Как решать уравнения 3 степени схема гордона. Уравнения в высшей математике.Рациональные корни многочленов

Пусть имеется простой двухчлен вида ax + b = 0. Решить его не представляет никакого труда. Нужно просто неизвестное перенести в одну сторону, а коэффициенты в другую. В итоге x = - b/a. Рассматриваемое уравнение можно усложнить, добавив квадрат ax2 + bx + c = 0. Решается оно с помощью нахождения дискриминанта. Если он больше нуля, то решения будет два, при его равенстве нулю - корень только один, а когда он меньше, то решений и вовсе нет.

Следующий тип уравнения пусть содержит третью степень ax3 + bx2 + c + d = 0. Это равенство у многих вызывает затруднения. Хотя и существуют различные способы, позволяющие решить такое уравнение, например, формула Кордана, но их уже нельзя применять для степеней пятого и высших порядков. Поэтому математики задумывались об универсальном способе, с помощью которого можно было бы вычислять уравнения любой сложности.

В школе обычно предлагают использовать метод группировки и анализа, при котором многочлен можно разложить на хотя бы два множителя. Для кубического уравнения можно записать: (x - x0) (ax2 + bx + c) = 0. Затем используют то, что произведение будет равно нулю лишь в том случае, если линейный двучлен или квадратное уравнение равняется ему. Затем выполняют стандартное решение. Проблема при вычислении такого типа приведённых равенств возникает во время поиска x0. Вот в этом случае и поможет схема Горнера.

Алгоритм, предложенный Горнером, на самом деле был открыт раньше итальянским математиком и доктором медицины Паоло Руффини. Он первый доказал невозможность нахождения радикала в выражениях пятой степени. Но его работа содержала много противоречий, которые не позволили её принять математическим миром учёных. Основываясь на его трудах, в 1819 году британец Уильям Джордж Горнер опубликовал способ приближённого нахождения корней многочлена. Эта работа была напечатана Королевским научным обществом и получила название метод Руффини-Горнера.

После шотландец Огастес де Морган расширил возможности использования метода. Способ нашёл применение в теоретико-множественных соотношениях и теории вероятности. По сути, схема является алгоритмом для вычисления частного и остатка отношения записи Р (х) на х-с.

Принцип метода

Впервые учащихся знакомят со способом нахождения корней с использованием схемы Горнера в высших классах средней школы на уроках алгебры. Объясняют её на примере решения уравнения третьей степени: x3 + 6x - x - 30 = 0. При этом в условии задачи дано, что корнем этого уравнения является цифра два. Задача заключается в том, чтобы определить другие корни.

Обычно это делается следующим образом. Если многочлен p (x) имеет корень x0, то p (x) можно представить как произведение разности икс минус икс нулевое на некий другой многочлен q (x), степень которого будет на единицу меньше. Выделяют нужный многочлен обычно способом деления. Для рассматриваемого примера уравнение будет иметь вид: (x3 + 6x - x - 30) / (x - x2). Деление лучше выполнять «уголком». В итоге получится выражение: x 2 + 8x + 15 .

Таким образом, искомое выражение можно переписать в виде (x - 2)* (x 2 + 8x + 15) = 0. Далее, для того чтобы найти решение, нужно выполнить следующее:

• Найти корни в первом члене равенства, приравняв его к нулю: x - 2 = 0. Отсюда x = 2, что также следует из условия.
• Решить квадратное уравнение, приравняв второй член многочлена к нулю: x 2 + 8x + 15 = 0. Найти корни можно через дискриминант или по формулам Виета. Так можно записать, что (x+3) * (x+5) = 0, то есть икс один равняется трём, а икс два - минус пяти.

Все три корня найдены. Но тут возникает резонный вопрос, где же используется в примере схема Горнера? Так вот, всё это громоздкое вычисление можно заменить на скоростной алгоритм решения. Состоит он из простых действий. Вначале нужно начертить таблицу, содержащую несколько столбцов и строчек. Начиная со второго столбца начальной строчки, записывают коэффициенты, стоящие в уравнении исходного многочлена. В первом столбике ставят то число, на которое будет выполняться деление, то есть потенциальные члены решения (х0).

После того как в таблицу записали выбранное х0, заполнение происходит по следующему принципу:

• в первый столбец сносится просто то, что стоит в верхнем элементе второго столбика;
• для нахождения следующего числа нужно снесённое число умножить на выбранное x0 и добавить стоящее число в заполняемом столбике сверху;
• аналогичные операции проделывают до окончательного заполнения всех ячеек;
• строки в последнем столбике равные нулю и будут искомым решением.

Для рассматриваемого примера при подстановке двойки строчка будет состоять из ряда: 2, 1, 8, 15, 0. Таким образом, находятся все члены. При этом схема работает для любого порядка степенного уравнения.

Пример использования

Для того чтобы понять, как пользоваться схемой Горнера, нужно подробно рассмотреть типовой пример . Пусть требуется определить кратность корня х0 многочлена p (x) = x 5 - 5x 4 + 7x 3 - 2x 2 + 4x - 8. Часто в задачах приходится подбирать корни методом перебора, но для того чтобы сэкономить время, будем считать, что они уже известны и их нужно просто проверить. Тут следует понимать, что применяя схему, расчёт всё равно будет быстрее, чем использование других теорем или метода понижения.

Согласно алгоритму решения, в первую очередь нужно начертить таблицу. В первой строчке указывают основные коэффициенты. Для уравнения необходимо будет начертить восемь столбцов. Затем узнать, сколько раз в исследуемом многочлене поместится х0 = 2. Во второй строчке второго столбца просто сносят коэффициент. Для рассматриваемого случая он будет равняться единице. В находящейся рядом ячейке значение вычисляют как 2 *1 -5 = -3. В следующей: 2 *(-3) + 7 = 1. Таким же образом заполняют оставшиеся ячейки.

Как видно, минимум один раз двойка помещается в многочлен. Теперь нужно проверить, является ли двойка корнем низшего полученного выражения. После выполнения аналогичных действий в таблице должен получиться следующий ряд: 1, -1, -1. -2, 0. Фактически это квадратное уравнение, которое также необходимо проверить. В результате вычисленный ряд будет состоять из 1, 1, 1, 0.

В последнем выражении двойка не может быть рациональным решением. То есть в исходном многочлене цифра два используется три раза, а значит можно записать: (x - 2) 3 * (x 2 + x + 1). То, что двойка не является корнем квадратного выражения, можно понять по следующим фактам:

• свободный коэффициент не делится на два;
• все три коэффициента положительны, значит, что график неравенства будет увеличиваться начиная с двух.

Таким образом, применение системы позволяет избавиться от использования сложных числителей и делителей. Все действия сводятся к простому перемножению целых чисел и выделения нулей.

Пояснение способа

Подтверждение справедливости существования схемы Горнера объясняется рядом факторов. Представим, что есть многочлен третьей степени: x3 + 5x – 3x + 8. Из этого выражения икс можно вынести за скобку: x * (x2 + 5x – 3) + 8. Из полученной формулы можно снова вынести икс: x * (x * (x + 5) – 3) + 8 = x * (x* ((x * 1) + 5) – 3) + 8.

По сути, чтобы посчитать полученное выражение, можно подставить предполагаемое значение икс в первую внутреннюю скобку и выполнить алгебраические операции, согласно старшинству. Фактически это все те действия, которые выполняются в методе Горнера. При этом числа 8, -3, 5, 1 - это коэффициенты исходного многочлена.

Пусть имеется многочлен P (x) = an * x n + an -1 * x n-1 + 1x1 + a0 = 0. Если у этого выражения есть некий корень x = x0, то это означает, что рассматриваемое выражение можно переписать в виде: P (x) = (x-x0) * Q(x). Это следствие из теоремы Безу. Здесь важно то, что степень многочлена Q(x) будет на единицу меньше, чем имеет P(x). Следовательно, его можно расписать в меньшем виде: P (x) = (x-x0) * (bn-1 * x n-1 + bn-2 * x n-2 + b0) = 0. Две конструкции тождественно равны между собой.

А это значит, что все коэффициенты рассматриваемых многочленов равны, в частности, (x0)b) = a0. Используя это, можно утверждать, что какими бы ни были числа a0 и b0, икс всегда является делителем, то есть a0 всегда можно разделить на корни многочлена. Иными словами, найти рациональные варианты решения.

Общий случай, объясняющий метод, будет выглядеть следующим образом: an * x n + an-1 * x n-1 + … + a1x + a0 = x * (an * x n-1 + an-1 * x n-2 + … + a1) + a0 = x * (x * (... (an * x + an -1)+ an-2...an-m)+ a0). То есть схема работает вне зависимости от степени многочлена. Она универсальная. При этом подходит как для неполных уравнений, так и полных. Это инструмент, позволяющий проверить х0 на корень. Если же он не является решением, то число, оставшееся в конце, будет остатком от деления рассматриваемого многочлена.

В математике правильной записью метода будет выражение: Pn(x) = ∑i = 0naixn−i = a0xn + a1xn − 1 + a2xn − 2 +…+ an − 1x + an. В нём значение i изменяется от нуля до эн, а сам многочлен делится на бином x – a. После выполнения этого действия получается выражение, степень которого на единицу меньше от исходного. Другими словами, определяется как n – 1.

Расчёт на онлайн-калькуляторе

Использовать ресурсы, предоставляющие доступ к вычислениям корней высших степеней многочленов, довольно удобно. Чтобы воспользоваться такими сайтами, особые знания в математике или программировании иметь не нужно. Всё, что необходимо пользователю - это доступ к интернету и браузер, поддерживающий работу Java скриптов.

Существует несколько десятков таких сайтов. При этом некоторые из них могут просить за предоставленное решение денежное вознаграждение. Хотя большинство ресурсов бесплатны и не только рассчитывают корни в степенных уравнениях, но и предоставляют подробное решение с комментариями. Кроме этого, на страницах расчётчиков любой желающий сможет ознакомиться с кратким теоретическим материалом и рассмотреть решение примеров различной сложности. Так что вопросов с понятием, откуда взялся ответ, возникнуть не должно.

Из всего множества считающих онлайн–калькуляторов по схеме Горнера можно выделить следующие три:

• Kontrolnaya-rabota. Сервис ориентирован на старшеклассников, но по своим возможностям довольно функционален. С его помощью можно очень быстро проверить корни на соответствие.
• Nauchniestati. Приложение позволяет определить корни методом Горнера буквально за две-три секунды. На сайте можно найти всю необходимую теорию. Для выполнения расчёта нужно ознакомиться с правилами ввода математической формулы, указанными тут же на сайте.
• Сalc. Используя этот сайт, пользователь сможет получить подробное описание решения с изображением таблицы. Для этого в специальную форму необходимо ввести уравнение и нажать кнопку «решение».

Программы, используемые для расчётов, отличаются интуитивно понятным интерфейсом и не содержат рекламного и вредоносного кода. Выполнив несколько вычислений на этих ресурсах, пользователь вполне сможет самостоятельно научится определять корни, используя метод Горнера.

При этом онлайн-калькуляторы полезны не только учащимся, но и инженерам, проводящим сложные вычисления. Ведь самостоятельный расчёт требует внимания и сосредоточенности. Любая незначительная ошибка в итоге приведёт к неверному ответу. В то же время появление ошибки при вычислениях с помощью онлайн-расчётчиков невозможно.

Министерство образования и молодёжной политики Чувашской Республики

БОУ ДП(ПК)С «Чувашский институт образования» Минобразования Чувашии

Курсовая работа

Элективный курс « Приёмы и методы решения уравнений высших степеней»

Выполнила учитель математики

МБОУ «СОШ №49 с углубленным

изучением отдельных предметов»

г. Чебоксары

Румянцева Юлия Изосимовна

Г. Чебоксары

Тема урока: Корни многочлена. Схема Горнера

Цель урока:

научить находить значение многочлена, его корни, используя теорему Безу, схему Горнера;

формировать умения и навыки в нахождении корней многочленов;

научить обобщать и систематизировать материал;

развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;

воспитывать требовательность к себе, усердие.

План урока:

I. Организационный момент

VI. Самостоятельная работа

VIII. Задание на дом

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

1. Проверка домашнего задания.

а) Найти НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) по алгоритму Евклида (ученик готовит на доске) .

Решение :

НОД ((x 6 – 1);(x 8 – 1)) = x 2 – 1.

Ответ : x 2 – 1 .

б) Узнайте, делится ли многочлен f(x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2) (проверяется фронтально).

Решение . По теореме Безу, если f(1) = 0 , то f(x) делится на (x – 1) . Проверим это.

f(1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 > 0, f(x) не делится на (x – 1);
f(–1) = – 1 – 5 – 8 – 5 – 1 + 2 < 0, f(x) не делится на (x + 1);
f(2) = 32 – 80 + 64 – 20 + 4 = 0, f(x) делится на (x – 2).

Ответ : делится на (x – 2).

в) Многочлен P(x) при делении на (x – 1) дает остаток 3, а при делении на (x – 2) дает остаток 5. Найти остаток от деления многочлена P(x) на (x 2 – 3 x + 2).

(Решение проектируется на экран или заранее написать на доску).

Решение .

P(x) = (x – 1) Q 1 (x) + 3 (1)
P(x) = (x – 2) Q 2 (x) + 5 (2)
Из (1) и (2) следует, что P(1) = 3 , P(2) = 5 .
ПустьP(x) = (x 2 – 3 x + 2) Q (x) + a x + b или
P(x) = (x – 1) (x – 2) Q (x) + a x + b (3)

Подставив в (3) последовательно x = 1 и x = 2, получим систему уравнений, из которой a = 2, b = 1.

Ответ : 2 x + 1.

г) При каких m и n многочлен x 3 + m x + n при любых x делится на x 2 + 3 x + 10 без остатка.

Решение . При делении “уголком” получим x 3 + m x + n = (x 2 + 3 x + 10) (x – 3) + ((m – 1) x + (n + 30)).

Т.к. деление выполняется без остатка, то (m – 1) x + (n + 30) = 0, а это возможно (при любом x) только в случае, когда m = 1, n = –30.

Ответ : m = 1, n = –30.

2. Теоретический опрос

а) Как читается теорема

б) Привести пример, где используется теорема Безу?

в) Из правила перемножения двух многочленов как найти старший коэффициент произведения?

г) Имеет ли степень нулевой многочлен?

III. Подготовка к изучению нового материала

В многочлен, как и в любое буквенное выражение, можно вместо переменной подставлять числа, и в результате он превращается в числовое выражение, то есть, в конечном счете, в число. Сделаем два важных для решения задач замечания:

Значение f(0) равно свободному члену многочлена.

Значение f(1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Нахождение значений многочлена не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемый схемой Горнера – по имени английского математика XVI века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена f(x) = 2 x 4 – 9 x 3 – 32 x 2 – 57 при x = 7 (то есть узнать делится ли он на (x – 7) по теореме Безу), надо подставить вместо x число 7 . Если f(7) = 0, то f(x) делится без остатка. Если f(7) не равно 0, то f(x) делится на (x – 7) с остатком. Чтобы облегчить нахождение значения f(7) применим схему Горнера. Заполним таблицу из двух строк по следующему алгоритму:

1. Строка коэффициентов записывается первой.
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае число 7), при котором вычисляем значение многочлена.

Получается таблица, пустые клетки которой надо заполнить.

Таблица 1

Таблица 2

Замечание: программа для вычисления значений многочлена в ЭВМ составляется по схеме Горнера.

IV. Закрепление изученного материала

Рассмотрим решение домашнего задания № 1 (б) по схеме Горнера. Итак, применяя схему Горнера, узнайте, делится многочлен (x) = x 5 – 5 x 4 + 8 x 3 – 5 x 2 + x + 2 на (x – 1), (x + 1), (x – 2). Если требуется проверить несколько значений, то для экономии выкладок строят одну объединенную схему.

Таблица 3

V. Нахождение корней многочлена

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого на единицу меньше. Иногда этим приемом – он называется “понижением степени” – можно найти все корни многочлена.

В частности, подобрав один корень кубического уравнения, тем самым понизив степень, можно его полностью решить, решив полученное квадратное уравнение.

При решении таких задач большую пользу приносит та же схема Горнера. Однако, на самом деле схема Горнера дает гораздо больше: числа, стоящие во второй строке (не считая последнего) – это коэффициенты частного отделения на (x – a).

В таблице 3:

Решение . Делители свободного члена: – 1, 1, – 3, 3 могут быть корнями многочлена. При x = 1 очевидно сумма коэффициентов равна нулю. Значит, x 1 = 1 – корень. Проверим по схеме Горнера на корень число – 1 и другие делители свободного члена.

Таблица 4

Замечание . При нахождении корней многочлена не следует проводить лишних точных вычислений в тех случаях, когда очевидные грубые оценки приводят к нужному результату.
Например, схема Горнера для проверки значений 31 и – 31 как “кандидатов в корни” многочлена x 5 – 41 x 4 + 32 x 2 – 4 x + 31 может выглядеть следующим образом:

Таблица 5

Пример 2. Найти корни многочлена f (x) = x 4 + 2 x 3 – 6 x 2 – 22 x + 55.

Решение . Делители 55: – 1, 1, – 5, 5, – 11, 11, – 55, 55. Заметим, что – 1 и 1 не являются корнями многочлена. Следует проверить остальные делители.

Замечание . Очень важно учащимся овладеть “длинной” схемой Горнера. В данном примере как раз удобна “длинная” схема.

Таблица 6

Ответ: корней нет.

VI. Самостоятельная работа

На доске три человека решают для последующей проверки.

Найти корни многочлена по схеме Горнера:

а) f (x) = x 3 + 2 x 2 – 5 x – 6;

Ответ: – 1; 2; – 3.

б) f (x) = x 5 – 5 x 4 + 6 x 3 – x 2 + 5 x – 6;

Ответ: 1; 2; 3.

в) f (x) = x 4 + 12 x 3 + 32 x 2 – 8 x – 4.

Ответ:

(Проверка осуществляется в парах, выставляются оценки).

VII. Исследовательская работа учащихся

– Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разбирали на уроках?

(Ответы учащихся).

– Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.

– В каких числах получались ответы?

(Ответы учащихся).

– Правильно, корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1 либо целое, либо иррациональное, либо целые и иррациональные, либо не имеют корней. Запишите вывод в своих тетрадях.

VIII. Задание на дом

1. № 129 (1, 3, 5, 6) – Н. Я. Виленкин – 10, стр. 78.
2. Выучить теорию данного урока.

IX. Подведение итогов урока и выставление отметок

Литература

М.Л. Галицкий. Углубленное изучение алгебры и математического анализа. // Просвещение, 1997 г.

Г.В. Дорофеев. Многочлены с одной переменной. // Санкт-Петербург. Специальная литература, 1997 г.

Н.Я. Виленкин. Алгебра и математический анализ. 10 класс // Просвещени е

Пояснительная записка.

Курс разработан для учащихся 10 класса физико-математического профиля, имеющих хороший уровень математической подготовки, и призван помочь им подготовиться к разным конкурсам и олимпиадам по математике, способствовать продолжению серьёзного математического образования. Он расширяет базовый курс по математике, является предметно-ориентированным и даёт учащимся возможность познакомиться с интересными, нестандартными вопросами математики, и методами решения уравнений высших степеней. В курсе заложена возможность дифференцированного обучения.

Ориентируя школьников на поиски красивых, изящных решений решения уравнений высших степеней, учитель тем самым способствует эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Курс является продолжением учебника, где предусматривается обучение школьников способам самостоятельной работы, приёмам решения уравнений высших степеней. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению уравнений высших степеней, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнениями и делать соответствующие выводы. Необходимо через уравнения высших степеней прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления.

Цели и задачи курса.

Развитие интереса к математике, эвристического мышления.

Способствовать продолжению серьёзного математического образования.

Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

Способствовать формированию научного стиля мышления.

Подготовиться к ЕГЭ.

Данный элективный курс рассчитан 34 тематических занятий.

Учащимся сообщается цель и назначение элективного курса. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части – лекции, консультации практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить терему Виета для урвнений любой степени. Умение выполнять действия делений многочленов облегчит в дальнейшем решение задач из математического анализа.

Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена даёт общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит знаительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.

Литература

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов.

2 Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И Задачи по математике. Алгебра.

3 Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Нестандартные методы решения уравнений и неревенств.

4 ..Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., ПасиченкоП.И. Уравнения и неравенства.

5. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике.

Цели и задачи курса 1

Литература 4

Приложение 6

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2 . Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x 3 - 19x 2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x 2 - 11x - 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x 2 - 11x - 3 = 0
D = b 2 - 4ac = (-11) 2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

Мы нашли все корни уравнения.

И т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы.

Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным.

Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения .

Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака:

и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ) :

Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение :

Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению.

Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби:
И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре .

Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»:

И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =)

А теперь немного о

графическом методе решения

Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции с графиком линейной функции (осью абсцисс) :

Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций :

При этом, пожалуйста, не путайте два понятия : уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение , алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул . И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора , то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины!

А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму :

, значит, уравнение имеет два различных действительных корня:

Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению:

Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу , выяснив тем самым, где она пересекает ось (если пересекает вообще) . Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде , начертим графики более простых функций – и «иксовые» координаты их точек пересечения, как на ладони!


Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет.

Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций , но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику.

И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , – это функции, которые лишь помогли решить уравнение!

И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся .

Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки:
и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два») :

НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: .

Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию!

Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций :


после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения:

Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись:
, где ( – множество целых чисел ) .

И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс) :

или, если короче:

А вот множество решений неравенства – пусто , поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой .

Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций !

Разминаемся:

Задание 1

Решить графически следующие тригонометрические уравнения:

Ответы в конце урока

Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход.

Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и . С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =)

Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение:

Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке) .

Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных . Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще . И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
Схема Горнера

А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами .

Они самые. Многочлены.

Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами . Натуральное число называют степенью многочлена , число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом) , а коэффициент – свободным членом .

Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через .

Корнями многочлена называют корни уравнения

Обожаю железную логику =)

За примерами сходим в самое начало статьи:

С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока.

Сначала буквально пол экрана теории:

1) Согласно следствию основной теоремы алгебры , многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными . При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук) .

Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ) .

Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел . Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни.

2) Из теоремы Безу следует, что если число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен можно разложить на множители:
, где – многочлен степени .

И опять же, наш старый пример: поскольку – корень уравнения , то . После чего нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение .

Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени , то можем представить его в виде и из квадратного уравнения легко узнать остальные корни. Если нам известен корень уравнения 4-й степени , то есть возможность разложить левую часть в произведение и т.д.

И вопроса здесь два:

Вопрос первый . Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные , в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =)

Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность:

Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим :

Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем :

Получено верное равенство! То есть, значение является корнем данного уравнения.

Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано) , но сейчас нас интересует несколько другая задача.

Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде и возникает Второй вопрос : как отыскать «младшего собрата» ?

Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы , и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера .

Сначала запишем «старший» многочлен со всеми , в том числе нулевыми коэффициентами :
, после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы:

Слева записываем корень :

Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события.

Сносим сверху старший коэффициент:

Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки:

Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения:

И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом:

Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть) , при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы:

Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни) .

Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» и увидеть, что график пересекает ось абсцисс () в точке . Или тот же «хитрый» приём – переписываем уравнение в виде , чертим элементарные графики и детектируем «иксовую» координату их точки пересечения.

Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени.

И тут ещё хочется остановиться на важном моменте , который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же ! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность.

Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка (остаток):

«Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка) , и понеслось:

Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
, ОК.

Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так:
, а ещё приятнее – вот так:

Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей:

Задание 2

Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения и разложить соответствующий многочлен на множители

Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена

Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока.

Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматривать-то смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку.

К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни:

Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь , где . Если число является корнем уравнения , то свободный член делится на , а старший коэффициент – на .

В частности , если старший коэффициент , то этот рациональный корень – целый:

И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности:

Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1 , другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ.

В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4.

Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки.

Переходим к более содержательным примерам:

Задача 3

Решение : поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел:
– итого 16 «кандидатов».

И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака:

1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны или все неположительны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай(Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения .

2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Или «зеркально»: коэффициенты при нечётных степенях неположительны, и при всёх чётных – положительны.

Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают

Таким образом, для исследования осталось 8 чисел:

Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления:

Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и

Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Во-первых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения (единица отсеялась по схеме Горнера) .

Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки» . Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: – это уравнение имеет 10 одинаковых корней. Но не отвлекаемся:

И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом.

Ответ : рациональные корни: 2, 4, 5

В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ).

Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»:

Задача 4

Найти рациональные корни уравнения

Решение : по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней должны удовлетворять условию (читаем «двенадцать делится на эль») , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два списка:

«список эль»:
и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные) .

Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу:

Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»:

Аналогично – делим тот же «список эль» на :

и, наконец, на

Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована:


К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами.

Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =)

Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно:

Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет.

Теорема 2 Если при некотором целом значении значение многочлена отлично от нуля: , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию

В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1) . Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок:

Проверим «кандидата» . Для этого искусственно представим его в виде дроби , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: . Четыре делится на «минус два»: , а значит, возможный корень прошёл испытание.

Проверим значение . Здесь и проверочная разность составляет: . Разумеется, , и поэтому второй «испытуемый» тоже остаётся в списке.

Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

Из делимого вычесть полученное произведение.

К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

Записываем делимое и делитель

Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

Разложить знаменатель на множители.

Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.