлайн .

Если тяжело сосредоточиться, чтобы отслеживать, где в функции константа, то можно в черновом решении примера вместо переменной с фиксированным значением подставить любое число - тогда можно будет быстрее вычислить частную производную как обыкновенную производную функции одной переменной. Надо только не забыть при чистовом оформлении вернуть на место константу (переменную с фиксированном значением).

Описанное выше свойство частных производных следует из определения частной производной, которое может попасться в экзаменационных вопросах. Поэтому для ознакомления с определением ниже можно открыть теоретическую справку.

Понятие непрерывности функции z = f (x , y ) в точке определяется аналогично этому понятию для функции одной переменной.

Функция z = f (x , y ) называется непрерывной в точке если

Разность (2) называется полным приращением функции z (оно получается в результате приращений обоих аргументов).

Пусть заданы функция z = f (x , y ) и точка

Если изменение функции z происходит при изменении только одного из аргументов, например, x , при фиксированном значении другого аргумента y , то функция получит приращение

называемое частным приращением функции f (x , y ) по x .

Рассматривая изменение функции z в зависимости от изменения только одного из аргументов, мы фактически переходим к функции одной переменной.

Если существует конечный предел

то он называется частной производной функции f (x , y ) по аргументу x и обозначается одним из символов

(4)

Аналогично определяются частное приращение z по y :

и частная производная f (x , y ) по y :

(6)

Пример 1.

Решение. Находим частную производную по переменной "икс":

(y фиксировано);

Находим частную производную по переменной "игрек":

(x фиксировано).

Как видно, не имеет значения, в какой степени переменная, которая фиксирована: в данном случае это просто некоторое число, являющееся множителем (как в случае обычной производной) при переменной, по которой находим частную производную. Если же фиксированная переменная не умножена на переменную, по которой находим частную производную, то эта одинокая константа, безразлично, в какой степени, как и в случае обычной производной, обращается в нуль.

Пример 2. Дана функция

Найти частные производные

(по иксу) и (по игреку) и вычислить их значения в точке А (1; 2).

Решение. При фиксированном y производная первого слагаемого находится как производная степенной функции (таблица производных функций одной переменной ):

.

При фиксированном x производная первого слагаемого находится как производная показательной функции, а второго – как производная постоянной:

Теперь вычислим значения этих частных производных в точке А (1; 2):

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Пример 3. Найти частные производные функции

Решение. В один шаг находим

(y x , как если бы аргументом синуса было 5x : точно так же 5 оказывается перед знаком функции);

(x фиксировано и является в данном случае множителем при y ).

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Аналогично определяются частные производные функции трёх и более переменных.

Если каждому набору значений (x ; y ; ...; t ) независимых переменных из множества D соответствует одно определённое значение u из множества E , то u называют функцией переменных x , y , ..., t и обозначают u = f (x , y , ..., t ).

Для функций трёх и более переменных геометрической интерпретации не существует.

Частные производные функции нескольких переменных определяются и вычисляются также в предположении, что меняется только одна из независимых переменных, а другие при этом фиксированы.

Пример 4. Найти частные производные функции

.

Решение. y и z фиксированы:

x и z фиксированы:

x и y фиксированы:

Найти частные производные самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 5.

Пример 6. Найти частные производные функции .

Частная производная функции нескольких переменных имеет тот же механический смысл, что и производная функции одной переменной , - это скорость изменения функции относительно изменения одного из аргументов.

Пример 8. Количественная величина потока П пассажиров железных дорог может быть выражена функцией

где П – количество пассажиров, N – число жителей корреспондирующих пунктов, R – расстоянии между пунктами.

Частная производная функции П по R , равная

показывает, что уменьшение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между корреспондирующими пунктами при одной и той же численности жителей в пунктах.

Частная производная П по N , равная

показывает, что увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей населённых пунктов при одном и том же расстоянии между пунктами.

Проверить решение задач с частными производными можно на калькуляторе частных производных онлайн .

Полный дифференциал

Произведение частной производной на приращение соответствующей независимой переменной называется частным дифференциалом. Частные дифференциалы обозначаются так:

Сумма частных дифференциалов по всем независимым переменным даёт полный дифференциал. Для функции двух независимых переменных полный дифференциал выражается равенством

(7)

Пример 9. Найти полный дифференциал функции

Решение. Результат использования формулы (7):

Функция, имеющая полный дифференциал в каждой точке некоторой области, называется дифференцируемой в этой области.

Найти полный дифференциал самостоятельно, а затем посмотреть решение

Так же как и в случае функции одной переменной, из дифференцируемости функции в некоторой области следует её непрерывность в этой области, но не наоборот.

Сформулируем без доказательств достаточное условие дифференцируемости функции.

Теорема. Если функция z = f (x , y ) имеет непрерывные частные производные

в данной области, то она дифференцируема в этой области и её дифференциал выражается формулой (7).

Можно показать, что подобно тому, как в случае функции одной переменной дифференциал функции является главной линейной частью приращения функции , так и в случае функции нескольких переменных полный дифференциал является главной, линейной относительно приращений независимых переменных частью полного приращения функции.

Для функции двух переменных полное приращение функции имеет вид

(8)

где α и β – бесконечно малые при и .

Частные производные высших порядков

Частные производные и функции f (x , y ) сами являются некоторыми функциями тех же переменных и, в свою очередь, могут иметь производные по разным переменным, которые называются частными производными высших порядков.

Для упрощения записи и изложения материала ограничимся случаем функций двух переменных. Все дальнейшее справедливо также для функций любого числа переменных.

Определение. Частной производной функции z = f (х, у ) по независимой переменной х называется производная

вычисленная при постоянном у .

Аналогично определяется частная производная по переменной у .

Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Определение. Произведение частной производной на приращение аргумента х ( y) называется частным дифференциалом по переменной х (у ) функции двух переменных z = f (x, y ) (обозначения: ):

Если под дифференциалом независимой переменной dx (dy ) понимать приращение х (у ), то

Для функции z = f (x, y ) выясним геометрический смысл ее частотных производных и .

Рассмотрим точку , точку P 0 (х 0 , y 0 , z 0) на поверхности z = f (x , у ) и кривую L , которая получится при сечении поверхности плоскостью у = у 0 . Эту кривую можно рассматривать как график функции одной переменной z = f (x, y ) в плоскости у = у 0 . Если провести в точке Р 0 (х 0 , у 0 , z 0) касательную к кривой L , то, согласно геометрическому смыслу производной функции одной переменной , где a – угол, образованный касательной с положительным направлением оси Ох .

z = f (x 0 , y ) можно рассмотреть как функцию одной переменной у :

где b – угол, образованный касательной в точке М 0 (х 0 , у 0) с положительным направлением оси Oy (рис. 1.2).

Рис. 1.2. Иллюстрация геометрического смысла частных производных

Пример 1.6. Дана функция z = х 2 – 3ху – 4у 2 – х + 2у + 1. Найти и .

Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим

Считая х постоянной, находим

Лекция 3 ФНП, частные производные, дифференциал

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Мы узнали, что такое функция нескольких переменных с аргументом из евклидова пространства. Изучили, что такое предел и непрерывность для такой функции

Что мы узнаем на этой лекции

Продолжая изучение ФНП, мы изучим частные производные и дифференциалы для этих функций. Узнаем, как написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных

Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.

Определение 10 . Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов , ,…, . При величины , называются частными приращениями функция . Полное приращение функции - это величина .

Например, для функции двух переменных , где - точка на плоскости и , соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения , . При этом величина является полным приращениями функции двух переменных .

Определение 11 . Частной производной функции переменных по переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента , когда стремится к 0.

Запишем определение 11 в виде формулы или в развернутом виде . (2) Для функции двух переменных определение 11 запишется в виде формул , . С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.

Пример 4 . Для функции , где найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.

Решение . Вычислим частные производные , и систему запишем в виде Решением этой системы являются две точки и .

Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Вспомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой, если ее приращение представляется в виде , при этом величина является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина является функцией от , обладает тем свойством, что , т. е. является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула .

Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная , и в этом случае частный дифференциал определяется формулой .

А что же такое полный дифференциал функции нескольких переменных?

Определение 12 . Функция переменных называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде . При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.

Итак, дифференциалом ФНП является величина . Уточним, что мы понимаем под величиной , которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов . Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство . По сути это означает, что = = + +…+ .

А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?

Теорема 1 . Если функция переменных дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом .

Доказательство . Равенство запишем при и в виде и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве перейдем к пределу при . В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.

Следствие . Дифференциал функции переменных вычисляется по формуле . (3)

В примере 4 дифференциал функции был равен . Заметим, что этот же дифференциал в точке равен . А вот если мы его вычислим в точке с приращениями , , то дифференциал будет равен . Заметим, что , точное значение заданной функции в точке равно , а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно . Мы видим, что, заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы можем приближенно вычислять значения функции.

А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.

Теорема 2 . Если у функции переменных в точке существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке.

в виде . В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим . В силу непрерывности частных производных производная в точке и производная в точке отличаются от производных и в точке на величины и , стремящиеся к 0 при , стремящихся к 0. Но тогда и, очевидно, . Теорема доказана. , а координата. Проверьте, что эта точка принадлежит поверхности. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в указанной точке.

Решение . Действительно, . Мы уже вычисляли в прошлой лекции дифференциал этой функции в произвольной точке, в заданной точке он равен . Следовательно, уравнение касательной плоскости запишется в виде или , а уравнение нормали - в виде .