Множество действительных чисел как метрическое пространство. Расстояние (метрика)

Произвольное множество и

2. Множество действительных чисел с расстоянием образует метрическое пространство .

3. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с называется – мерным арифметическим евклидовым пространством .

Доказательство.

Для того, чтобы доказать, что пространство является метрическим, необходимо проверить выполнимость аксиом.

Пусть , , .

, , …, , т. е. .

А3. Проверим, выполняется ли в аксиома треугольника. Запишем аксиому в виде:

Полагая , , получим и .

Для доказательства этого неравенства используется неравенство Коши–Буняковского .

Действительно,

Следовательно, аксиома треугольника выполнена, и рассматриваемое множество с заданной метрикой является метрическим пространством.

Что и требовалось доказать.

4. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с . Это метрическое пространство обозначается .

5. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с . Это метрическое пространство обозначается .

Примеры 3, 4 и 5 показывают, что один и тот же запас точек может быть по-разному метризован.

6. Множество всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте с расстоянием . Обозначают это метрическое пространство как и само множество точек пространства: . В частности, вместо пишут .

7. Через обозначается метрическое пространство, точками которого служат всевозможные последовательности действительных чисел, удовлетворяющие условию , и метрика определяется формулой .

Доказательство.

Так как , то имеет смысл при всех . Т.е. ряд сходится, если и .

Покажем, что удовлетворяет аксиомам.

Аксиомы 1, 2 очевидны. Аксиома треугольника примет вид:

Все ряды являются сходящимися.

Неравенство справедливо для любого (см. пример 3). При получаем неравенство для .

Что и требовалось доказать.

8. Рассмотрим совокупность всех функций, непрерывных на отрезке и . Такое метрическое пространство обозначается и называется пространством непрерывных функций с квадратичной метрикой.

9. Рассмотрим множество всех ограниченных последовательностей действительных чисел. Определим . Это метрическое пространство обозначается .

10. Множество упорядоченных групп из действительных чисел с расстоянием , где – любое фиксированное число , представляет собой метрическое пространство, обозначаемое .

Рассмотренная в этом примере метрика превращается в евклидову метрику при (см. пример 3) и в метрику примера 4 при . Можно показать, что метрика (см. пример 5) является предельным случаем .

11. Рассмотрим всевозможные последовательности действительных чисел, удовлетворяющие условию , где – некоторое фиксированное число, а расстояние определяется формулой . Имеем метрическое пространство .

12. Пусть – множество всех бесконечных последовательностей –комплексных чисел . Определим . Имеем метрическое пространство.

Определение: Пусть – метрическое пространство и – любое подмножество . Тогда с той же функцией , которая теперь определена для , представляет собой метрическое пространство, которое называется подпространством пространства .

Основные понятия

Обозначим метрическое пространство через .

Определение: Последовательность , принадлежащая метрическому пространству, называется фундаментальной , если каждому соответствует номер такой, что для любых справедливо неравенство .

Определение: Последовательность , принадлежащая метрическому пространству , называется сходящейся , если существует такой, что каждому соответствует номер такой, что для всех справедливо неравенство . Тогда называется пределом последовательности.

Теорема: Если последовательность имеет предел, то он единственный.

Доказательство.

Действительно, если и , то . Так как и , то , т.е. .

Теорема доказана.

Определение: Полным метрическим пространством называется метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится.

Теорема: Метрика как функция двух аргументов является непрерывной функцией, т.е. если и , то .

Доказательство:

Пусть , , , .

По неравенству треугольника:

Из (1) получаем:

Из (2) получаем:

Так как ,

Обозначим .

В метрическом пространстве можно рассматривать различные множества, окрестности точек, предельные точки и другие понятия классического анализа.

Определение: Под окрестностью точки понимают множество, содержащие открытый шар радиуса с центром в точке , т.е.

Определение: Точка называется предельной точкой для множества , если в любой окрестности точки содержится хотя бы одна точка из , отличная от .

Определение: Точка называется внутренней точкой множества , если она входит в вместе с некоторой своей окрестностью .

Определение: Множество называется открытым , если оно состоит из одних внутренних точек. Множество называется замкнутым в себе, если оно содержит все свои предельные точки.

Метрическое пространство является замкнутым.

Подпространства могут быть и не замкнутыми подмножествами .

Если к присоединить все его предельные точки, то получаем замыкание .

Определение: Множество , лежащее в метрическом пространстве называется замкнутым , если оно совпадает со своим замыканием: .

Замкнутое множество, есть наименьшее замкнутое множество, содержащие .

Определение: Пусть . Множество называется плотным в , если . Множество называется всюду плотным , если . Множество называется нигде не плотным в , если каков бы ни был шар , найдется другой шар , свободный от точек множества .

Определение: Пространство называется сепарабельным, если в нем существует всюду плотное счетное множество.

В математическом анализе важную роль играет свойство полноты числовой прямой, то есть тот факт, что всякая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится к некоторому пределу (Критерий сходимости Коши).

Числовая прямая служит примером полным метрических пространств.

Пространства изолированных точек, , , , , , являются полными метрическими пространствами .

Пространство не полно .

В анализе широко используется так называемая лемма о вложенных отрезках :

Пусть - система вложенных отрезков. Тогда для отрезка имеем .

Это значит, что все отрезки из множества имеют общую точку .

В теории метрических пространств аналогичную роль играет теорема о вложенных шарах.

Теорема: Для того, чтобы метрическое пространство было полным необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга шаров, радиусы которых , имела непустое пересечение.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть - полное метрическое пространство и пусть - последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров.

Пусть - радиус, а - центр шара .

Последовательность центров - фундаментальна, так как при , а при . Так как - полно, то . Положим , тогда . Действительно, шар содержит все точки последовательности , за исключением, быть может точек . Таким образом точка является точкой прикосновения (предельной точкой) для каждого шара . Но так как - замкнутое множество, то .

Достаточность:

Пусть - фундаментальная последовательность. Докажем, что она имеет предел. В силу фундаментальности можем выбрать такую точку последовательности, что при всех . Примем точку за центр замкнутого шара радиуса .Обозначим этот шар . , вложенных друг в друга, причем шар - некоторый замкнутый шар радиуса содержит некоторую точку пополнением

Что такое метрика? Для чего служит? Является ли физическим полем?

Метрика в наше время прочно связана с теорией гравитации, благодаря трудам Гильберта и Эйнштейна совместно с Гроссманом . Однако в математике она была введена задолго до этого. Если не ошибаюсь, среди первых кто так или иначе её использовал в явном виде, были Риман и Гаусс . Сначала мы попробуем понять её роль в геометрии и уже потом посмотрим, каким образом метрика стала главной структурой ОТО, Общей Теории Относительности.

На сегодняшний день имеется достаточно развернутое и ясное определение метрических пространств довольно общего вида:

Метрическим пространством (“снабжёным метрикой”) в математике называют такое пространство, в котором для любых двух его упорядоченных точек (то есть одна из них названа первой, а другая – второй) определено действительное число такое, что оно равно нулю, тогда и только тогда, когда точки совпадают, и выполняется неравенство “треугольника” – для всяких трёх точек (x,y,z) это число для любой пары (x,y) равно или меньше суммы этих чисел для двух остальных пар, (x,z) и (y,z). Из определения следует также, что число это неотрицательно и не изменяется (метрика симметрична) при изменении порядка точек в паре .

Как водится, как только определили что-то, так это определение расширяют и название распространяют и на другие, похожие пространства. Так и здесь. Например, строго формально не будут метрическими согласно данному выше определению, т.к. в них “метрическое” число, интервал, может быть нулём и для двух разных точек, а также его квадрат может быть отрицательным действительным числом . Однако их практически с самого начала включают в семейство метрических пространств, просто снимая соответствующее требование в определении, расширяя определение.

Кроме того, метрику можно определять также не для всех точек пространства, а только для бесконечно близких (локально). Такие пространства называют Римановыми и в обиходе тоже называют метрическими. Более того, именно Римановы пространства и сделали метрику такой известной и привлекающей внимание как математиков, так и физиков, и знакомой даже многим людям, мало связанным с этими науками .

В конечном итоге, мы здесь будем обсуждать метрику применительно именно к Римановым пространствам, т.е. в локальном смысле. И даже локально знако неопределённую.

Формальное математическое определение и его расширения – это итог осмысления и уточнения понятия о метрике. Посмотрим, из чего это понятие выросло, с какими свойствами реального мира оно первоначально было связано.

Вся геометрия возникла из тех понятий, которые были первоначально формализованы Евклидом . Так же и метрика. В евклидовой геометрии (для простоты и наглядности мы будем говорить о двумерной геометрии, а значит о геометрии плоскости) имеется понятие о расстоянии между двумя точками. Очень часто и теперь метрику называют именно расстоянием. Потому что для евклидовой плоскости расстояние является метрикой, а метрика – расстоянием. И именно так она была осмыслена в самом начале. Хотя, как я постараюсь показать, к современному понятию метрики это относится только в очень ограниченном, со многими оговорками и условиями, смысле.

Расстояние на евклидовой плоскости (на листе бумаги) кажется чрезвычайно простой и очевидной вещью. Действительно, с помощью линейки можно провести прямую линию между любыми двумя точками и измерить её длину. Полученное число будет расстоянием. Взяв третью точку, можно нарисовать треугольник и убедиться, что расстояние это (для любых двух точек на плоскости) в точности удовлетворяет приведённому выше определению. Собственно, определение и было срисовано один к одному со свойств евклидова расстояния на плоскости. И слово “метрика” изначально связано с измерением (с помощью метра), “метризацией” плоскости.

А для чего потребовалось измерять расстояния, проводить эту самую метризацию плоскости? Ну, для чего меряют расстояния в реальной жизни всякий, наверное, имеет своё представление. А в геометрии по-настоящему об этом задумались, когда ввели координаты для того, чтобы описывать каждую точку плоскости отдельно и уникально от других. Система координат на плоскости явно будет посложнее чем просто расстояние между двумя точками. Тут и начало отсчёта, и оси координат, и расстояния (как без них обойтись?) от начала отсчета до проекций точки на оси. Для чего нужна система координат вроде бы ясно – это сплошная сетка перпендикулярных друг другу линий (если координаты декартовы), полностью заполняющая плоскость и таким образом решающая проблему адреса любой точки на ней.

Получается, метрика – расстояние и координаты – расстояния. Есть ли разница? Ввели координаты. Зачем тогда метрика? Разница есть, и очень существенная. Выбор систем координат подразумевает определённую свободу. В декартовых системах мы используем как оси прямые линии. Но ведь можем использовать и кривые? Можем. И всякие извилистые тоже. Мы можем измерять расстояние вдоль таких линий? Конечно. Измерение расстояния, длины вдоль линии не связано с тем, какая это линия . У кривой дорожки тоже есть длина и на ней можно расставить верстовые столбики. А вот метрика в евклидовом пространстве не является произвольным расстоянием. Это длина прямой, соединяющей две точки. Прямой. А что это такое? Какая линия прямая, а какая кривая? В школьном курсе прямые – это аксиома. Мы их видим и улавливаем идею. Но в общей геометрии прямые (само по себе это ведь название, ярлык, не более!) можно определить как некоторые особенные линии среди всех возможных, соединяющих две точки. А именно, как кратчайшие, имеющие наименьшую длину. (А в некоторых случаях, для некоторых математических пространств, наоборот, длиннейшие, имеющие наибольшую длину.) Казалось бы, мы уловили отличие метрики от произвольного расстояния между двумя точками. Не тут-то было. Мы пошли по неверной дорожке. Да, всё верно, прямые – кратчайшие в евклидовом пространстве. Но метрика – это не просто длина кратчайшей. Нет. Это её вторичное свойство. В евклидовом пространстве метрика не только расстояние между двумя точками. Метрика – это, в первую очередь, образ теоремы Пифагора. Теоремы, которая позволяет вычислить расстояние между двумя точками при знании их координат, двух других расстояний. Причем вычисляется оно весьма специфически, как корень квадратный из суммы квадратов координатных расстояний. Евклидова метрика является не линейной формой координатных расстояний, а квадратичной! Только специфические свойства евклидовой плоскости делают связь метрики с кратчайшими путями, соединяющими точки, такой простой. Расстояния всегда являются линейными функциями смещения по пути . Метрика же квадратичная функция этих смещений. И здесь лежит фундаментальное отличие метрики от интуитивно понимаемого расстояния, как линейной функции смещения из точки. Более того, для нас вообще расстояние напрямую ассоциируется именно с самим смещением.

Почему же, с какой стати квадратичная функция смещений так важна? И в самом ли деле она имеет право называться расстоянием в полном смысле этого слова? Или это достаточно специфическое свойства только Евклидова пространства (ну, или некоторого семейства близких к Евклидову пространств) ?

Сделаем небольшой шаг в сторону и поговорим подробнее о свойствах единиц измерения. Зададимся вопросом, каковы должны быть линейки, чтобы можно было нанести координатную сетку на листе бумаги? Твёрдые, жесткие и неизменные, скажете вы. И почему “линейки”? Одной вполне достаточно! Верно, если её можно поворачивать как угодно в плоскости бумаги и переносить вдоль неё. Заметили “если”? Да, у нас есть возможность пользоваться такой линейкой применительно к плоскости. Линейка сама по себе, плоскость сама по себе, но плоскость позволяет “приложить” к себе нашу линейку. А применительно к сферической поверхности? Как не прикладывай – всё торчит вне поверхности. Так и хочется её загнуть, отказаться от твёрдости и жёсткости. Оставим пока это направление мысли. Что ещё мы хотим от линейки? Твёрдость и жёсткость на самом деле подразумевают нечто иное, гораздо более важное для нас при измерениях – гарантию неизменности выбранной линейки. Мы хотим измерять одним и тем же масштабом. Зачем это нужно? Как зачем?! Чтобы иметь возможность сравнивать результаты измерения всюду в плоскости. Как бы мы не поворачивали линейку, как бы её не смещали – некоторое её свойство, длина, должно быть гарантированно неизменным. Длина – это расстояние между двумя точками (по прямой) на линейке. Очень похоже на метрику. Но метрика вводится (или существует) в плоскости, для точек плоскости, причём тут линейка? А при том, что метрика и является как раз доведённым до логического завершения образом неизменной длины абстрактной линейки, оторванным от самой внешней линейки и приписанным каждой точке плоскости .

Хотя наши линейки всегда являются внешними предметами для измеряемых ими расстояний на плоскости, но мыслим-то мы их также и как внутренние, принадлежащие плоскости масштабы. Следовательно, речь идёт об общем свойстве, как внешней линейки, так и внутренней. И свойство это одно из двух главных -величина, то, что и делает масштаб единицей измерения (второе свойство масштаба – это направление). Для евклидова пространства это свойство представляется независимым от направления линейки и её положения (от точки пространства). Есть два способа выражать такую независимость. Первый способ, пассивный взгляд на вещи, говорит об инвариантности величины, ее одинаковости при произвольном выборе допустимых координат. Второй способ, активный взгляд, говорит об инвариантности при смещении и повороте, в результате явного перехода от точки к точке. Эти способы не эквивалентны друг другу. Первый просто является формализацией утверждения, что величина, существующая в данном месте (точке) одна и та же независимо от точки зрения. Второй же утверждает также, что значения величины в разных точках одинаковы. Ясно, что это гораздо более сильное утверждение.

Остановимся пока на инвариантности величины масштаба при произвольном выборе координат. Оп-па! Как это? Чтобы приписать координаты точкам уже нужно иметь масштабы. Т.е. эту самую линейку. Другие координаты – это что? Другие линейки? На самом деле именно так! Но! То, что мы в евклидовой плоскости можем поворачивать нашу линейку в точке как нам хочется, создаёт видимость, что координаты можно изменять, не изменяя линейку. Это иллюзия , но такая приятная иллюзия! Как мы привыкли к ней! Все время говорим – повёрнутая система координат. И базируется эта иллюзия на некотором постулированном свойстве масштаба в евклидовой плоскости – инвариантности его “длины” при произвольном повороте в точке, т.е. при произвольном изменении второго свойства масштаба, направления. И это свойство имеет место в любой точке евклидовой плоскости. Масштаб всюду имеет “длину”, не зависящую от локального выбора направлений осей координат. Это постулат для евклидова пространства. И как же эту длину мы определяем? В системе координат, в которой выбранный масштаб является единицей измерения по одной из осей, определяем очень просто – это и есть та самая единица. А в системе координат (прямоугольной), в которой выбранный масштаб не совпадает ни с одной из осей? С помощью теоремы Пифагора. Теоремы-то теоремы, да здесь немного обмана есть. На самом деле, теорема эта должна бы заменить некоторые аксиомы, сформулированные Евклидом. Она им эквивалентна. И при дальнейшем обобщении геометрии (для произвольных поверхностей, например) опираются именно на способ вычисления длины масштаба. По сути дела, переводят этот способ в разряд аксиом.

Повторим теперь кое-что, что лежит в основе геометрии, что позволяет приписывать точкам плоскости координаты.

Речь идёт о единице измерения, масштабе. Масштаб существует в любой точке. Имеет величину – “длину” и направление. Длина является инвариантом (не меняется) при изменении направления в точке. В прямоугольных координатах в евклидовом пространстве квадрат длины масштаба, направленного из точки произвольно, равен сумме квадратов его проекций на оси. Такая геометрическая величина еще называется вектором. Значит масштаб это вектор. А “длина” вектора еще называется нормой. Хорошо. Но где же тут метрика? А метрика при таком подходе и есть способ приписать любому вектору в каждой точке норму , способ вычисления этой нормы при произвольном положении этого вектора относительно векторов, составляющих базу, репер (тех, которые определяют направления осей координат из данной точки и имеют единичную норму по определению, т.е. единиц измерения). Очень важно то, что такой способ определён для каждой точки пространства (плоскости в данном случае). Таким образом, он является свойством этого пространства и его внутренних векторов, а не внешних к пространству объектов.

Позвольте, но ведь уже в самом начале мы дали определение метрических пространств. Зачем новое определение? И согласуется ли оно со старым? А вот зачем. Здесь мы указали как именно задается, определяется это самое действительное число. А именно, расстояние между точками равно “длине”, норме вектора, соединяющего эти точки (в евклидовом пространстве). То, что вектор имеет некоторую норму, независимую от точки зрения на него (выбор репера) является определением вектора. Важнейшим условием, которое и делает при этом пространство метрическим, является требование, чтобы векторы с заданной нормой существовали в каждой точке пространства во всех направлениях. И это определение вполне согласуется с приведённым в самом начале. Можно ли иначе определить метрику на некотором пространстве? В принципе, можно. И даже многими способами. Только это будут уже вовсе иные классы пространств, не включающие в себя евклидово пространство даже как частный случай.

Чем же евклидово пространство для нас особенное? Ну, как это чем? На первый взгляд, именно такими свойствами и обладает то самое пространство, в котором мы живём. Да, при более внимательном рассмотрении, не совсем такими. Но есть ведь разница между “не совсем такими” и “совсем не такими”?! Хотя набор слов вроде тот же. Так что наше пространство-время если и не евклидово, то при определённых условиях может быть очень близким к нему. Следовательно, выбирать мы должны из той семьи пространств, в которой евклидово пространство имеется. Так мы и делаем. Но всё-таки, что такого особенного в евклидовом пространстве, что находит своё выражение в определённых свойствах его метрики? Свойств довольно много, о большинстве их уже упоминалось выше. Попробую сформулировать эту особость достаточно компактно. Евклидово пространство таково, что в нём имеется возможность выбрать масштабы (то есть ввести координаты) так, что оно оказывается полностью заполнено прямоугольной сеткой координат. Возможно это когда метрика в каждой точке пространства одна и та же. По существу, это означает, что нужные для этого масштабы существуют в каждой точке пространства и все они тождественны одному единственному. Для всего пространства достаточно одной линейки, которая может быть перенесена в любую точку (в активном смысле) без изменения и её величины, и её направления.

Выше я поставил вопрос, почему метрика является квадратичной функцией смещения. Он пока остаётся без ответа. Мы к этому обязательно ещё придём. А сейчас отметьте для себя на будущее – метрика в нужном нам семействе пространств есть величина инвариантная относительно преобразований координат . Мы говорили пока о декартовых координатах, но я здесь сразу подчеркну – это верно для любых преобразований координат, которые допустимы в данной точке данного пространства. Величина, инвариантная (не изменяющаяся) при преобразованиях координат имеет в геометрии ещё одно специальное название – скаляр . Смотрите, сколько названий для одного и того же – постоянная, инвариант, скаляр … Может и ещё какое-то есть, в голову сразу не приходит. Это говорит о важности самого понятия. Так вот, метрика это скаляр в определённом смысле. Конечно, в геометрии есть и другие скаляры.

Почему в “определённом смысле”? Потому, что, в понятие метрики входят две точки а не одна! А вектор связан (определён) только с одной точкой. Выходит я ввёл вас в заблуждение? Нет, просто сказал ещё не всё, что нужно сказать. А нужно сказать, что метрика это норма не произвольного вектора, а только вектора бесконечно малого смещения из данной точки в произвольном направлении. Когда эта норма не зависит от направления смещения из точки, тогда её скалярное значение может рассматриваться как свойство только одной этой точки. При этом, она всё равно остаётся также и правилом вычисления нормы для любого другого вектора. Вот так.

Что-то не сходится… Нормы-то у разных векторов разные! А метрика скаляр, величина одинаковая. Противоречие!

Нет противоречия. Я ведь сказал ясно – правило вычисления. Для всех векторов. А сама конкретная величина, которую тоже называют метрикой, вычисляется согласно этому правилу только для одного вектора, смещения. Язык наш привычен к вольностям, умолчаниям, сокращениям… Вот и привыкли мы называть метрикой и скаляр и правило его вычисления. В самом деле, это ведь почти одно и то же. Почти, но не совсем. Важно всё-таки видеть разницу между правилом и результатом, с его помощью полученным. А что важнее – правило или результат? Как ни странно, в данном случае, правило… Поэтому гораздо чаще в геометрии и физике, когда говорят о метрике, имеют ввиду именно правило. Только очень уж упёртые математики предпочитают говорить строго о результате. И этому есть причины, но о них в другом месте.

Хочу также отметить, что при более обычном способе изложения, когда за основу берутся понятия векторных пространств, метрика вводится как скалярное попарное произведение всех векторов базиса, репера. В этом случае скалярное произведение векторов должно быть определено заранее. А на пути, которому следовал здесь я, именно наличие метрического тензора в пространстве позволяет ввести, определить скалярное произведение векторов. Здесь метрика первична, её наличие позволяет ввести скалярное произведение, как некий инвариант, связывающий два разных вектора. Если с помощью метрики вычисляется скаляр для одного и того же вектора, то это просто его норма. Если этот скаляр вычисляется для двух разных векторов, то это их скалярное произведение. Если это ещё и норма бесконечно малого вектора, то её-то вполне допустимо называть просто метрикой в данной точке.

И что же мы можем сказать о метрике как о правиле? Здесь нам придётся использовать формулы. Пусть координаты вдоль оси с номером i у нас обозначаются как x i . А смещение из данной точки в соседнюю dx i . Обращаю ваше внимание – координаты не вектор! А смещение как раз вектор! В таких обозначениях метрическое “расстояние” между данной точкой и соседней, согласно теореме Пифагора будет вычисляться с помощью формулы

ds 2 = g ik dx i dx k

Слева здесь стоит квадрат метрического “расстояния” между точками, “координатное” (то есть по каждой отдельной координатной линии) расстояние между которыми задано вектором смещения dx i . Справа сумма по совпадающим индексам всех попарных произведений компонент вектора смещений с соответствующими коэффициентами. А их таблица, матрица коэффициентов g ik , которая и задаёт правило вычисления метрической нормы, называется метрическим тензором. И именно этот тензор в большинстве случаев и называют метрикой. Термин “” здесь чрезвычайно важен. И означает он, что в другой системе координат формула, записанная выше будет той же самой, только таблица будет содержать другие (в общем случае) коэффициенты, которые вычисляются строго заданным способом через эти и коэффициенты преобразования координат. Евклидово пространство характерно тем, что в декартовых координатах вид этого тензора чрезвычайно прост и один и тот же в любых декартовых координатах. Матрица g ik содержит только единицы на диагонали (при i=k), а остальные числа нули. Если в евклидовом пространстве используются не декартовы координаты, то в них матрица уже будет выглядеть не так просто.

Итак, мы записали правило, определяющее метрическое “расстояние” между двумя точками в евклидовом пространстве. Это правило записано для двух сколь угодно близких точек. В евклидовом пространстве, т.е. в таком, в котором метрический тензор может быть диагональным с единицами на диагонали в некоторой системе координат в каждой точке, нет принципиальной разницы между конечными и бесконечно малыми векторами смещения. Но нас больше интересует случай Римановых пространств (таких как поверхность шара, например), где эта разница существенна. Так что, мы допускаем, что метрический тензор в общем случае не диагональный и меняется при переходе от точки к точке в пространстве. Но результат его применения, ds 2 , остаётся при этом в каждой точке независимым от выбора направления смещения и от самой точки. Это очень жёсткое условие (менее жёсткое, чем условие евклидовости) и именно при его выполнении пространство и называют Римановым.

Вы наверное обратили внимание, что очень часто я беру в кавычки слова “длина” и расстояние”. Делаю я это вот почему. В случае плоскости и трехмерного евклидова пространства, метрическое “расстояние” и “длина” кажутся в точности совпадающими с обычными расстояниями, измеряемыми линейками. Более того, эти понятия и были введены для формализации работы с результатами измерений. Почему же тогда “кажутся совпадающими”? Забавно, но это именно тот случай, когда математики вместе с грязной (не нужной им) водой выплеснули из ванны и ребёнка. Нет, они кое-что и оставили, но то, что осталось перестало быть ребёнком (расстоянием). Это легко увидеть даже на примере евклидовой плоскости.

Напомню – метрическое “расстояние” не зависит от выбора декартовых (и не только) координат, скажем, на листе бумаги. Пусть в одних координатах, это расстояние между двумя точками на оси координат равно 10. Можно ли указать другие координаты, в которых расстояние между этими же самыми точками будет равно 1? Никаких проблем. Просто отложите в качестве единицы по тем же самым осям новую единицу, равную 10 предыдущим. Разве евклидово пространство от этого изменилось? В чём дело? А дело в том, что когда мы что-то измеряем, нам мало знать число. Нам нужно ещё знать, какие единицы были использованы для получения этого числа. Математика в привычной сегодня всем форме этим не интересуется. Она имеет дело только с числами. Выбор единиц измерения сделан до применения математики и меняться больше не должен! Но наши расстояния, длины без указания масштабов нам ничего не говорят! А математике всё равно. Когда речь идёт о метрическом “расстоянии”, её формальное применение безразлично к выбору масштаба. Хоть метры, хоть сажени. Только числа важны. Вот поэтому-то я и поставил кавычки. Знаете какой побочный эффект имеет такой подход в математике Римановых пространств? А вот какой. Рассматривать изменение масштаба от точки к точке не имеет смысла. Только изменение его направления. И это при том, что изменение масштабов с помощью координатных преобразований в такой геометрии вполне обыденная вещь. Можно ли включить в геометрию последовательное рассмотрение свойств масштабов во всей их полноте? Можно. Только для этого придётся убрать множество соглашений и приучиться называть вещи своими, правильными именами. Одним из первых шагов будет осознание того факта, что никакая метрика по существу своему расстоянием не является и быть им не может. Она, безусловно, имеет некоторый физический смысл, притом весьма важный. Но другой.

В физике внимание к роли метрики было привлечено с появлением теорий относительности – сначала специальной, потом общей, в которой метрика стала центральной структурой теории. Специальная Теории Относительности сформировалась на базе того факта, что трёхмерное расстояние не является скаляром с точки зрения совокупности инерциальных, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно физических систем отсчёта. Скаляром, инвариантом оказалась другая величина, которую назвали интервалом. Интервалом между событиями. И для вычисления его значения нужно учесть и промежуток времени между этими событиями. Более того, оказалось, что и правило вычисления метрики (а интервал сразу стал рассматриваться в качестве метрики в объединенном пространстве-времени, пространстве событий) отлично от привычного евклидова в трёхмерном пространстве. Похоже, но немного другое. Соответствующее метрическое пространство четырёх измерений, введённое Германом Минковским , стали называть . Именно работа Минковского привлекла внимание физиков, включая Эйнштейна, к важности понятия метрики как физической величины, а не только математической.

Общая Теория Относительности включила в рассмотрение ещё и ускоренные друг относительно друга физические системы отсчёта. И, таким образом, смогла дать описание гравитационных явлений на новом по отношению к теории Ньютона уровне. И смогла она этого достигнуть с помощью придания смысла физического поля именно метрике – и величине и правилу, метрическому тензору. При этом она использует как образ пространства-времени математическую конструкцию Риманова пространства. Мы не будем вдаваться слишком далеко в подробности этой теории. Помимо всего прочего, эта теория утверждает, что мир (пространство-время), в котором есть массивные тела, то есть тела притягивающиеся друг к другу, имеет метрику отличную от столь приятной нам евклидовой метрики. Все помещённые ниже утверждения эквивалентны:

Физическое утверждение. Точечные тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу.

В пространстве-времени, в котором есть массивные тела, нельзя ввести жёсткую прямоугольную сетку всюду. Нет таких измерительных приборов, которые позволяют это сделать. Всегда сколь угодно мелкие “клеточки” получающейся сетки будут кривыми четырёхугольниками.

Можно выбрать масштаб с одной и той же величиной (нормой) для всего пространства-времени. Любой такой масштаб можно переместить из его точки в любую другую точку и сравнить с уже существующим там. НО! Даже если смещение бесконечно мало, направления сравниваемых масштабов в общем случае не будут совпадать. Тем сильнее, чем ближе масштаб находится к телу, обладающему массой и чем больше эта самая масса. Только там где нет никаких масс (правда, вот вам вопрос – а что же сами масштабы?) направления будут совпадать.

В области пространства-времени, содержащей массивные тела не существует такой системы координат, в которой метрический тензор в каждой точке представлен матрицей, нулевой всюду, кроме диагонали, на которой находятся единицы.

Отличие метрики от евклидовой является проявлением наличия гравитационного поля (поля тяготения). Более того, поле метрического тензора и есть гравитационное поле.

Можно было бы привести еще немало подобных утверждений, но сейчас мне хочется обратить ваше внимание на последнее. Кривизна . Это что-то, что мы еще не обсуждали. Какое отношение она имеет к метрике? По большому счёту – никакого! является понятием более общим чем метрика. В каком смысле?

Семейство Римановых пространств, включающее и Евклидовы пространства, само входит в более общее семейство . Эти пространства, вообще говоря, не подразумевают существование такой величины, как метрика, для каждой своей пары точек. Зато необходимым их свойством является существование двух других структур, связанных друг с другом – аффинной связности и кривизны. И только при определённых условиях на кривизну (или связность), в таких пространствах существует метрика. Тогда эти пространства и называют Римановыми. В любом Римановом пространстве есть связность и кривизна. Но не наоборот.

Но нельзя также сказать, что метрика вторична по отношению к связности или кривизне. Нет. Существование метрики – это констатация определённых свойств связности, а значит и кривизны. В стандартной интерпретации ОТО метрика рассматривается как более важная, образующая форму теории, структура. А аффинная связность и кривизна оказываются при этом вторичными, производными от метрики. Эта интерпретация заложена Эйнштейном, в те времена, когда математика ещё не выработала достаточно продвинутого и последовательного понимания иерархии по степени важности структур, которые определяют свойства семейства пространств, ведущих к евклидовым. Уже после создания аппарата ОТО, в первую очередь трудами Вейля и Схоутена (не их одних, конечно), была разработана математика пространств аффинной связности. Собственно, работа эта была стимулирована появлением ОТО. Как видите, каноническая интерпретация важности структур в ОТО не совпадает с нынешним взглядом математики на их соотношение. Эта каноническая интерпретация представляет собой не что иное, как отождествление тех или иных математических структур с физическими полями. Придание им физического смысла.

В ОТО имеется два плана описания пространства-времени. Первый из них – само пространство-время как пространство событий. События, непрерывно заполняющие любую область пространства-времени характеризуются с помощью четырех координат. Следовательно, системы координат подразумеваются введёнными. Само название теории акцентирует внимание именно на этом – законы природы, имеющие место в таком пространстве-времени должны быть сформулированы одинаково относительно любой допустимой системы координат. Это требование называют принципом общей относительности. Отметим, что этот план теории ещё ничего не говорит о наличии или отсутствии метрики в пространстве-времени, но уже обеспечивает основу для существования в нём аффинной связности (вместе с кривизной и другими производными математическими структурами). Естественно, уже на этом уровне появляется необходимость придания физического смысла математическим объектам теории. Вот он. Точка пространства времени изображает событие, с одной стороны характеризуемое положением и моментом времени, с другой – четырьмя координатами. Что-то странное? Разве это не одно и то же? А вот нет. В ОТО это не одно и то же. Координаты самого общего вида, допустимые в теории не могут быть интерпретированы как положения и моменты времени. Такая возможность постулируется только для очень ограниченной группы координат – локально инерциальных, которые существуют только в окрестности каждой точки, но не во всей области, накрытой общей системой координат. Это ещё один постулат теории . Вот такой вот гибрид. Отмечу, что именно здесь рождаются многие проблемы ОТО, но разрешением их заниматься сейчас не буду.

Вторым планом теории можно считать ту часть её постулатов, которая вводит в рассмотрение на пространстве-времени физическое явление – гравитацию, взаимное притяжение массивных тел. Утверждается, что это физическое явление может быть при определённых условиях уничтожено простым выбором подходящей системы отсчёта, а именно, локально инерциальной. Для всех тел, имеющих одинаковое ускорение (свободного падения) вследствие наличия в небольшой области гравитационного поля удалённого массивного тела, это поле не наблюдаемо в некоторой системе отсчёта. Формально, постулаты на этом кончаются, но фактически основное уравнение теории, которое и вводит в рассмотрение метрику, тоже относится к постулатам, и как математическое утверждение, и как физическое. Хотя я не собираюсь вдаваться в детали уравнения (на самом деле, системы уравнений), но всё-таки полезно иметь его перед глазами:

R ik = -с (T ik – 1/2 T g ik)

Здесь слева стоит так называемый тензор Риччи , определённая свёртка (комбинация составляющих компонент) полного тензора кривизны. С полным правом её также можно называть кривизной. Справа стоит конструкция из тензора энергии-импульса (сугубо физическая величина в ОТО, сингулярная для массивных тел и внешняя для пространства-времени, которое для энергии-импульса в этой теории является просто носителем) и метрики, которая подразумевается существующей. Причём метрика эта, как скалярная величина, производимая метрическим тензором, одинакова для всех точек области. Ещё есть размерная постоянная с, пропорциональная гравитационной постоянной. Из этого уравнения видно, что, по большому счёту, кривизна сопоставляется с энергией-импульсом и метрикой. Физический смысл метрике приписывается в ОТО уже после получения решения этих уравнений. Поскольку в этом решении коэффициенты метрики оказываются связаны линейно с потенциалом гравитационного поля (вычисляются через него) то метрическому тензору и приписывается смысл потенциалов этого поля. При таком подходе аналогичный смысл должна иметь и кривизна. А аффинная связность интерпретируется как напряжённость поля. Интерпретация эта неверна, ошибочность её связана с отмеченным выше парадоксом в интерпретации координат. Естественно, для теории это не проходит бесследно и проявляется в ряде хорошо известных проблем (нелокализуемость энергии гравитационного поля, трактовка сингулярностей), которые при придании геометрическим величинам правильного физического смысла просто не возникают. Более подробно всё это обсуждено в книге ““.

Однако и в ОТО метрика поневоле, помимо смысла навязанного ей искусственно, имеет ещё один физический смысл. Вспомним, что характеризует метрика в случае евклидова пространства? Одну очень важную для измерений в пространстве-времени вещь – возможность ввести в этом пространстве жёсткую, равномерно заполняющую всю область прямоугольную координатную сетку. Эту сетку и называют в физике инерциальной системой отсчёта. Такой системе отсчёта (системе координат) соответствует один и только один стандартный вид метрического тензора. В системах отсчёта, произвольно двигающихся относительно инерциальной, вид метрического тензора отличен от стандартного. С физической точки зрения роль “сетки отсчёта” достаточна прозрачна. Если вы имеете твердое тело отсчёта, каждая точка которого снабжена одинаковыми часами, существующее во времени, то оно как раз и реализует такую сетку. Для пустого пространства мы просто домысливаем такое тело отсчёта, снабжая его (пространство) точно такой же метрикой. В таком понимании, метрический тензор, отличный от стандартного евклидового, говорит, что система отсчёта (координат) построена с помощью не твёрдого тела, и, может быть, часы тоже идут по-разному в её точках. Что я хочу сказать этим? А то, что метрический тензор является математическим образом некоторых важнейших для нас свойств системы отсчёта . Тех свойств, которые абсолютным образом характеризуют структуру самой системы отсчёта, позволяют определить, насколько она “хорошая”, насколько отличается от идеала – инерциальной системы. Вот ОТО и использует метрический тензор именно как такой образ. Как образ распределённого в области репера измерительных приборов, возможно меняющего свою ориентацию от точки к точке, но имеющего всюду одну и ту же норму, общую для всех векторов репера . Метрика, рассматриваемая как скаляр и есть эта норма, величина масштаба. Метрика как тензор позволяет рассматривать произвольное относительное движение друг относительно друга всех масштабов, составляющих тело отсчёта. И ОТО описывает такую ситуацию, когда в пространстве-времени возможно иметь такое тело отсчёта, реальное или воображаемое.

Такой взгляд на метрику безусловно правилен. Более того, он также и продуктивен, поскольку сразу заостряет внимание на оставшихся в ОТО соглашениях. В самом деле, мы дозволили к использованию системы отсчёта, в которых масштабы в разных точках могут быть ориентированы по-разному (в четырёхмерном мире ориентация включает в себя также и движение). И всё ещё требуем, чтобы некоторая абсолютная характеристика масштаба, его норма (интервал) оставалась одной и той же. Следовательно, всё-таки утверждение ОТО, что она приняла в рассмотрение все возможные системы отсчёта чрезмерно. Не такая она общая, относительность в этой теории.

English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.

中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。

Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.

ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.

Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.

日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。

Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.

Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.

Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).

Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.

हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।

We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.

You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.

Модуль 2.

Лекция 17. Функция нескольких переменных

Раздел 17.1. n-мерное пространство

1. Многомерные пространства

2. Понятие расстояния (метрики). Метрическое пространство

3. Принципы кластерного анализа

Раздел 17.2 Функция нескольких переменных

1. Функция нескольких переменных

2. Частные производные

3. Двойной интеграл

4. Полярные координаты и интеграл Эйлера-Пуассона

Программные положения

В лекции рассматриваются вопросы, связанные с пространствами размерности больше двух: введение понятия расстояния, использования расстояния в кластерном анализе, функция нескольких (в нашем случае – двух) переменных, характеристика ее с помощью частных производных, а также вычисления площади и объема. Понятия функции двух переменных и двойного интеграла понадобятся нам при изучении случайных векторов в теории вероятностей. Завершается материал лекции вычислением интеграла Эйлера-Пуассона – одного из основных в теории вероятностей (неопределенный интеграл от функции Гаусса относится к неберущимся, а в случае наличия пределов интегрирования для вычисления подобных интегралов требуется применение неочевидных методов, один из которых и приводится здесь).

Перед изучением материала лекции повторите определение функции, производной, интеграла.

Литература

Б.П.Демидович, В.А.Кудрявцев «Краткий курс высшей математики» Глава ХХ (§1, 2.3,10), Глава XXIV (§1, 2,3,4,7)

Вопросы для самоконтроля

1. Какое пространство называется n-мерным?

2. Каким условиям должно удовлетворять расстояние?

3. Какое пространство называется метрическим?

4. Для чего используется кластерный анализ?

5. Что представляет собой график функции 2 переменных? Что такое линии уровня?

6. Что такое частная производная?

7. Дайте определение двойного интеграла. Как с его помощью вычислить площадь и объем?

8. Найдите расстояние между точками А(1,2,3) и В(5,1,0) (используя разные расстояния)

9.Найти линии уровня функций

z = x + y.

10. Найти частные производные функции

11.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

12. Вычислить

Раздел 17.1. Понятие многомерного пространства

Определение 17.1.1 . n-мерного пространства.

Если на плоскости R2 фиксирована прямоугольная система координат, то между точками плоскости и всевозможными парами чисел (х, у) (х и у - координаты точек) существует взаимно однозначное соответствие. Если в пространстве задана аналогичная система координат, то между точками пространства и их координатами - всевозможными тройками (x,y,z) - также существует взаимно однозначное соответствие.

Расстояние (метрика). Метрическое пространство

Определение 17.1.2

Метрическое пространство (M ,d ) есть множество точек М, на квадрате которого (то есть для любой пары точек из М) задана функция расстояния (метрика) . Она определяется следующим образом:

Для любых точек x , y , z из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

Эти аксиомы отражают интуитивное понятие расстояния. Например, расстояние должно быть неотрицательно и расстояние от x до y такое же, как и от y до x . Неравенство треугольника означает, что пройти от x до z можно короче, или хотя бы не длиннее, чем сначала пройти x до y , а потом от y до z .

Наиболее привычным для нас является евклидово расстояние. Однако, это далеко не единственный способ его задания. Например, будет удовлетворять вышеупомянутым аксиомам такое расстояние: d(x,y) = 1 , если x ≠ y и d(x,y) = 0 , если x = y.

В зависимости от конкретных нужд или свойств пространства можно рассматривать различные метрики.

Рассмотрим несколько примеров расстояний:

Определения 17.1.3.

Евклидово расстояние. Это, по-видимому, наиболее общий тип расстояния. Оно попросту является геометрическим расстоянием в многомерном пространстве и вычисляется следующим образом:

d(x,y) = { i (x i - y i) 2 } 1/2

Заметим, что евклидово расстояние (и его квадрат) вычисляется по исходным, а не по стандартизованным данным. Это обычный способ его вычисления, который имеет определенные преимущества (например, расстояние между двумя объектами не изменяется при введении в анализ нового объекта, который может оказаться выбросом). Тем не менее, на расстояния могут сильно влиять различия между осями, по координатам которых вычисляются эти расстояния. К примеру, если одна из осей измерена в сантиметрах, а вы потом переведете ее в миллиметры (умножая значения на 10), то окончательное евклидово расстояние (или квадрат евклидова расстояния), вычисляемое по координатам, сильно изменится, и, как следствие, результаты кластерного анализа могут сильно отличаться от предыдущих.

Квадрат евклидова расстояния. Стандартное евклидово расстояние возводят в квадрат, чтобы придать большие веса более отдаленным друг от друга объектам. Это расстояние вычисляется следующим образом (к нему также относится замечание о влиянии единиц измерения из предыдущего пункта):

d(x,y) = i (x i - y i) 2

Расстояние городских кварталов (манхэттенское расстояние). Это расстояние является просто средним разностей по координатам. В большинстве случаев эта мера расстояния приводит к таким же результатам, как и для обычного расстояния Евклида. Однако отметим, что для этой меры влияние отдельных больших разностей (выбросов) уменьшается (так как они не возводятся в квадрат). Манхэттенское расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = i |x i - y i |

Расстояние Чебышева. Это расстояние может оказаться полезным, когда желают определить два объекта как "различные", если они различаются по какой-либо одной координате (каким-либо одним измерением). Расстояние Чебышева вычисляется по формуле:

d(x,y) = max |x i - y i |

(max означает максимум – наибольшее из всех значений модулей разностей)

Степенное расстояние. Иногда желают прогрессивно увеличить или уменьшить вес, относящийся к размерности, для которой соответствующие объекты сильно отличаются. Это может быть достигнуто с использованием степенного расстояния . Степенное расстояние вычисляется по формуле:

d(x,y) = ( i |x i - y i | p) 1/r

где r и p - параметры, определяемые пользователем. Несколько примеров вычислений могут показать, как "работает" эта мера. Параметр p ответственен за постепенное взвешивание разностей по отдельным координатам, параметр r ответственен за прогрессивное взвешивание больших расстояний между объектами. Если оба параметра - r и p , равны двум, то это расстояние совпадает с расстоянием Евклида.

Выбор редакции