Дифференцирование функции двух переменных. Предел и непрерывность функции двух переменных Понятие дифференцируемости функции двух переменных

Определение 1. Число А называется пределом функции в точке (или при и ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число такое, что для всех точек , отстоящих от точки на расстояние, меньшее чем , выполняется неравенство

Обозначается предел .

Определение 2. Функция
называется непрерывной в точке , если предел функции в этой точке существует и .

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва.

На функции нескольких переменных переносятся все свойства и методы теории пределов функции одной переменной.

2)Случайная величина - одно из основных понятий теории вероятностей. Случайная величина - этоизмеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве

Дискретной называется случайная величина, которая при испытаниях может принимать одно из изолированных значений, количество которых конечно. К ним относятся величины из первой группы.
Непрерывной называют случайную величину, которая в пределах ее изменения может принимать любые значения, которые могут быть конечными или бесконечными. К ним относятся величины из второй группы.

Билет №6

1)Возведение в степень - бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называетсястепенью с основанием и показателем .

Формула Муавра для комплексных чисел утверждает, что

для любого

Формула названа по имени установившего её в 1707 году математика И. Муавра, друга великого И. Ньютона; современный вид формуле придал Л. Эйлер.

Доказательство [править]

Формула Муавра сразу следует из формулы Эйлера и тождества для экспонент , где b - целое число.

Применение [править]

Аналогичная формула применима также и при вычислении корней n -ой степени из ненулевого комплексного числа:

где k = 0, 1, …, n -1.

Вероятность гипотез

Вероятность гипотез.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В1,В2,?Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(В1)?РВ1(А) + Р(В2) ?РВ2(А)+ ? +Р(Вn) ?РВn(А)

Формула Байеса :

,

Априорная вероятность гипотезы A (смысл такой терминологии см. ниже);

Вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

Вероятность наступления события B при истинности гипотезы A ;

Полная вероятность наступления события B .

Пример:

Пример расчёта

Пусть вероятность брака у первого рабочего , у второго рабочего - , а у третьего - . Первый изготовил деталей, второй - деталей, а третий - деталей. Начальник цеха берёт случайную деталь, и она оказывается бракованной. Спрашивается, с какой вероятностью эту деталь изготовил третий рабочий?

Cобытие - брак детали, событие - деталь произвёл рабочий . Тогда , где , а . По формуле полной вероятности

По формуле Байеса получим:

Билет №12

1. Тригонометрический ряд Фурье - представление произвольной функции с периодом в виде ряда

коэффициенты ao,an и bn называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a1cosx+b1sinx) называется первой или основной гармоникой,

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

где ao, a1,a2,...,b1,b2,.. - действительные константы, т.е.

2.Противоположные события.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через A, то другое принято обозначать

Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Пример 1. Попадание и промах при выстреле по цели - противоположные события. Если А - попадание, то противоположное событие - промах.

Пример 2. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - противоположные

, очевидно, равна 10 / 21, что и утверждалось выше. [1 ]

Вычислим вероятность противоположного события А. Событие состоит в том, что выбранный номер не содержит ни одной из трех данных цифр. [2 ]

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице. [3 ]

При этом вероятность противоположного события А будет больше, чем 1-а, то есть будет так же близка к единице, как вероятность события А близка к нулю

Билет №9

1. Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат - соответствующие им частоты n i . Точки (x i ; n i ) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h , а высоты равны отношению n i / h (плотность частоты).

2. События А и В называются независимыми, если Р(АВ) = Р(А) Р(В). Несколько событий А , В , С ,… называются независимыми, если вероятность их совместного осуществления равна произведению вероятностей осуществления каждого из них в отдельности: Р (АВС …) = Р (А )Р (В )Р (С )…

Иногда соотношение Р (АВ ) = Р (А ) Р (В |A ) = P (B )P (A |B ), справедливое при P (A )P (B) > 0,называют также теоремой умножения вероятностей

Билет №11

1) Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

.

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле (6.7) можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

Свойства плотности распределения вероятностей

непрерывной случайной величины:

1. Плотность распределения – неотрицательная функция:

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

Учитывая, что F(+¥)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

Докажем для примера (7).

Пусть (x k , y k ) → (х 0 , у 0) ((x k , y k ) ≠ (х 0 , у 0)); тогда

Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (x k , y k ) стремится к (х 0 , у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f (x , y ) ∙φ (x , y ) в точке (х 0 , у 0).

Теорема. если функция f (x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0 , у 0), т.е.

то существует δ > 0 такое, что для всех х , у

она удовлетворяет неравенству

Поэтому для таких (x , y )

т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных (x , y ) следует

A < 0 (сохранение знака).

По определению функция f (x ) = f (x 1 , …, x n ) = A имеет предел в точке

(пишут еще f (x ) → A (x → x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел

какова бы ни была стремящаяся к x 0 последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0 .

Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0 предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

для всех х , удовлетворяющих неравенствам

0 < |x – x 0 | < δ.

Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U (x 0 ) точки x 0 такая, что для всех х

Очевидно, что если число А есть предел f (x ) в x 0 , то А есть предел функции f (x 0 + h ) от h в нулевой точке:

и наоборот.

Рассмотрим некоторую функцию f , заданную во всех точках окрестности точки x 0 , кроме, быть может, точки x 0 ; пусть ω = (ω 1 , ..., ω п ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0 + t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0 луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию

от скалярной переменной t , где δ ω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )

если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0 по направлению вектора ω.

Будем писать

Можно говорить о пределе f , когда х → ∞:

Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х , для которых |x | > N , функция f определена и имеет место неравенство

Итак, предел функции f (x ) = f (x 1 , ..., х п) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.

Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.

Число А называется пределом функции f (M ) при М → М 0 , если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М , отличных от М 0 и удовлетворяющих условию | ММ 0 | < δ, будет иметь место неравенство |f (M ) – А | < ε.

Предел обозначают

Теоремы о пределах. Если функции f 1 (M ) и f 2 (M ) при М → М 0 стремятся каждая к конечному пределу, то:

Пример 1. Найти предел функции:

Решение. Преобразуем предел следующим образом:

Пусть y = kx , тогда

Пример 2. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом

Пример 3. Найти предел функции:

Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом

Непрерывность функции нескольких переменных

По определению функция f (x , y ) непрерывна в точке (х 0 , у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0 , у 0) и если предел f (x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:

Условие непрерывности т.е. функция f непрерывна в точке (х 0 , у 0), если непрерывна функция f (х 0 + Δх , у 0 + Δу) от переменных Δх , Δу при Δх = Δу = 0.

Можно ввести приращение Δи функции и = f (x , y ) в точке (x , y ) , соответствующее приращениям Δх , Δу аргументов

Δи = f (х + Δх , у + Δу) – f (x , y )

и на этом языке определить непрерывность f в (x , y ) : функция f непрерывна в точке (x , y ) , если

Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0 , у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0 , у 0) ≠ 0.

Постоянную с можно рассматривать как функцию f (x , y ) = с от переменных x , y . Она непрерывна по этим переменным, потому что

Следующими по сложности являются функции f (x , y ) = х и f (x , y ) = у . Их тоже можно рассматривать как функции от (x , y ) , и при этом они непрерывны. Например, функция f (x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке (x , y ) число, равное х . Непрерывность этой функции в произвольной точке (x , y ) может быть доказана так.

Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя, описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных.

В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных.

Пусть B – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1 Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции , а число – зависимой переменной .

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .

Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множествовсех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестностьточки–это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2 Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом: или .

Пример 1 Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда

.

Определение 3 Функция называется непрерывной в точке , если: 1)определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области , если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось () и ось ().

Пример 2 Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .

2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
Частные производные высших порядков

Пусть задана функция двух переменных . Дадим аргументу приращение , а аргумент оставим неизменным. Тогда функция получит приращение , которое называется частным приращением по переменной и обозначается :

Аналогично, фиксируя аргумент и придавая аргументу приращение , получим частное приращение функции по переменной :

Величина называется полным прира-щением функции в точке .

Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .

Таким образом, по определению 4 имеем:

Частные производные функции вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной , считается постоянной, а при дифференцировании по переменной постоянной считается .

Пример 3 Найти частные производные функций:

Решение:

1 Чтобы найти , считаем постоянной величиной и дифференцируем как функцию одной переменной :

Аналогично, считая постоянной величиной, находим :

.

.

Определение 5 Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е.

.

При нефиксированных : , а формулу полного дифференциала можно записать в виде

или .

Пример 4 Найти полный дифференциал функции .

Решение. Так как , то по формуле полного дифференциала находим

.

Частные производные и называют частными производными первого порядка.

Определение 6 Частными производными второго порядка функции называются частные производные от частных производных первого порядка.

Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

Или ; или ;

Или ; или .

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции имеем:

; и т. д.

Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

Дифференцируя и по переменным х и y , получим:

3 Экстремум функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Определение 7 Точка называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство , ().

Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума , а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума).Если – точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные и в этой точке равны нулю: .

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными . В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь его.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума).Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка . Тогда, если , то функция в точке имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция в точке экстремума не имеет. В случае вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1 Найти частные производные первого порядка: и .

2 Решить систему уравнений и найти критические точки функции.

3 Найти частные производные второго порядка: , , .

4 Вычислить значения частных производных второго порядка в каж-

дой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5 Найти экстремумы функции.

Пример 6 Найти экстремумы функции .

Решение:

1 Находим частные производные и :

; .

2 Для определения критических точек решаем систему уравнений:

или

Из первого уравнения системы находим: . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим:

, , ,

.

Находим значения y , соответствующие значениям . Подставляя значения в уравнение , получим: ; Таблица основных неопределенных интегралов выполняется равенство.

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

.

Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

Непрерывность функции

Функция двух переменных f (x, y), определенная в точке (x 0 , y 0) и в некоторой окрестности ее, называется непрерывной в точке (x 0 , y 0), если предел этой функции в точке (x 0 , y 0) равен значению этой функции f(x 0 , y 0), т.е. если

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Непрерывные функции двух переменных обладают свойствами, аналогичными свойствам непрерывных функций одной переменной.

Если в некоторой точке (x 0 , y 0) условие непрерывности не выполняется, то говорят, что функция f (x, y) в точке (x 0 , y 0) разрывна.

Дифференцирование функции двух переменных

Частные производные первого порядка

Еще более важной характеристикой изменения функции являются пределы:

Предел отношения

называется частной производной первого порядка функции z = f (x, y) по аргументу x (сокращенно - частной производной) и обозначается символами или или

Аналогично, предел

называется частной производной функции z =f (x, y) по аргументу y и обозначается символами или или.

Нахождение частных производных называется частным дифференцированием.

Из определения частной производной следует, что при нахождении ее по одному какому-нибудь частному аргументу, другой частный аргумент считается постоянной величиной. После выполнения дифференцирования, оба частных аргумента снова считаются переменными величинами. Говоря другими словами, частные производные и являются функциями двух переменных x и y.

Частные дифференциалы

Величина

называется главной линейной частью приращения? x f (линейной по отношению к приращению частного аргумента?x). Эта величинаназывается частным дифференциалом, и обозначается символом d x f.

Аналогично

Полный дифференциал функции двух переменных

По определению, полным дифференциалом функции двух переменных, обозначаемым символом d f, называется главная линейная часть полного приращения функции:

Полный дифференциал оказался равным сумме частных дифференциалов. Теперь формулу для полного дифференциала можно переписать так:

Подчеркнем, что формула для полного дифференциала получается в предположении, что частные производные первого порядка

непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y).

Функция, имеющая в точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Чтобы функция двух переменных была дифференцируемой в точке, недостаточно, чтобы она имела в этой точке все частные производные. Необходимо, чтобы все эти частные производные были непрерывными в некоторой окрестности рассматриваемой точки.

Производные и дифференциалы высших порядков

Рассмотрим функцию двух переменных z =f (x, y). Выше уже отмечалось, что частные производные первого

сами являются функциями двух переменных, причем их можно дифференцировать по x и по y. Получаем производные высшего (второго) порядка:

Частных производных второго порядка оказалось уже четыре. Без доказательства высказывается утверждение: Если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они и равны:

Рассмотрим теперь дифференциал первого порядка

Он является функцией от четырех аргументов: x, y, dx, dy, могущих принимать различные значения.

Дифференциал второго порядка вычисляем как дифференциал от дифференциала первого порядка: в предположении, что дифференциалы частных аргументов dx и dy - постоянные величины: