Это приближенный метод решения, являющийся обобщением метода последовательных приближений (см. главу V, § 2). Рассмотрим задачу Коши для уравнения первого порядка

Интегрируя дифференциальное уравнение, заменим эту задачу эквивалентным ей интегральным уравнением типа Вольтерра

Решая это интегральное уравнение методом последовательных приближений, получим итерационный процесс Пикара

(приближенное решение, в отличие от точного, мы будем обозначать через у). На каждой итерации этого процесса интегрирование выполняется либо точно, либо численными методами, описанными в главе IV.

Докажем сходимость метода, предполагая, что в некоторой ограниченной области правая часть непрерывна и удовлетворяет по переменной и условию Липшица

Поскольку область ограничена, то выполняются соотношения Обозначим погрешность приближенного решения через Вычитая (8) из (9) и используя условие Липшица, получим

Решая это рекуррентное соотношение и учитывая, что найдем последовательно

Отсюда следует оценка погрешности

Видно, что при , т. е. приближенное решение равномерно сходится к точному во всей области .

Пример. Применим метод Пикара к задаче Коши для уравнения (3), решение которого не выражается через элементарные функции

В этом случае квадратуры (9) вычисляются точно, и мы легко получаем

и т. д. Видно, что При эти приближения быстро сходятся и позволяют вычислить решение с высокой точностью,

Из этого примера видно, что метод Пикара выгодно применять, если интегралы (9) удается вычислить через элементарные функции. Если же правая часть уравнения (7) более сложна, так что эти интегралы приходится находить численными методами, то метод Пикара становится не слишком удобным.

Метод Пикара легко обобщается на системы уравнений способом, описанным в п. 2. Однако на практике чем выше порядок системы, тем реже удается точно вычислять интегралы в (9), что ограничивает применение метода в этом случае.

Имеется много других приближенных методов. Например, С. А. Чаплыгин предложил метод, являющийся обобщением алгебраического метода Ньютона на случай дифференциальных уравнений. Другой способ обобщений метода Ньютона предложил Л. В. Канторович в 1948 г. В обоих этих методах, так же как и в методе Пикара, итерации выполняются при помощи квадратур. Однако квадратуры в них имеют гораздо более сложный вид, чем (9), и редко берутся в элементарных функциях. Поэтому эти методы почти не применяют.

Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до:

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при, получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается, и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

где y(x) - точное решение, - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение, где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию, на отрезке, приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Интервал

Найти: значение

Решение:

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при, удовлетворяющее начальному условию.

Дано: - дифференциальное уравнение

Начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

Найдем приближенное решение данного ДУ при, для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Напомним известные теоремы Пикара и Пеано о существовании и единственности решения данной задачи (задачи Коши).

Теорема ПЕАНО утверждает, что решение задачи Коши существует в некоторой окрестности точки Х о, если функция f(x,Y) непрерывна в окрестности точки (X 0 ,Y 0).

Теорема ПИКАРА гласит, что если не только функция f(x,Y), но и ее частная производная f" у (x,Y) также непрерывна в окрестности точки (Х 0 ,У 0), то решение задачи Коши единственно на некотором отрезке, содержащем точку Х 0 .

Доказательство теоремы Пикара следует из общего принципа сжимающих отображений, оно весьма непросто, но обладает существенным преимуществом -оно конструктивно. Причем последовательность функций Y n (x), которая строится в нем, сходится к решению равномерно на отрезке со скоростью геометрической прогрессии. В методе Пикара последовательность функций Y n (x) строится по рекуррентной формуле:

При n= 0,1,2,...,

а за нулевое приближение берется константа Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Для того, чтобы стало понятно происхождение этой рекуррентной формулы, заметим, что интегральное уравнение

эквивалентно исходной задаче Коши, поскольку любая функция Y(х), являющаяся его решением, удовлетворяет начальному условию Y(Х о)=Y о и уравнению Y"(х)=f(x,Y(х)) и наоборот.

Вопрос: Почему это действительно так?

Пример 4.1 Применим метод Пикара для решения уравнения Y"=Y с начальным условием Y(0)=1. Такая задача эквивалентна поиску решения интегрального уравнения Y=1+òY(t)dt.

В качестве начального приближения берем функцию Y о =1.

Тогда Y 1 =1+òY о (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.

Можно убедиться, что Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n!.

Упражнение 4.1.Доказать последнее равенство строго, используя принцип математической индукции.

Упражнение 4.2.В примере 4.1 найти точное решение Y(Х) и оценить скорость равномерной сходимости Y n (x) -> Y(Х) на отрезке .

В целом, приближенные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на 3 типа:

· аналитические , позволяющие получить приближенное решение Y(х) в виде формулы,

· графические , дающие возможность приближенного построения графика решения Y(х),т.е. интегральной кривой,

· численные , в результате применения которых получается таблица приближенных значений функции Y(х),

хотя такое деление и несколько условно.

Кроме метода Пикара, к аналитическим методам относится и

метод разложения неизвестной функции Y(х) в ряд,

на котором мы сейчас остановимся.

Напишем формальное разложение Y(Х) в ряд Тейлора в точке а:

В это равенство входят производные неизвестной функции Y(Х) в точке а, однако именно в этой точке, пользуясь условиями задачи, мы можем последовательно найти любое число производных и получить необходимое приближение решения. В общем виде это выглядит так: Y о (а)=Y(а)= Y о; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)

Дифференцируя данное нам уравнение по Х,получим

Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), откуда Y""(а)= f" х (а,Yо)+f" у (a,Y о)*f(a,Y о).

Аналогично получается и значения третьей и дальнейших производных в точке а -дифференцируем нужное число раз исходное уравнение и подставляем полученные ранее значения производных в точке а.

Пример 4.2.Выпишем первые члены разложения в ряд функции Y(x), удовлетворяющей уравнению Y"=2хY и начальному условию Y(0)=1.

Y"""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), откуда Y"""(0)=0.

Y (4) (х)=4Y""(х)+2хY"""(х), откуда Y (4) (0)=6.

Получаем приближенное решение Y(х)»1+х 2 +0.5х 4 .

Упражнение 4.3.Пользуясь формулой Лейбница для нахождения n-ой производной произведения функций, написать разложение искомой в примере 4.2 функции в ряд Тейлора.

Упражнение 4.4.Найти точное решение в примере 4.2 и оценить качество приближения в примере 4.2 на отрезке [-0.5,0.5].

Описанные выше методы не часто применяются на практике, поскольку в методе Пикара на каждом шаге приходится вычислять интеграл, что осложняет вычисления и ухудшает точность, а в методе разложения в ряд крайне сложно формализовать на любом из языков процесс нахождения производных высокого порядка, а при малом количестве членов разложения этот метод дает хорошее приближение лишь вблизи от точки а.

Среди ГРАФИЧЕСКИХ рассмотрим

Постановка задачи

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47. Метод Пикара последовательных приближений

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55. Система дифференциальных уравнений (метод Пикара)

56.

57.

58.

59.

60.

61.

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка

с начальным условием

y(х 0) = у 0 , (2)

где f(x) - некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных. Будем считать, что для данной задачи (1)-(2), называемой начальной задачей или задачей Коши, выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке [х 0 ,b] ее решения у=у(х).

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение у=у(х, С) с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую у=у(х), проходящую через заданную точку (х 0 ;у 0), удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений. Поэтому, как и в родственной для (1)-(2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1)приближенно-аналитические методы;

2)графические или машинно-графические методы;

3)численные методы.

К методам первой группы относят такие, которые позволя­ют находить приближение решения у(х) сразу в виде некоторой «хорошей» функции φ (х). Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции у(х) отрезком ряда Тейлора, где тейлоровские коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцирова­нием самого уравнения (1). Другим представи­телем этой группы методов является метод последовательных приближений, суть которого приведена чуть ниже.

Название графические методы говорит о приближенном представлении искомого решения у(х) на промежутке в виде графика, который можно строить по тем или иным прави­лам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Фи­зическая или, возможно, точнее будет сказать, электротехниче­ская интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов при­ближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа на­блюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнения приводит к адекватному изменению поведения решений, что по­ложено в основу специализированных аналоговых вычисли­тельных машин (АВМ).

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характе­ризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы че­ловеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений y i искомого решения у(х) на некото­рой сетке
значений аргумента х. Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получае­мыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значе­ния у(b), тогда точка b включается как конечная в систему рас­четных точек х i , и все приближенные значения y i ≈y(x i), кроме последнего, участвуют лишь как промежуточные, т.е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь прибли­женное решение у(х) в любой точке х, то для этого к получае­мой числовой таблице значений y i можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, рассмотренных ранее, например, интерполяцию или сплайн-интерполя­цию. Возможны и другие использования численных дан­ных о решении.

Коснемся одного приближенно-аналитического способа решения начальной задачи (1)-(2), в котором искомое ре­шение у=у(х) в некоторой правой окрестности точки х 0 явля­ется пределом последовательности получаемых определенным образом функций у п (х).

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от х 0 до х:

Отсюда, с учетом того, что одной из первообразных для у"(х) служит у(х), получаем

или, с использованием начального условия (2),

(3)

Таким образом, данное дифференциальное уравнение (1) с на­чальным условием (2) преобразовалось в интегральное урав­нение (неизвестная функция здесь входит под знак интеграла).

Полученное интегральное уравнение (3) имеет вид зада­чи о неподвижной точке для оператора
Формально к этой зада­че можно применить метод простых итераций

достаточно обстоятельно рассматривавшийся приме­нительно к системам линейных и нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений. Беря в качестве начальной функции y 0 (х) заданную в (2) по­стоянную y 0 , по формуле (4) при п=0 находим первое при­ближение

Его подстановка в (4) при п=1 дает второе приближение

и т.д. Таким образом, этот приближенно-аналитический метод, называемый методом последовательных приближений или методом Пикара определяется формулой

(5)

где n=0,1, 2,... и у 0 (х)=y 0 .

Отметим две характеристики метода последовательных приближений Пикара, которые можно отнести к негативным. Во-первых, в силу известных проблем с эффективным нахождением первообразных, в чистом виде метод (5) редко реализуем. Во-вторых, как видно из вышеприведенного утверждения, этот ме­тод следует считать локальным, пригодным для приближения решения в малой правой окрестности начальной точки. Большее значение метод Пикара имеет для доказательства существования и единственности решения задачи Коши, нежели для его практи­ческого нахождения.

Занятие № 17. Методы Эйлера.

Цель - ознакомить студентов с методами Эйлера решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.