Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория

Закон динамики вращательного движения для твердого тела имеет вид:

Аналогичное выражение можно получить, если рассматривать вращательное движение механической системы относительно неподвижной оси. В этом случае - суммарный момент импульса системы, - суммарный момент внешних сил, приложенных к системе.

Если суммарный момент всех внешних сил действующих на физический объект (систему), равен нулю, т.е. система – замкнутая, то для замкнутой системы .

Следовательно: .

Последнее выражение представляет собой закон сохранения момента импульса : момент импульса замкнутой системы сохраняется (не изменяется) с течением времени.

Это фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства – его изотропностью , т.е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Для того, чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых удерживается ось. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (илиосями свободного вращения ).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела).

Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис.3.1).

Главными осями инерции шара являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения тела.

Можно показать, что вращение вокруг главных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции оказывается устойчивым, а вращение около оси со средним моментом - неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму параллелепипеда, приведя его одновременно во вращение, то оно, падая, будет устойчиво вращаться вокруг осей 1 и 2 (рис.3.1).

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы - массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу, относительно его центра масс отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил , приложенных к оси вращающегося гироскопа (Рис. 3.2), ось отклоняется в направлении, перпендикулярном направлению действия сил. Гироскопический эффект объясняется тем, что момент сил направлен вдоль прямой О 2 О 2 . За время dt момент импульса гироскопа получит приращение , сонаправленное с вектором момента. Направление вектора совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О 3 О 3 . Движение оси момента импульса гироскопа в результате действия на него внешних сил называется прецессией.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают гироскопические силы, действующие на опоры. Гироскопы применяют в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т.д.). Другое важное применение гироскопов – поддержание заданной ориентации объекта в пространстве (гироскопические платформы).

Понятие гироскопа.

Гироскопом называется быстровращающееся вокруг своей оси симметрии тело; ось, вокруг которой происходит вращение, может изменять свое положение в пространстве. В технике гироскоп представляет собой массивный диск, который практически во всех современных приборах приводится во вращение электрическим путем, являясь ротором электродвигателя.

Одним из способов подвеса является установка гироскопа в кардановых кольцах (рис. 1). Подвешенный таким образом гироскоп получает возможность поворачиваться вокруг следующих трех взаимно перпендикулярных и пересекающихся в одной точке O осей:
- оси вращения АВ самого гироскопа, называемой главной осью или осью собственного вращения;
- оси вращения СД внутреннего кольца;
- оси вращения ЕF наружного кольца подвеса.

Три возможных вращения гироскопа в кардановом подвесе являются его степенями свободы; такой гироскоп называется гироскопом с тремя степенями свободы.

Точка О пересечения указанных осей называется точкой подвеса гироскопа. Точка подвеса является единственной неподвижной точкой, вокруг которой происходит вращательное движение гироскопа.

Гироскоп с тремя степенями свободы, у которого центр тяжести всей системы, состоящей из ротора и кардановых колец, совпадает с точкой подвеса О и к которому не прикладываются внешние вращающие силы, называется уравновешенным или свободным.

Благодаря быстрому вращению свободный гироскоп приобретает интересные свойства, широко используемые во всех гироскопических приборах.

Основные свойства свободного гироскопа следующие:
а) ось вращения гироскопа обладает устойчивостью, т. е. стремится сохранить первоначально заданное ей положение относительно мирового пространства.

Устойчивость оси тем больше, чем точнее центр тяжести системы совпадает с точкой подвеса, т. е. чем лучше отбалансирован гироскоп, чем меньше силы трения в осях карданова подвеса и чем больше вес гироскопа, его диаметр и скорость вращения. Устойчивость оси вращения дает возможность использовать свободный гироскоп в качестве прибора для обнаружения суточного вращения Земли, так как по отношению к земным предметам ось может совершать кажущееся или видимое движение;
б) под действием силы, приложенной к кардановым кольцам, ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной направлению действия силы.

Такое движение гироскопа называется прецессионным движением или прецессией. Прецессионное движение происходит в течение всего времени действия внешней силы и прекращается с прекращением ее действия.

Для определения направления прецессии пользуются, например, правилом полюсов.

Полюсом гироскопа является тот конец его главной оси, со стороны которого вращение наблюдается происходящим против часовой стрелки. Полюсом силы называется тот конец оси гироскопа, со стороны которого действие приложенной к нему внешней силы кажется происходящим против часовой стрелки. Правило полюсов формулируется следующим образом: при приложении к гироскопу момента внешней силы полюс гироскопа кратчайшим путём стремится к полюсу силы.

На рис. 2 полюс гироскопа находится в точке А, а полюс силы - в точке В. Прецессионное движение полюса гироскопа указано стрелками.

Произведение момента инерции гироскопа на угловую скорость его собственного вращения JΩ называется кинетическим моментом гироскопа. Обычно кинетический момент изображается отрезком, направленным вдоль главной оси гироскопа, со стрелкой в сторону полюса гироскопа (см. рис 2).

Угловая скорость прецессии ω может быть подсчитана по формуле:

ω = M / JΩ,
где М - момент внешней силы.

Если главную ось свободного гироскопа установить в плоскости меридиана, то с течением времени вследствие вращения Земли ось будет уходить из этой плоскости, совершая относительно последней видимое движение.

Земля в своем суточном движении вращается с запада на восток вокруг оси NS с угловой скоростью ω (рис. 3). Перенесем вектор угловой скорости ω в точку М, лежащую на земной поверхности под широтой φ, и разложим его по правилу параллелограмма на составляющие ω 1 и ω 2 .

Составляющая ω 1 =cosω, лежащая в плоскости горизонта, называется горизонтальной составляющей земного вращения и определяет скорость вращения плоскости горизонта вокруг горизонтальной оси Мх (полуденной линии). Восточной частью плоскость горизонта опускается в пространстве, а западной частью поднимается.

Составляющая ω 2 =sinω, направленная по вертикали, называется вертикальной составляющей земного вращения. Вертикальная составляющая определяет вращение плоскости меридиана вокруг оси М (вертикали места).

На экваторе ω 1 =ω, а ω 2 =0, т. е. горизонтальная составляющая достигает максимального значения, а вертикальная составляющая обращается в нуль. На полюсе, наоборот, ω 2 =ω, а ω 1 =0, т. е. вертикальная составляющая имеет максимальное значение, а горизонтальная составляющая обращается в нуль. На промежуточных широтах имеет место одновременное вращение плоскости горизонта и плоскости меридиана. Для того, чтобы превратить свободный гироскоп в гирокомпас, необходимо сообщить ему направляющий момент, который, воздействуя на гироскоп, приводил бы его главную ось в плоскость меридиана.

Направляющий момент приобретается гироскопом благодаря ограничению одной из трех степеней свободы.

Наиболее простым способом этого ограничения является смещение центра тяжести гироскопа ниже точки подвеса. Гирокомпас, у которого центр тяжести смещен относительно точки подвеса, называется маятниковым гирокомпасом.

Гироскопическая система (гироскоп и его подвес) является основным элементом гирокомпаса; система реагирует на земное вращение и называется поэтому чувствительным элементом. Точкой подвеса гироскопической системы называют ее геометрический центр.

Рассмотрим принцип действия маятникового гирокомпаса, у которого чувствительный элемент имеет один гироскоп. На рис. 4 изображен вид на Землю со стороны северного полюса (плоскость земного экватора совпадает с плоскостью чертежа).

Допустим, что гироскоп находится на экваторе, и в начальный момент (положение I) главная ось гироскопа горизонтальна и направлена в плоскости восток-запад. Центр тяжести чувствительного элемента, вес которого mg, находится в точке G и смещен вниз от точки подвеса О на величину а , называемую метацентрической высотой.

Момент силы тяжести чувствительного элемента mg относительно точки подвеса О называется маятниковым моментом.

В начальном положении маятниковый момент равен нулю, так как направление силы тяжести проходит через точку подвеса.

С течением времени Земля повернется на некоторый угол Θ, и гироскоп окажется в новом положении (положение II). При этом главная ось гироскопа, стремясь сохранить первоначально заданное ей направление, отклонится от вращающейся в пространстве плоскости горизонта OW на тот же угол Θ.

В этом положении направление силы тяжести не пройдет через точку подвеса, и к гироскопу окажется приложенным некоторый маятниковый момент. Величина этого момента равна mga sin Θ; с увеличением угла Θ она возрастает.

Под действием маятникового момента возникает прецессионное движение гироскопа вокруг оси Z. Согласно правилу полюсов полюс гироскопа А будет двигаться к точке севера плоскости горизонта, которая является полюсом силы, т. е. к плоскости меридиана.

Следовательно, гироскоп, у которого центр тяжести находится ниже точки подвеса, принципиально превращается в гирокомпас. При отведении гироскопа от плоскости меридиана у него появляется направляющий момент, стремящийся привести его главную ось в плоскость меридиана.

Значение направляющего момента определяется формулой

R=JΩωcosφsinα ,

где JΩ - кинетический момент гироскопа;
ωcosφ - горизонтальная составляющая земного вращения;
α - угол отклонения полюса гироскопа от плоскости меридиана.

Направляющий момент достигает максимального значения на экваторе при отведении главной оси гироскопа от меридиана на 90°. С увеличением широты направляющий момент уменьшается и на полюсе обращается в нуль. Поэтому на полюсе гирокомпас работать не может.

В гирокомпасах типа «Курс» чувствительный элемент представляет собой герметически закрытый шар, называемый гиросферой. Подвес гиросферы обеспечивает возможность вращения вокруг всех трех осей. Для предупреждения вредного влияния качки гироскопическая система гиросферы смонтирована из двух гироскопов.

Гироскопы расположены в гиросфере под углом 90° друг к другу и под углом 45° к линии NS гиросферы (рис. 5). Гироскопы связаны между собой кривошипом, а с оболочкой гиросферы - пружинами и могут вращаться вокруг своих вертикальных осей.

Кинетический момент одного из гироскопов направлен на северо-восток, второго-на северо-запад.

Разложим по правилу параллелограмма кинетические моменты на их составляющие по осям OW и NS (рис. 6). Составляющие по оси OW взаимно уничтожатся, а составляющие по оси NS сложатся. Поэтому систему двух гироскопов можно рассматривать как одногироскопную, суммарный кинетический момент которой направлен по оси NS и равен H = 2/Ω cos 45° = √2 / Ω (рис.7).

Следовательно, поведение гиросферы при вращении Земли будет аналогично поведению чувствительного элемента одногироскопного маятникового гироскопа.

Определение поправки компаса по береговым объектам.

Работу гироскопического и магнитного компасов следует контролировать систематически, пользуясь для определения поправок этих приборов любыми из доступных способов.

Определение поправки по пеленгу створа (веера створов).

Снимают с карты истинный пеленг ИП.
На ходу в момент пересечения створа или веера створов берут ГКП по гирокомпасу или ОКП M.K. по магнитному компасу.
Взятый ГКП (ОКП M.K.) сопоставляется с ИП (ОИП):
ΔГК = ИП - ГКП; ΔМК = ОИП - ОКП M.K.

Определение поправки по пеленгам трёх ориентиров, нанесённых на карту.

Измеряют ГКП (ОКП M.K.) ориентиров, рассчитывают углы между ними.
Определяют место по двум горизонтальным углам.
Из обсервованной точки снимают ИП на ориентиры.
По формулам определяют три поправки компаса и рассчитывают среднюю из них.

Возможны варианты:
Определение поправки по пеленгам небесного светила.
Определение по сличению с другим компасом, поправка которого известна.

Склонение d снимают с карты в районе плавания и приводят к году плавания. Годовое увеличение (уменьшение) относится к абсолютной величине склонения (к углу), а не к знаку. Может быть так, что в своём годовом изменении величина склонения переходит через нуль, и тогда приведённое к месту плавания склонение будет противоположным по знаку склонения, указанного на карте.

Девиация магнитного компаса δ, как правило, выбирается из таблицы остаточной девиации на данный компасный курс. Однако девиация, определённая в конкретных магнитных условиях, изменяется в зависимости от изменения магнитной широты плавания, перемещения судового железа, изменение загрузки судна, крена и дифферента, от производства сварочных работ, изменение токоведущих частей на судне и др. Поэтому в процессе плавания девиацию также определяют любым из доступных методов.

Определение девиации по пеленгам створов, истинное направление которых ИП известно.
Определение девиации по пеленгам отдалённого ориентира, положение которого известно.
Определение девиации по сличению показаний магнитного и гироскопического компасов (ΔГК известна).

Девиация магнитного компаса уничтожается и определяется по необходимости и по усмотрению капитана, но не реже одного раза в год.

Остаточная девиация у главного магнитного компаса не должна превышать = 3° , а у путевого = 5°.

НШС - стр. 22; СКПС - стр. 80; СКДП - стр. 166

Погрешности гирокомпаса, их типы.

В соответствии с международными стандартами, точность любого установленного на судне гирокомпаса должна отвечать следующим минимальным требованиям.

Установившаяся погрешность гирокомпаса - это разность отсчетов истинного и установившегося курсов. Установившийся курс - среднее значение из 10 отсчетов, взятых один за другим через 20 мин после того, как гирокомпас пришёл в меридиан. Считается, что гирокомпас пришел в меридиан, если разность между значениями любых двух отсчетов, взятых через 30 мин, не превышает ±0,7°. Установившаяся погрешность на любом курсе в широтах φ≤60° не должна превышать ±0,75° sec φ. Средняя квадратическая погрешность разностей между отдельными отсчетами курса и его средним значением должна быть менее 0,25° sec φ.

Стабильность установившейся погрешности гирокомпаса от пуска к пуску должна быть в пределах 0,25° sec φ. Стабильность установившейся погрешности основного прибора гирокомпаса должна быть в пределах ±1° sec φ в обычных условиях эксплуатации и вариациях магнитного поля, которые может испытывать судно.

Требуется также, чтобы в широтах φ≤60°:

включенный в соответствии с инструкцией гирокомпас пришел в меридиан за время не более 6 ч при бортовой и килевой качках с периодом колебаний от 6 до 15 с, амплитудой 5° и максимальном горизонтальном ускорении 0,22 м/с 2 ;
остаточная постоянная погрешность после ввода коррекции за скорость и курс при скорости 20 уз не должна превышать ±0,25° sec φ ;
погрешность, вызванная быстрым изменением скорости, при начальной скорости 20 уз не должна превышать ±2°;
погрешности, вызванные бортовой и килевой качкой с периодом колебаний от 6 до 15с, амплитудами 20°, 10° и 5° соответственно при максимальном горизонтальном ускорении, не превышающем 1 м/с 2 , и рысканием судна должны быть не более 1° sec φ.

Максимальное расхождение в отчетах между основным прибором гирокомпаса и репитерами в рабочем состоянии не должно превышать ±0,5°.

По своему характеру погрешности гирокомпаса принято делить на методические и инструментальные. Основными методическими погрешностями являются скоростная и инерционная.

Скоростная погрешность имеет полукруговой характер, для курсов северной половины горизонта она отрицательна, южной - положительна. В большинстве конструкций гирокомпасов она исключается автоматическими или полуавтоматическими корректорами. В некоторых конструкциях скоростная погрешность исключается только из показаний принимающих.

Инерционные погрешности гирокомпаса вызываются возмущающими моментами сил инерции, возникающими при ускоренном движении судна. При появлении моментов этих сил ось гирокомпаса выходит из своего положения равновесия и совершает прецессионное движение со скоростью, зависящей от значения момента силы инерции. Инерционная девиация проявляется в форме затухающих колебаний после окончания маневра судна (курсом и/или скоростью).

Образующаяся в результате маневра переменная погрешность называется инерционной погрешностью гирокомпаса. Она свойственна большинству современных гирокомпасов независимо от их конструкции.

Различают инерционную погрешность с выключенным на время маневра успокоителем и инерционную погрешность с включенным успокоителем. Первую иногда называют баллистической погрешностью первого рода , вторую (в частном случае выполнения условия апериодических переходов) - баллистической погрешностью второго рода , или погрешностью ускорения-затухания.

Наибольшее значение инерционная погрешность первого рода имеет в момент окончания маневра. Инерционная погрешность второго рода достигает наибольшей величины приблизительно через 20-25 мин после окончания маневра.

На практике в условиях часто повторяющихся маневров какие-либо расчеты по определению инерционных погрешностей производить нецелесообразно. Однако судоводитель должен критически оценивать их возможную величину и характер изменения. Для этого необходимо учитывать следующее:

инерционные погрешности носят гироскопический характер, т. е. возникают не сразу после появления инерционных возмущений и исчезают не сразу после их прекращения;
изменение инерционных погрешностей во времени после прекращения действия возмущающих факторов происходит по законам собственных колебаний гирокомпаса, т. е. с тем же периодом и фактором затухания;
для транспортных судов величина инерционной погрешности в средних широтах после однократных маневров обычно не превышает 2-3°;
показания гирокомпаса следует считать ошибочными в течение 40-50 мин после окончания маневра. В особо сложных условиях (при плавании в высоких широтах и на больших скоростях) инерционная погрешность может сохраняться в течение 1,5 ч после маневрирования;
существенные инерционные погрешности появляются при полу циркуляции судна с курса 0° или 180°, а также при зигзагообразном маневрировании на четвертных генеральных курсах;
при отсутствии выключателя затухания инерционная погрешность гирокомпаса принципиально не может быть устранена;
выключение успокоителя колебаний гирокомпасов с нерегулируемым периодом целесообразно в широтах меньше расчетной (для отечественных конструкций меньше 60°);
при пеленговании ориентиров с помощью гирокомпаса инерционная погрешность должна рассматриваться как систематическая (повторяющаяся) ошибка, если срок наблюдений значительно меньше периода собственных колебаний гирокомпаса;
при счислении пути по гирокомпасу инерционная погрешность должна рассматриваться как случайная ошибка курсоуказания;
при сложном маневрировании (плавании по извилистым фарватерам, во льдах и т. д.) возможно наложение инерционных погрешностей или накопление их до существенного значения, зависящего от широты плавания. В широтах 75-80° это значение может составлять ± 10 - 15° для обычных неапериодических компасов.

Инструментальные погрешности гирокомпаса с жидкостным подвесом ЧЭ складываются из инструментальных погрешностей основного прибора, следящей системы, корректирующих устройств, дистанционной передачи и принимающих приборов.

Инструментальная погрешность основного прибора современных гирокомпасов обычно не превышает ±0,3°.

Погрешность, вносимая следящей системой, практически может рассматриваться как случайная, поскольку она зависит от многих, трудно учитываемых факторов.

В гирокомпасах с косвенным управлением основными источниками инструментальных погрешностей основного прибора являются дефекты следящих систем и устройства управления гироскопом.

Одногироскопные гирокомпасы с торсионным подвесом могут иметь специфическую установившуюся погрешность, пропорциональную статической ошибке следящей системы. В реальных условиях плавания предельная величина случайной погрешности, которая может быть внесена следящей системой, не превышает ±1,0°.

Погрешность, вносимая корректором, складывается из случайной погрешности, вызываемой люфтами и несоответствием геометрических размеров передач, и систематических погрешностей за счет неточного ввода истинной скорости и широты.

Случайная погрешность корректора обычно оценивается предельными значениями ±(0,2- 0,3)°.

Систематическая погрешность за счет не точного ввода истинной скорости, что может иметь место при" неизвестном течении или неизвестной поправке лага, обычно невелика.

Систематическая погрешность за счет неточного ввода широты может достигать существенного значения.

Для ее уменьшения при плавании в высоких широтах следует производить установку корректора по широте через каждый градус изменения широты или менее.

Погрешность за счет дистанционных передач гирокомпаса обычно рассматривается как случайная. Её предельное значение не превышает ±0,2° и статическом режиме, но может достигать нескольких градусов в динамическом режиме, что следует иметь в виду при пеленговании объектов на циркуляции или после резкого изменения курса

Погрешности принимающих приборов могут быть разделены на систематические и случайные. Систематические обычно не превышают ±0,2° (без учета погрешности за счет неточной установки пелоруса) Предельное значение случайных погрешностей имеет такой же порядок.

К инструментальным погрешностям двухгироскопных компасов может быть отнесена и наблюдаемая на качке четвертная погрешность (у одногироскопных гирокомпасов с гидравлическим маятником ее следует рассматривать как методическую). Причиной этой погрешности является перемещение ЦТ чувствительного элемента на качке за счет изменения уровня имеющихся внутри него жидких масс, главным образом уровня масла в успокоителе колебаний. Величина этой погрешности зависит от конструкции успокоителя и для отечественных гирокомпасов типа «Курс» не превышает ±0,5° (при отсутствии собственного движения судна).

Поправки и точность показаний гирокомпаса. Совокупность перечисленных выше погрешностей образует суммарную погрешность гирокомпаса, подразделяемую на систематическую и случайную составляющие. На практике такое разделение не имеет большого значения, поскольку, как правило, общая поправка определяется при однократных наблюдениях или в течение слишком коротких промежутков времени, чтобы можно было произвести эффективную обработку измерений (Оптимальный интервал между наблюдениями при определении общей поправки гирокомпаса составляв 10-15 мин при общем времени наблюдений 1,5-3 ч).

Однако следует иметь в виду, что за счет случайных и переменных систематических ошибок значение общей поправки гирокомпаса в какой либо момент времени может существенно отличаться от значения, выведенного при последних наблюдениях. По этой причине, в частности, при пеленговании объектов в условиях длительного маневрирования или вскоре после окончания маневра (например, после выхода из порта), не следует принимать во внимание общую поправку, определенную до производства маневра (Имеются в виду обычные неапериодические гирокомпасы).

С другой стороны, изменение общей поправки в течение некоторого времени после маневрирования не следует считать признаком неисправной работы гирокомпаса. Иногда допускается ошибка, когда общая поправка гирокомпаса определяется на полном ходу с введенным в корректор значением скорости, а затем этой поправкой пользуются на малом ходу, среднем или на стоянке (например, на якоре) без ввода нового значения скорости в корректор. Другая ошибка возникает в тех случаях, когда общая поправка определяется на стоянке, но с установленным на корректоре значением скорости, при этом ошибочно предполагается, что на ходу поправка компаса будет правильной.

Во всех случаях следует руководствоваться следующим правилом введенная в корректор скорость должна всегда соответствовать действительной скорости судна.

Общая поправка гирокомпаса определяется одним из принятых в навигации и мореходной астрономии методов, а также с помощью радиотехнических средств.

Величина средней квадратической погрешности общей поправки гирокомпаса составляет по створам ±0,2°, по пеленгам береговых ориентиров ±0,4°, по небесным светилам ±0,4°.

К радиотехническим способам следует прибегать только в тех случаях, когда вследствие плохой или ограниченной видимости другие способы определения поправки недоступны. Особенно ненадежны определения поправки гирокомпаса с использованием ненаправленных радиомаяков, находящихся за пределами оптической видимости.

Величина и характер изменения общей поправки гирокомпаса являются критерием точности его показаний. Точность гирокомпаса в соответствии с природой его погрешностей принято оценивать для конкретных целей плавания на неподвижном основании (на швартовах); при плавании прямыми курсами с постоянной скоростью, при маневрировании судна; при качке судна.

Допустимые величины суммарных погрешностей гирокомпаса в указанных условиях назначаются для каждого конкретного типа гирокомпаса и зависят от широты плавания.

Основными погрешностями гироскопов являются собственный уход , карданная погрешность , виражная погрешность и кажущийся уход .

Величина собственного ухода определяется трением и балансировкой движущихся частей гироскопа .
Карданная погрешность представляет собой разность между углом курса , измеряемым в горизонтальной плоскости, и показаниями гирокомпаса при наклоне (по крену или тангажу) оси наружной рамки от вертикального положения.
Виражная погрешность появляется при виражах и возникает в связи с работой коррекционного устройства, обеспечивающего перпендикулярность положения ротора гироскопа к плоскости внешней рамки гироузла. В отличие от карданной погрешности виражная погрешность непрерывно накапливается в процессе выполнения виража и не исчезает после его окончания. Для её уменьшения выключают горизонтальную коррекцию гироскопа при виражах.
Кажущийся уход вызван тем, что свободный трехстепенной гироскоп сохраняет направление своей оси неизменным в пространстве относительно неподвижных звезд, но отнюдь не относительно Земли и ее плоскостей. Земля сама движется в пространстве, поэтому, даже абсолютно неподвижный гироскоп в пространстве вращается относительно Земли, создавая видимое кажущееся движение своей оси. Что бы понять это явление, вспомним маятник Фуко. Качающийся маятник, это своего рода гироскоп . Поэтому, глядя на него мы можем наблюдать (если конечно находимся не на экваторе) вращение Земли вокруг своей оси.

Точность совпадения центра тяжести гироскопической системы с точкой подвеса (сбалансированность), величина силы трения в осях карданного подвеса, вес, диаметр и скорость вращения являются определяющими факторами устойчивости оси гироскопа . При воздействии на карданную систему внешних сил, ось гироскопа перемещается в плоскости, перпендикулярной направлению действия силы. Такое движение гироскопа называется прецессией . Прецессия прекращается с прекращением воздействия на гироскоп . В авиагоризонтах требуется удерживать гироскоп в вертикальном положении при эволюциях и изменении скорости ЛА . Для уменьшения накапливающихся погрешностей приходится корректировать положение гироскопа механизмами вертикальной коррекции . В качестве датчика вертикали применяются системы маятниковой коррекции, следящие за тем, что бы нижний конец оси гироскопа был направлен к центру Земли. Маятниковые системы подвержены влиянию ускорений, возникающих при маневрировании. Как пример, можно привести явление, называемое "завал авиагоризонта" (индикация, отличных от нуля, значений тангажа или крена в прямолинейном полёте после завершения маневра). Поэтому, на этапах маневрирования, системы коррекции выключаются. Погрешность показаний гироскопа будет зависеть от скорости коррекции, скорости собственного ухода, параметров выключателя коррекции. На первых пневматических авиагоризонтах коррекция не отключалась на вираже. Поэтому скорость коррекции выбиралась очень малой, чтобы уход гироскопа не был значительным за время виража. Соответственно увеличивалось время восстановления вертикали. Позже коррекцию стали выключать в повороте, а на некоторых, и при ускорениях (АГД -1). В настоящее время используются инерциальные гировертикали , в которых точность достигается созданием искусственного маятника "длиной", равной радиусу Земли.

Скомпенсированный по кажущемуся уходу гироскоп является указателем

Для того чтобы сохранить положение оси вращения твердого тела с течением времени неизменным, используют подшипники, в которых она удерживается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения). Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями (они называются главными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного прямоугольного параллелепипеда проходят через центры противоположных граней (рис. 30). Для однородного цилиндра одной из главных осей инерции является его геометрическая ось, а в качестве остальных осей могут быть две любые взаимно перпендикулярные оси, проведенные через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Главными осями инерции шара

являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.

Для устойчивости вращения большое значение имеет, какая именно из свободных осей служит осью вращения.

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, закрепленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизонтальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис.31). Это и есть свободная ось вращения (момент инерции при этом положении палочки максимальный). Если теперь палочку, вращающуюся вокруг свободной оси, освободить от внешних связей (аккуратно снять верхний конец нити с крючка шпинделя), то положение оси вращения в пространстве в течение некоторого времени сохраняется. Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широко применяется в технике. Наиболее интересны в этом плане гироскопы - массивные однородные тела, вращающиеся с большой угловой скоростью около своей оси симметрии, являющейся свободной осью.

Рассмотрим одну из разновидностей гироскопов - гироскоп на кардановом подвесе (рис.32). Дискообразное тело - гироскоп - закреплено на оси АА, которая может вращаться вокруг перпендикулярной ей горизонтальной оси ВВ, которая, в свою очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пересекаются в одной точке С, являющейся центром масс гироскопа и остающейся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в пространстве. Силами трения в подшипниках всех трех осей и моментом импульса колец пренебрегаем.

Так как трение в подшипниках мало, то, пока гироскоп неподвижен, его оси можно придать любое направление. Если начать гироскоп быстро вращать (например, с помощью намотанной на ось веревочки) и поворачивать его подставку, то ось гироскопа сохраняет свое положение в пространстве неизменной. Это можно объяснить с помощью основного закона динамики вращательного движения. Для свободного вращающегося гироскопа сила тяжести не может изменить ориентацию его оси вращения, так как эта сила приложена к центру масс (центр вращения С совпадает с центром масс), а момент силы тяжести относительно закрепленного центра масс равен нулю. Моментом сил трения мы также пренебрегаем. Поэтому если момент внешних сил относительно его закрепленного центра масс равен нулю, то, как следует из уравнения (19.3), L =

Const, т. е. момент импульса гироскопа сохраняет свою величину и направление в пространстве. Следовательно, вместе с ним сохраняет свое положение в пространстве и ось гироскопа.

Чтобы ось гироскопа изменила свое направление в пространстве, необходимо, согласно (19.3), отличие от нуля момента внешних сил. Если момент внешних сил, приложенных к вращающемуся гироскопу относительно его центра масс, отличен от нуля, то наблюдается явление, получившее название гироскопического эффекта. Оно состоит в том, что под действием пары сил F , приложенной к оси вращающегося гироскопа, ось гироскопа (рис. 33) поворачивается вокруг прямой О 3 О 3 , а не вокруг прямой О 2 О 2 , как это казалось бы естественным на первый взгляд (O 1 O 1 и О 2 О 2 лежат в плоскости чертежа, а О 3 О 3 и силы F перпендикулярны ей).

Гироскопический эффект объясняется следующим образом. Момент М пары сил F направлен вдоль прямой О 2 О 2 . За время dt момент импульса L гироскопа получит приращение dL = M dt (направление dL совпадает с направлением М ) и станет равным L" =L +dL . Направление вектора L " совпадает с новым направлением оси вращения гироскопа. Таким образом, ось вращения гироскопа повернется вокруг прямой О 3 О 3 . Если время действия силы мало, то, хотя момент сил М и велик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым. Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к изменению ориентации оси вращения гироскопа в пространстве. Для ее изменения следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена подшипниками, то вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на опоры, в которых вращается ось гироскопа. Их действие необходимо учитывать при конструировании устройств, содержащих быстровращающиеся массивные составные части. Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсчета и являются частным случаем кориолисовой силы инерции (см. §27).

Гироскопы применяются в различных гироскопических навигационных приборах (гирокомпас, гирогоризонт и т. д.). Другое важное применение гироскопов - поддержание заданного направления движения транспортных средств, например судна (авторулевой) и самолета (автопилот) и т. д. При всяком отклонении от курса вследствие каких-то воздействий (волны, порыва ветра и т. д.) положение оси гироскопа в пространстве сохраняется. Следовательно, ось гироскопа вместе с рамами карданова подвеса поворачивается относительно движущегося устройства. Поворот рам карданова подвеса с помощью определенных приспособлений включает рули управления, которые возвращают движение к заданному курсу.

Впервые гироскоп применен французским физиком Ж. Фуко (1819-1868) для доказательства вращения Земли.

Гироскопом называется массивное осесимметричное тело (симметричный волчок), быстро вращающееся вокруг оси симметрии, причем ось вращения может изменять положение в пространстве. Ось симметрии называется осью фигуры гироскопа.

Видео 7.6. Что же такое гироскоп?

Рис. 7.17. Движение системы гироскопов

Ось симметрии является одной из главных осей гироскопа. Поэтому его момент импульса совпадает по направлению с осью вращения.

Для того, чтобы изменить положение в пространстве положение оси фигуры гироскопа, необходимо подействовать на него моментом внешних сил.

Видео 7.7. Гироскопические силы:большой гироскоп рвет веревку

При этом наблюдается явление, получившее название гироскопического : под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси 1 вокруг оси 2 (рис. 7.19), наблюдается поворот оси фигуры вокруг оси 3.

Рис. 7.19. Движение оси фигуры гироскопа под действием момента внешних сил

Видео 7.8. Гироскоп с перегрузами: направление и скорость прецессии, нутации

Гироскопические явления проявляются всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось которых может поворачиваться в пространстве.

Рис. 7.20. Реакция гироскопа на внешнее воздействие

Странное на первый взгляд поведение гироскопа, рис. 7.19 и 7.20, полностью объясняется уравнением динамики вращательного движения твердого тела

Видео 7.9. «Любвеобильный» гироскоп: ось гироскопа бежит вдоль направляющей, не покидая её

Видео 7.10. Действие момента силы трения: «Колумбово» яйцо

Если гироскоп привести в быстрое вращение, он будет обладать значительным моментом импульса. Если на гироскоп будет действовать внешняя сила в течение времени , то приращение момента импульса будет

Если сила действует в течение короткого времени , то

Другими словами, при коротких воздействиях (толчках) момент импульса гироскопа практически не меняется. С этим связана замечательная устойчивость гироскопа по отношению к внешним воздействиям, которая используется в различных приборах, таких как гирокомпасы, гиростабилизированные платформы и т. д.

Видео 7.11. Модель гирокомпаса, гиростабилизация

Видео 7.12. Большой гирокомпас

7.21. Гиростабилизатор орбитальной станции

В гироскопах, применяющихся в авиации и космонавтике, используется карданов подвес, который позволяет сохранять направление оси вращения гироскопа независимо от ориентации самого подвеса:

Видео 7.13. Гироскопы в цирке: езда на одном колесе по проволоке

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 245–249 (§ 47): кинематическая теорема Эйлера о вращениях твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим движение гироскопа с неподвижной точкой опоры, как показано на на рис. 7.22.

Движение гироскопа под действием внешней силы называется вынужденной прецессией .

Рис. 7.22. Вынужденная прецессия гироскопа: 1 - общий вид; 2 - вид сверху

Приложим в точке А силу . Если гироскоп не вращается, то, естественно, правый маховик будет опускаться, а левый - подниматься. Другая ситуация будет, если предварительно гироскоп привести в быстрое вращение. В этом случае под действием силы ось гироскопа будет вращаться с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. То есть ось гироскопа приобретает скорость в направлении, перпендикулярном направлению действующей силы.

Таким образом, прецессия гироскопа представляет собой движение под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось фигуры описывает коническую поверхность.

Рис. 7.23. К выводу формулы прецессии гироскопа.

Объяснение этого явления заключается в следующем. Момент силы относительно точки 0 будет

Приращение момента импульса гироскопа за время равно

Это приращение перпендикулярно моменту импульса и, следовательно, меняет его направление, но не величину.

Вектор момента импульса ведет себя подобно вектору скорости при движении частицы по окружности. В последнем случае приращения скорости перпендикулярно скорости частицы и равно по модулю

В случае гироскопа элементарное приращение момента импульса

и равно по модулю

За время вектор момента импульса повернется на угол

Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса, описываемого осью фигуры, и ось фигуры, называется угловой скоростью прецессии гироскопа.

Возникающие при определенных условиях колебания оси фигуры гироскопа в плоскости, проходящей через ось указанного выше конуса и саму ось фигуры, называются нутациями . Нутации могут быть вызваны, например, коротким толчком оси фигуры гироскопа вверх или вниз (см. рис. 7.24):

Рис. 7.24. Нутации гироскопа

Угловая скорость прецессии в рассматриваемом случае равна

Отметим важное свойство гироскопа - его безынерционность, заключающееся в том, что после прекращения действия внешней силы вращение оси фигуры прекращается.

Дополнительная информация

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. - стр. 288–293 (§ 52): изложены основы точной теории гироскопа.

http://femto.com.ua/articles/part_1/0796.html - физическая энциклопедия. Описаны разнообразные механические гироскопы, которые используются для навигации - гирокомпасы.

http://femto.com.ua/articles/part_1/1901.html - физическая энциклопедия. Описан лазерный гироскоп для целей космической навигации.

Влияние гироскопических сил в технике иллюстрируется следующими рисунками.

Рис. 7.25. Гироскопические силы,действующие на самолет при вращении винта

Рис. 7.26. Перевертывание волчка под действием гироскопических сил

Рис. 7.27. Как поставить яйцо «на попа»

Дополнительная информация

http://kvant.mirror1.mccme.ru/1971/10/mehanika_vrashchayushchegosya.htm - журнал «Квант» - механика волчка (С. Кривошлыков).

http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9809_096.pdf - Соросовский образовательный журнал, 1998 г., № 9, - в статье обсуждаются проблемы динамики вращающихся тел (кельтских камней), соприкасающихся с твердой поверхностью (А.П. Маркеев).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_35.djvu - Михайлов А.А. Земля и ее вращение, Библиотечка Квант, выпуск 35 стр. 50–56 - планета Земля - большой волчок, ее ось прецессирует в пространстве.

Приложение

О принципе работы колеса

Раз уж мы много говорили в этой главе о вращении тел, остановимся на самом великом и важном открытии человечества - изобретении колеса. Всем известно, что волочить груз гораздо труднее, чем перевозить его на колесах. Встает вопрос, почему? Колесо, играющее огромную роль в современной технике, по праву считается одним из гениальнейших изобретений человечества.

Передвижение груза с помощью катка . Прототипом колеса был каток, подкладываемый под груз. Его первые применения теряются во мгле веков. Прежде чем разбираться с колесом, поймем принцип действия катка. Для этого рассмотрим пример.

Пример . Груз массой M положен на цилиндрический каток массой и радиусом , который может двигаться по плоскому горизонтальному настилу. К грузу приложена горизонтальная сила (рис. 7.28). Найдем ускорения груза и катка. Силой трения качения пренебречь. Считать, что движение системы происходит без проскальзывания.

Рис. 7.28. Передвижение груза с помощью катка

Обозначим силу трения между катком и грузом и - между катком и настилом. За положительное направление примем направление внешней силы . Тогда положительным значениям и соответствуют направления сил трения, показанные на рис. 7.28.

Таким образом, на груз действуют силы и , а на каток - силы и . Обозначим a ускорение груза и a 1 - ускорение катка. Кроме того, каток вращается по часовой стрелке с угловым ускорением .

Уравнения поступательного движения принимают вид:

Уравнение вращательного движения катка записывается так:

Обратимся теперь к условиям отсутствия проскальзывания. Из-за вращения катка его нижняя точка имеет линейное ускорение и, кроме того, участвует в поступательном движении с ускорением . В отсутствие проскальзывания между катком и настилом полное ускорение нижней точки катка должно быть равно нулю, так что

Верхняя точка катка приобретает из-за вращения противоположно направленное линейное ускорение и то же ускорение поступательного движения. Чтобы не было проскальзывания между катком и грузом, полное ускорение верхней точки должно быть равно ускорению груза:

Из полученных уравнений для ускорений следует, что ускорение катка в два раза меньше ускорения груза:

и, соответственно,

Из непосредственного опыта каждый знает, что каток действительно отстает от груза.

Подставляя соотношения для ускорений в уравнения движения и решая их относительно неизвестных , , , получаем следующие выражение для ускорения груза

Обе силы трения и оказываются при этом положительными, так что на рис. 12 их направления выбраны правильно:

Как видно, радиус катка особой роли не играет: отношение зависит только от его формы. При данных массе и радиусе момент инерции катка максимален, когда каток представляет собой трубу: . В этом случае сила трения между катком и настилом отсутствует ( = 0) а уравнения для ускорения груза и силы трения между грузом и катком принимают вид:

При уменьшении массы катка сила трения уменьшается, ускорение груза увеличивается - груз легче перемещать.

В случае катка-цилиндра (бревна) /2 и мы находим силы трения

и ускорение груза.

Сравнивая с результатами для катка-трубы, видим, что эффективно масса катка как бы уменьшилась: ускорение груза возрастает при прочих равных условиях.

Главный итог рассмотренного примера: ускорение отлично от нуля (то есть груз начинает двигаться) при сколь угодно малой внешней силе. При волочении же груза по настилу для его смещения необходимо приложить как минимум силу .

Второй вывод: ускорение вовсе не зависит от величины трения между частями данной системы. Коэффициент трения не вошел в найденные решения, он появится только в условиях отсутствия проскальзывания, которые сводятся к тому, что приложенная сила не должна быть слишком велика.

Полученный результат, что каток как бы полностью «уничтожает» силу трения, не удивителен. Действительно, в отсутствие относительного перемещения соприкасающихся поверхностей силы трения не совершают работы. На самом деле каток «заменяет» трение скольжения на трение качения, которым мы пренебрегли. В реальном случае минимальная сила, необходимая для движения системы, отлична от нуля, хотя и гораздо меньше, чем при волочении груза по настилу. В современной технике принцип действия катка реализуется в шарикоподшипниках.

Качественное рассмотрение работы колеса . Разобравшись с катком, перейдем к колесу. Первое колесо в виде деревянного диска, насаженного на ось, появилось, по-видимому, в IV тысячелетии до н.э. в цивилизациях Древнего Востока. Во II тыс. до н.э. конструкция колеса совершенствуется: появляются спицы, ступица и гнутый обод. Изобретение колеса дало гигантский толчок развитию ремесел и транспорта. Однако многие не понимают самого принципа действия колеса. В ряде учебников и энциклопедий можно найти неверное утверждение, что колесо, подобно катку, также дает выигрыш, заменяя силу трения скольжения на силу трения качения. Иногда приходится слышать ссылки на использование смазки или подшипников, но дело не в этом, поскольку колесо с очевидностью появилось раньше, чем додумались до смазки (и, тем более, подшипников).

Действие колеса проще всего понять, исходя из энергетических соображений. Древние повозки устроены просто: кузов прикрепляется к деревянной оси радиусом (общая масса кузова с осью равна M ). На ось насаживаются колеса массой и радиусом R (рис. 7.29).

Рис. 7.29. Передвижение движение груза с помощью колеса

Предположим, что такую повозку везут по деревянному же настилу (тогда во всех соприкасающихся местах имеем тот же коэффициент трения ). Сначала заклиним колеса и, действуя силой , протащим повозку на расстояние s . Поскольку повозка скользит по настилу, сила трения достигает своего максимально возможного значения

Работа против этой силы равна

(так как обычно масса колес много меньше массы повозки <<M ).

Освободим теперь колеса и снова протащим повозку на то же расстояние s . Если колеса не скользят по настилу, то в нижней точке колеса сила трения не совершает работы. Но трение скольжения возникает между осью и колесом в нижней части оси радиусом . Там тоже имеется сила нормального давления. Она будет несколько отличаться от прежней за счет веса колес и других причин, которые мы обсудим ниже, но при небольшой массе колес и небольшом коэффициенте трения можно считать ее примерно равной . Поэтому между осью и колесом действует та же самая сила трения

Подчеркнем еще раз: колесо само по себе не уменьшает силу трения. Но работа A" против этой силы будет теперь гораздо меньше, чем в случае волочения повозки с заклиненными колесами. Действительно, когда повозка проходит расстояние S , ее колеса совершают оборотов. Значит, трущиеся об ось колеса поверхности сдвинутся друг относительно друга на меньшее расстояние . Поэтому работа против сил трения также будет в соответствующее число раз меньше:

Таким образом, надев колеса на оси, мы уменьшаем не силу трения, как в случае с катком, а путь, на котором она действует. Скажем, колесо радиусом R = 0,5 м и осью радиусом = 2 см уменьшает работу на 96 %. С остальными 4 % успешно справляются смазка и подшипники, уменьшающие само трение (смазка, кроме того, предотвращает износ ходовой части повозки). Теперь понятно, почему в старых экипажах и боевых колесницах делали такие большие колеса. Современные продуктовые коляски в супермаркетах могут катиться лишь благодаря подшипникам.

Выбор редакции