Спектральный (гармонический) анализ сигналов. Спектральный (гармонический) анализ сигналов Гармонический анализ периодических и непериодических сигналов

Главная / Фридрих Шиллер

При разложении периодического сигнала s (t ) в ряд Фурье в качестве ортогональной системы берут гармонические функции вида (3.22):

1, cos w 1 t ,sinw 1 t , cos2w 1 t , sin2w 1 t ,...

..., cos n w 1 t, sin n w 1 t ,... (3.22)

или: ... , , 1 , , ... (3.23)

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом T = 2p/w 1 функции s (t ).

Система функций (3.22) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (3.23) - к комплексной форме . Между этими формами существует простая связь.

Воспользуемся системой комплексных гармоник (3.23), тогда ряд Фурье будет иметь вид:

Совокупность коэффициентов C n ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называется частотным спектром периодического сигнала , а целью гармонического анализа как раз является нахождение коэффициентов ряда Фурье.

Коэффициенты ряда (3.24) легко определяются с помощью ранее встречавшихся формул - из формулы (3.15) следует, что квадрат нормы равен:

Таким образом, независимо от n , норма базисной функции .

Используя формулу для коэффициентов ряда Фурье (3.16) получим:

В (3.25) и (3.26) учтено, что для e jn w 1t комплексно-сопряженной является функция e -jn w 1t .

Коэффициенты C n в общем случае являются комплексными величинами. Воспользуемся формулой Эйлера e ±jx = cos x ± j sin x ,

Получим:

Отсюда косинусная - действительная часть коэффициента C n :

а мнимая - синусная часть :

Коэффициенты С n часто бывает удобно записывать в форме:

Модуль C n является четной функцией относительно n , а аргумент Y n - нечетной (это следует из (3.28) и (3.29)). Используя модуль и аргумент, ряд (3.24) может быть записан:

Отсюда нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (3.32) пару слагаемых, соответствующих ±n (например, n =2) и учитывая что Y -2 =-Y 2 ,
а ½C -2 ½=½C 2 ½, получим для суммы:

Окончательно ряд (3.32) в тригонометрической форме записывается:

Смысл удвоения коэффициентов Фурье C n в тригонометрическом ряде при n ³1 становится ясным, если представить себе сумму двух векторов равной длины и с противоположными аргументами (векторы вращаются с одинаковой скоростью n w 1 , но в разные стороны для положительных и отрицательных частот), и вычислить проекцию этой суммы на ось абсцисс.

После перехода к тригонометрической форме понятие "отрицательных частот" теряет смысл.

Нередко встречается другая форма записи:

Сравнивая (3.35) и (3.34) между собой, можно увидеть, что амплитуда n -й гармоники A n связана с коэффициентом ½C n ½ ряда (3.32):

A n = 2½C n ½; a n = 2C n cos ; b n = 2C n sin

Таким образом, для всех положительных n , включая и n= 0:

Если сигнал представляет собой четную относительно t функцию, т.е. s (t )= s (-t ), то в тригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как
коэффициенты b n в соответствии с (3.36) обращаются в нуль.

Для нечетной относительно t функции s (t ), наоборот, в нуль обращаются коэффициенты a n и ряд состоит только из синусоидальных членов. Другими словами, четные функции имеют вещественный спектр, а нечетные - чисто мнимый.

Две характеристики - амплитудная и фазовая , то есть модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания.

Спектр периодической функции называют линейчатым или дискретным , так как состоит из отдельных линий , соответствующих дискретным частотам 0, w 1 , 2w 1 , 3w 1 ... и так далее.

Математическая запись гармонических колебаний. Амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов. Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты. Спектры непериодических сигналов.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Контрольная работа

Вариант №4

Спектральный (гармонический) анализ сигналов

Литература

спектральный гармонический сигнал колебание

Гармонический анализ - это раздел математики, который изучает возможности представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов. Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание, которое математически можно записать следующим образом:

где Um, f0, 0, и 0 - соответственно амплитуда, частота, угловая частота и начальная фаза колебания.

В гармоническом анализе вводится понятие n-й гармоники периодического колебания частоты щ0, под которой понимают опять же гармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей частоту основного гармонического колебания.

Следующим важным понятием является спектр сигнала. Под спектром сигнала понимают совокупность его гармонических составляющих. Введение понятия спектра сигнала обусловило использование в технических приложениях название спектрального анализа для гармонического анализа сигналов.

1. Спектральный анализ периодических сигналов

Как известно, любой сигнал S(t), описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

где - среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала;

Коэффициенты ряда Фурье;

Основная частота (частота первой гармоники); n=1,2,3,…

Совокупность значений An и n (или при разложении по синусоидальным функциям n) называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоник An характеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы n (или "n) - фазовый спектр.

Таким образом, спектр периодического сигнала представляется в виде постоянной составляющей и бесконечного числа гармонических колебаний (синусоидальных или косинусоидальных) с соответствующими амплитудами и начальными фазами. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

Размещено на http://www.allbest.ru

На рис. 1. приведены амплитудный и фазовый спектры некоторого периодического сигнала. Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезки, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым.

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье комплексную форму его записи, коэффициенты которой объединяют коэффициенты An и n:

Совокупность комплексных амплитуд n называют комплексным спектром периодического сигнала.

Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты и тригонометрической формы записи ряд Фурье.

2. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Прежде чем рассмотреть спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, рассмотрим параметры этих импульсов.

Параметрами одиночного импульса являются амплитуда, длительность импульса, длительность фронта, длительность спада, спад (скол) плоской вершины.

Амплитуда импульса Um измеряется в вольтах.

Длительность импульса измеряется по основанию, на уровнях 0,1Um или 0,5Um. В последнем случае длительность импульса называется активной. Измеряется длительность импульса в единицах времени.

Длительность фронта tф и спада tс измеряется либо на уровне 0 - Um, либо на уровне (0,1-0,9)Um. В последнем случае длительность фронта и спада называют активными.

Скол плоской вершины характеризуется коэффициентом скола? = ?u/Um,

где?u - значение скола; Um - амплитуда импульса.

Параметрами серии импульсов являются период повторения T, частота следования f, скважность Q, коэффициент заполнения, средние значения напряжения Uср и среднее значение мощности Pср.

Период повторения T = tи +tп, где T - период, tи - длительность импульса,
tп - длительность паузы. Измеряются T, tи, и tп в единицах времени.

Частота следования f = 1/T измеряется в герцах и т.д.

Скважность Q = T/tи - величина безразмерная.

Коэффициент заполнения = tи/T - величина безразмерная.

Среднее значение напряжения

Перейдем к рассмотрению амплитудного и фазового спектров сигнала в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов длительностью и амплитудой Um, следующих с периодом T (рис. 2).

Рассмотрим случай, когда середина импульса является началом отсчета времени. Тогда на периоде сигнал описывается выражением

Комплексные амплитуды гармонических составляющих.

Функция является знакопеременной и меняет свой знак на обратный при изменении аргумента n1 на величину?щ = 2р/ф, что соответствует приращению фазы на.

где k - порядковый номер интервала на шкале частот, отсчитываемый с нулевой частоты.

Таким образом, амплитуды гармоник, включая постоянную составляющую, определяются выражением:

а фазы - выражением =1, 2,3,…

Функция характеризует изменение амплитудного спектра сигнала в зависимости от частоты. Она обращается в нуль, при значениях её аргумента, кратных. Отсюда следует, что гармоники с номером n = , где
= 1,2,3,…будут иметь нулевые амплитуды, т.е. отсутствовать в спектре.

Как известно, отношение называется скважностью последовательности импульсов. Таким образом, в спектре рассматриваемой последовательности будут отсутствовать гармоники, номера которой кратны скважности.

Если начало отсчета времени связать с началом импульса, то амплитудный спектр останется без изменений, а фазы гармоник в соответствии со свойством преобразования Фурье получат дополнительный фазовый сдвиг nщ1ф/2. В результате

Выражения для тригонометрической формы записи ряда Фурье при отсчете времени от середины и начала импульса соответственно имеют вид:

На рис. 3. приведены амплитудные и фазовые спектры рассматриваемой последовательности прямоугольных импульсов при скважности, равной двум.

Размещено на http://www.allbest.ru

Фазовые спектры показаны соответственно при отсчете времени от середины и начала импульса. Пунктирные линии на амплитудных спектрах характеризуют поведение модуля спектральной плотности одиночного импульса.

Выражение для значений амплитуд и фаз гармоник легко получить в виде, удобном для расчетов. Так при отсчете времени от середины импульса для скважности, равной двум, имеем

N = 1,3,5,7, …,

3. Спектры некоторых периодических сигналов

В таблице 1 приведены амплитудные и фазовые спектры, а также тригонометрические формы записи рядов Фурье некоторых наиболее часто встречаемых в практике периодических сигналов.

Сигналы №1 и №2 представляют собой последовательности прямоугольных импульсов со скважностью 2 и нулевой постоянной составляющей и отличаются только началом отсчета времени. Обратите внимание на то, что амплитудные спектры этих сигналов совпадают, а фазовые отличаются.

Размещено на http://www.allbest.ru

Сигналы №3 и №4 - последовательности прямоугольных импульсов со

скважностью соответственно 3 и 3/2 и нулевой постоянной составляющей. Амплитудные спектры этих сигналов одинаковы. Обратите внимание на то, что для сигнала №3 в каждом из интервалов Дщ = 2р/ф содержатся две гармоники, а для сигнала №4 в каждом из интервалов Дщ1 = 2р/2ф - только одна гармоника. Вывод о совпадении амплитудных спектров этих сигналов можно сделать также на основании того, что при смещении сигнала №3 на T/2 он является инверсным (т.е. имеющим обратный знак) по отношению к сигналу 4.

Размещено на http://www.allbest.ru

Сигнал №5 - последовательность симметричных импульсов треугольной формы с нулевой постоянной составляющей. При выборе начала отсчета времени, как показано на рисунке в таблице 3.1, все гармоники имеют нулевые начальные фазы.

Сигнал №6 - последовательность так называемых пилообразных импульсов с нулевой постоянной составляющей.

Сигналы №7 и №8 - последовательности импульсов, которые с хорошей точностью аппроксимируют соответственно сигналы, получающиеся при двухполупериодном и однополупериодном выпрямлении синусоидальных сигналов.

Пунктирными линиями на амплитудных спектрах сигналов №1 - №8 изображены спектральные плотности, характеризующие поведение модуля спектральной плотности одиночных импульсов, образующих последовательности.

Сигнал №9 представляет собой колебание частотой щ0, промодулированное по амплитуде колебанием частотой Щ. Такой сигнал называют амплитудно-модулированным колебанием. Коэффициент m носит название коэффициента амплитудной модуляции:

где ДU - амплитуда изменения огибающей амплитудно-модулированного колебания.

4. Спектры непериодических сигналов

Пусть непериодический сигнал описывается функцией S(t), заданной на конечном интервале времени t1 < t < t2, которая удовлетворяет условиям Дирихле и абсолютно интегрируема, т.е.

Последнее физически означает, что сигнал имеет конечную энергию.

Предположим, что сигнал S(t) превращен путем повторения его с произвольным периодом T > t2-t1 в периодический сигнал S1(t). Для этого сигнала применимо разложение в ряд Фурье:

Коэффициенты An в этом случае будут тем меньше, чем больше интервал T, выбранный в качестве периода. Устремляя T к бесконечности, в пределе получаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих. Количество входящих в ряд Фурье гармонических составляющих при этом будет бесконечно большим, так как при T, стремящемся к бесконечности, основная частота сигнала щ = 2р/Т стремится к нулю. Другими словами, расстояние между гармониками, равное основной частоте, становится бесконечно малым, а спектр - сплошным.

В результате при T сигнал S1(t) переходит в сигнал S(t), частота 1 уменьшается до d, a n1 превращается в текущую частоту. Заменяя суммирование интегрированием, получим

Внутренний интеграл, являющийся функцией частоты, называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой () сигнала S(t):

В общем случае, когда пределы t1 и t2 не уточнены

Таким образом, временное и частотное представления непериодических сигналов связаны между собой парой преобразований Фурье.

Комплексная спектральная плотность может быть представлена в следующих видах:

() = S()e-j()=A() + jB(),

где A() = B() =

() = arctg .

Функцию S() называют спектральной плотностью амплитуд непериодического сигнала, а функцию () - спектральной плотностью фаз.

В отличие от спектра периодического сигнала, спектр непериодического сигнала является сплошным (непрерывным). Размерность S() - амплитуда/частота, () - фаза/частота. На каждой конкретной частоте амплитуда соответствующей составляющей равна нулю. Поэтому можно говорить только об амплитудных гармонических составляющих, частоты которых заключены в малом, но конечном интервале частот, + d.

Подчеркнем, что связь между временным и частотным представлением сигнала, даваемая преобразованиями Фурье, существует только для спектральной плотности.

Литература

Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 11-е изд., стер. ; Гриф МО. - М. : Академия, 2007. - 539 с.

Касаткин А.С. Электротехника: учеб. для вузов / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - 9-е изд., стер. ; Гриф МО. - М. : Academia, 2005. - 639 с.

Немцов М.В. Электротехника: учеб. пособие для сред. учеб. заведений / М.В. Немцов, И.И. Светлакова. - Гриф МО. - Ростов н/Д: Феникс, 2004. - 572 с.

Москаленко В.В. «Автоматизированный электропривод». Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1986.

«Электротехника», под ред. В.С. Пантюшина, М.: Высшая школа, 1976.

«Общая электротехника» под ред. А.Т. Блажкина, Л.: Энергия, 1979.

Размещено на Allbest.ru

Подобные документы

Расчет спектральной плотности непериодических сигналов. Спектральный анализ непериодических сигналов. Определение ширины спектра по заданному уровню энергии. Расчет автокорреляционной функции сигнала и корреляционных функций импульсных видеосигналов.

контрольная работа , добавлен 29.06.2010

Спектральный анализ периодического и непериодического управляющих сигналов. Особенности поинтервального описания входного сигнала. Расчет прохождения периодических и непериодических сигналов через линейные электрические цепи первого и второго порядков.

контрольная работа , добавлен 07.03.2010

Спектры сигналов, модулируемых по амплитуде и фазе. Сопоставление их между собой, исходя из зависимости удельной скорости передачи. Искажение формы сигнала при ограничении спектра. Главные особенности и назначение аналоговой и дискретной информации.

контрольная работа , добавлен 01.11.2011

Векторное представление сигнала. Структурная схема универсального квадратурного модулятора. Процесс преобразования аналогового сигнала в цифровой. Наложение и спектры дискретных сигналов. Фильтр защиты от наложения спектров. Расчет частоты дискретизации.

курсовая работа , добавлен 19.04.2015

Исследование спектральных характеристик электроэнцефалограммы. Гармонический анализ периодических и непериодических сигналов, их фильтрация и прохождение через нелинейные цепи. Расчёт сигнала на выходе цепи с использованием метода интеграла Дюамеля.

курсовая работа , добавлен 13.12.2013

Исследование информационных возможностей импульсных систем. Критерии оценки качества формирования и воспроизведения сигналов с импульсной модуляцией. Амплитудно-частотный и фазово-частотный спектры периодической последовательности прямоугольных импульсов.

контрольная работа , добавлен 24.08.2015

Сигнал - материальный носитель информации и физический процесс в природе. Уровень, значение и время как основные параметры сигналов. Связь между сигналом и их спектром посредством преобразования Фурье. Радиочастотные и цифровые анализаторы сигналов.

реферат , добавлен 24.04.2011

Определение спектральной плотности заданного непериодического сигнала, спектра периодической последовательности заданных видеоимпульсов. Определение функции корреляции заданного видеосигнала. Спектральный метод анализа процессов в линейных цепях.

курсовая работа , добавлен 23.02.2012

Изучение свойств спектрального анализа периодических сигналов в системе компьютерного моделирования. Проведение научных исследований и использование измерительных приборов. Изучение последовательности импульсов при прохождении через интегрирующую RC-цепь.

лабораторная работа , добавлен 31.01.2015

Использование в системах последовательности одиночных сигналов. Последовательности одиночных сигналов. Корреляционная функция закона модуляции последовательности одиночных сигналов. Монохроматический сигнал. Энергетический спектр принятого сигнала.

При разложении периодического сигнала s (t ) в ряд Фурье по тригонометрическим функциям в качестве ортогональной системы берут

Интервал ортогональности в обоих случаях совпадает с периодом
функцииs (t ).

Система функций (1.18) приводит к тригонометрической форме ряда Фурье, а система (1.19) - к комплексной форме. Между этими двумя формами существует простая связь.

Воспользуемся сначала ортогональной системой (1.19). Тогда ряд Фурье должен быть записан в форме

Совокупность коэффициентов с п ряда Фурье в базисе тригонометрических функций называетсячастотным спектром периодического сигнала. Коэффициенты ряда (1.20) с п легко определяются с помощью формул, приведенных в предыдущем параграфе.

Из формулы (1.16) следует, что

. (1.21)

Таким образом, независимо от п норма
. Используя формулу (1.9), получаем

. (1.22)

В выражениях (1.21) и (1.22) учтено, что функции
соответствует комплексно-сопряженная функция

Коэффициенты с п в общем случае являются комплексными величинами. Подставив в (1.22)

Косинусная (действительная) и синусная (мнимая) части коэффициента с n определяются формулами

,
. (1.24)

Коэффициенты часто бывает удобно записывать в форме

, (1.25)

,
. (1.26), (1.27)

Модуль является функцией, четной относительноп , а аргументпоказывающих, чтоявляется четной,aнечетной функциями п .

Общее выражение (1.20) можно привести к виду

. (1.28)

Теперь нетрудно перейти к тригонометрической форме ряда Фурье. Выделив из ряда (1.28) пару слагаемых, соответствующую какому-либо заданному значению |n|, например |n|=2, и, учтя соотношения
,
получим для суммы этих слагаемых

Отсюда видно, что при переходе к тригонометрической форме ряд (1.28) необходимо записать следующим образом:

. (1.30)

Смысл удвоения коэффициентов Фурье c n в тригонометрическом ряду прип > 1 становится ясным из рассмотрения векторной диаграммы (рис. 1.3), соответствующей (1.29) при |n|=2. Вещественная функция
получается как сумма проекций на горизонтальную осьОВ двух векторов длиной |с n | , вращающихся с угловой частотой
во взаимно противоположных направлениях. Вектор, вращающийся против часовой стрелки, соответствует положительной частоте, а вектор, вращающийся по часовой стрелке, - отрицательной. После перехода к тригонометрической форме понятие «отрицательная частота» теряет смысл. Коэффициентc Q не удваивается, так как в спектре периодического сигнала составляющая с нулевой частотой не имеет «дублера».

Вместо выражения (1.30) в математической и радиотехнической литературе часто встречается следующая форма записи:

причем
.

Рис. 1.3. Представление гармонического колебания в виде двух комплексных

составляющих: с положительной и отрицательной частотами

Из сопоставления выражений (1.31) и (1.30) видно, что амплитуда п -й гармоникиА п связана с коэффициентом |с n | ряда (1.28) соотношением

, а
,
.

Таким образом, для всех положительных значений п (включая ип = 0)

,
. (1.32)

Если сигнал представляет собой функцию, четную относительно t , т. е.s (t )= s (-t ), втригонометрической записи ряда остаются только косинусоидальные члены, так как коэффициентыb п в соответствии с формулой (1.32) обращаются в нуль. Для нечетной относительноt функцииs (t ) , наоборот, в нуль обращаются коэффициентыа п и ряд состоит только из синусоидальных членов.

Две характеристики - амплитудная и фазовая, т. е. модули и аргументы комплексных коэффициентов ряда Фурье, полностью определяют структуру частотного спектра периодического колебания. Наглядное представление о «ширине» спектра дает графическое изображение спектра амплитуд. В качестве примера на рис. 1.4.а, построен спектр коэффициентов | с п |, а на рис. 1.4,б - спектр амплитудА п = 2|с п | для одного и того же периодического колебания. Для исчерпывающей характеристики спектра подобные построения должны быть дополнены заданием начальных фаз отдельных гармоник.

Рис. 1.4. Коэффициенты комплексного (а) и тригонометрического (б) рядов Фурье периодической функции времени

Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным ,так как состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотами т. д.

Использование для гармонического анализа сложных периодических колебаний рядов Фурье в сочетании с принципом наложения представляет собой эффективное средство для изучения влияния линейных цепей на прохождение сигналов. Следует, правда, отметить, что определение сигнала на выходе цепи по сумме гармоник с заданными амплитудами и фазами является непростой задачей, особенно если не обеспечивается быстрая сходимость ряда Фурье, представляющего входной сигнал. Наиболее распространенные в радиотехнике сигналы не соответствуют этому условию, и для удовлетворительного воспроизведения формы сигналов обычно необходимо суммировать большое число гармоник.

Гармонический анализ – это раздел математики, который изучает представления функций в виде тригонометрических рядов и интегралов.

В 1807 Жан Батист Жозеф Фурье высказал идею о том, что периодическая функция (2.1) может быть представлена в виде синусоидальных и/или косинусоидальных функций различных частот, умноженных на некоторые коэффициенты.

4.1.1. Инвариантность синусоиды

Если входной сигнал – это гармоническое колебание (функция времени синусоида/косинусоида) (2.2)

то выходной сигнал линейной системы будет также синусоидальный той же частоты , хотя амплитуда и начальная фазамогут отличаться от первоначальных значений. Таким образом, форма сигнала сохраняется, так как в линейной системе с сигналом возможны только такие операции как умножение на постоянную величину, дифференцирование, интегрирование, задержка и суммирование.

На практике используют и иные способы представления сигналов. В отображении сигналов, наряду с синусоидальной функцией, широко применяется комплексная экспоненциальная функция вида

Рисунок 4.1 иллюстрирует графическое представление этой функции.

Рисунок 4.1

Функция отражает положение комплексного числана единичной окружности в комплексной плоскости, где на оси абсцисс представлена его действительная часть, а на оси ординат – его мнимая часть. Выражениюсоответствует точка, расположенная на единичной окружности в комплексной плоскости. Прямая, соединяющая эту точку с началом координат комплексной плоскости образует с действительной осью уголТочка движется по окружности против часовой стрелки со скоростью– поэтомуназывают круговой частотой. Выражениепредставляет собой единичный вектор, угол которого линейно нарастает со временем со скоростьюВыражениесоответствует вектору, угол которого линейно нарастает со временем в противоположном направлении с той же скоростьюПоскольку

* ,

то и являются сопряженными функциями.

4.1.2. Представление периодической функции рядом Фурье

Основным понятием в гармоническом анализе является гармоническое колебание. В гармоническом анализе вводится понятие n -й гармоники периодического колебания частоты , под которой понимаютгармоническое колебание с частотой, в п раз превышающей основную частоту . Например, выполняет два колебания за каждые секунд.

Как известно, любой сигнал , описываемый периодической функцией времени, удовлетворяющей условиям Дирихле (модели реальных сигналов им удовлетворяют), можно представить в виде суммы гармонических колебаний, называемой рядом Фурье:

где – среднее значение сигнала за период или постоянная составляющая сигнала, {– множества коэффициентов.

(4.3)

(4.4)

Из формул (4.2 – 4.4) следует, что функцию можно представить множеством действительных чисел {}.

4.1.3. Комплексная форма ряда Фурье

С целью упрощения расчетов часто используют вместо тригонометрической формы записи ряда Фурье его комплексную форму. Расчет спектров сигналов в комплексной области значительно проще, поскольку нет необходимости рассматривать отдельно коэффициенты итригонометрической формы записи ряд Фурье.

С учетом формул Эйлера

где – комплексная экспоненциальная функция,

В этом случае определяется множеством комплексных чисел

где

Совокупность комплексных амплитуд называют комплексным спектром периодического сигнала. На рисунке 4.1 показана геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рисунок 4.1

Угол отражает ориентацию комплексного вектора относительно направления действительной оси.

Совокупность значений и n называется спектром периодической функции. Амплитуды гармоникхарактеризуют амплитудный спектр, а начальные фазы– фазовый спектр.

Рисунок 4.1– Амплитудный спектр сигнала

Рисунок 4.2– Фазовый спектр сигнала

Каждая гармоническая составляющая изображена вертикальными отрезками, длины которых (в некотором масштабе) равны ее амплитуде и фазе. Как видно, спектр периодического сигнала является дискретным или, как говорят, линейчатым. Частоты всех гармоник кратны основной частоте. Это означает, что если периодический сигнал следует с частотой, например, 1 кГц, то в его спектре могут быть только частоты 0кГц, 1 кГц, 2 кГц и т.д. В спектре такого периодического сигнала не могут присутствовать, например, частоты 1,5 кГц или 1,2 кГц.

4.2. Преобразование Фурье

Когда функция не является периодической (но площадь под графиком ее модуля конечна), она может быть выражена в виде интеграла от синусов и/или косинусов, умноженных на некоторую весовую функцию, а именно

(4.5)

где непрерывная круговая частота. Поскольку, преобразование (4.5) основано на множестве синусоидальных функций. Имеется аналогия между функцией и коэффициентами ряда Фурье. Функция называется частотным спектром сигнала. указывает вес, который придается выражению

Определение 4.1. Прямое преобразование Фурье (Фурье-образ) непрерывной функции называется функция

. (4.6)

Значение функции в области ее определения определяется интегралом по всем значениям функции . В свою очередь, значения функции умножаются на синусы и косинусы разных частот. Область значений переменной , на которой принимает свои значения функция, называется частотной областью, поскольку значение переменнойопределяет частоты составляющих преобразование. Значения переменнойтакже влияет на частоты, но так как по этой переменной производится интегрирование, это влияние одинаково для всех значений переменнойПреобразование Фурье можно представить призмой, которая разлагает функцию на различные составляющие в зависимости от ее частотного содержания. Преобразование Фурье описывает функцию с помощью совокупности составляющих ее частот.

Определение 4.2. Функция может быть полностью восстановлена при помощи обратного преобразования Фурье (4.5).

Это свойство позволяет работать в Фурье-области, а затем вернуться

во временную область определения функции без потери информации. Так как любая функция может быть представлена совокупностью синусоид и/или косинусоид, линейное преобразование произвольного сигнала может анализироваться в три этапа:

– представлять сигнал в виде комбинации синусоид;

– рассчитывать отклик на каждую из этих отдельных синусоид;

– комбинировать отдельные результаты.

4.3. Дискретная комплексная экспоненциальная последовательность

В цифровых системах сигналы определяются лишь для дискретных значений времени В этом случае сигнал (4.1), записанный каккомплексная экспоненциальная функция, преобразуем следующим образом:

Для нормированной частоты

выражение (4.7) можно представить в виде

Определение 4.3. Функция называется дискретнойкомплексной экспоненциальной последовательностью.

Вещественная и мнимая часть последовательности (4.8) меняется синусоидально в зависимости от По аналогии с непрерывным временем параметрназывается круговой частотойдискретной комплексной экспоненты. В формуле (4.8) частота измеряется в радианах.

4.3. Дискретизированное по времени преобразование Фурье

Пара преобразований Фурье для дискретизированного сигнала имеет вид

, (4.8)

. (4.9)

Для упрощения записи формул преобразования Фурье далее используется обозначение нормированной частоты какТогда формула

(4.10)

определяет дискретизированное по времени прямое преобразование Фурье или Фурье-образ последовательности называют также спектральной функцией. Поскольку– непрерывная периодическая функция частоты, она может быть выражена рядом Фурье. Формула (4.10) представляет собой разложение периодической функциив виде ряда Фурье, в котором коэффициентами Фурье являются значения отсчетовпоследовательности .

(4.11)

называют обратным преобразованием Фурье.

Обратное преобразование Фурье (4.11) можно трактовать как представление последовательности черезнепрерывную периодическую функцию частоты .Последовательность можно рассматривать в виде суперпозиции экспоненциальных сигналов с комплексными амплитудами

Замечание. Пара преобразований Фурье существует только тогда, когда ряд (4.10) сходится.

Фурье-образ последовательности в алгебраической и показательной форме записывается как

Совокупность значений ихарактеризуют амплитудный спектр и фазовый спектрпоследовательности

4.4. Дискретное преобразование Фурье

4.4.1. Конечные дискретные комплексные экспоненциальные функции

Как отмечалось ранее, для описания дискретных линейных стационарных систем в континуальном спектральном анализе используются дискретные комплексные экспоненциальные последовательности вида

Данная система функций составляет счетное бесконечное множество и определена на бесконечном интервале частоты

Экспоненциальная последовательность может быть задана на конечном интервале времени , где – целое положительное число. Тогда величинаопределяет основной периоддискретной комплексной экспоненциальной последовательности. В этом случае значение

–основная линейная частота последовательности. Основная круговая частота

определяет период дискретизации по частоте. Абсолютное значение непрерывной частоты Далее преобразуем сигнал(4.14)следующим образом:

В дискретном преобразовании Фурье используется система комплексных дискретных экспоненциальные функции (ДЭФ), определяемых выражением

Введем обозначение . Тогда

Переменная называется поворачивающим множителем. Переменныеипринимают целочисленные значенияТак как показатель степени комплексного числасо знаком „плюс“, то функцияописывает точку, которая движется по окружности в направлении часовой стрелки. В выражении (4.15) переменные времени и частоты изменяются дискретно, в отличие от (4.14), где время изменяется дискретно, а частота непрерывно. Заметим, что огибающая дискретных значенийфункции соответствуетфункции Рисунок 4.3 иллюстрирует графическое представление этой функции.

Рисунок 4.3

Если переменная последовательно принимает значениято черезшагов, комплексный вектор проходитрадиан или совершает один оборот на комплексной плоскости. Вращаясь, вектор ДЭФ занимает на плоскости толькофиксированных положений. Выражениепредставляет собой единичный вектор на комплексной плоскости, угол которого линейно нарастает со временем. Модуль комплексного числаравена его аргумент

Пример 4.1. Пусть Значения фазы вектора ДЭФ длясоответственно равныСледовательно, при увеличениифаза ДЭФ нарастает по линейному закону.

Пример 4.2. Пусть Значения фазы вектора ДЭФ длясоответственно равны

Через 8 шагов комплексный вектор проходит радиан или совершает два оборота на комплексной плоскости за тоже время (пример 4.1)

где – интервал дискретизации.

Скорость нарастания фазы вектора ДЭФ определяет номерМожно сказать, что фаза ДЭФ нарастает со скоростьюрадиан. В примере 4.2 со скоростью

Величина полной фазы за дискретное время определяется как

где – скорость изменения фазы ДЭФ или частота этой функции. Таким образом, частота ДЭФ – это число оборотов, совершаемых вектором ДЭФ на интервале ее определения

Пример 4.3. Вычисление значений ДЭФ.

Решение.

На рисунке 4.4 показаны положения вектора ДЭФ на комплексной плоскости примера 4.3.

Рисунок 4.4

Систему ДЭФ записывают в виде матрицы строки которой нумеруются переменнойстолбцы переменной. В пересечении -й строки и-го столбца записывается величина:

Например, для матрицаимеет следующий вид:

. (4.16)

Если подставить в эту матрицу числовые значения степенного ряда , то

. (4.17)

На рисунке 4.5 показаны положения вектора ДЭФ и ее значения на комплексной плоскости, соответствующие матрице (4.17).

Рисунок 4.5

4.4.2. Свойства дискретных экспоненциальных функций

1. Функции ортогональны, т.е.

(4.18)

Так как , то

Следствием свойства ортогональности является:

– скалярное произведение различных двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно нулю;

– скалярное произведение одинаковых двух строк матрицы , одна из которых должна быть комплексно сопряженной, равно.

Действительно, Суммаединиц даст число

Матричная запись свойства ортогональности имеет вид

где – единичная матрица.

2. Периодичность:

если то. (4.19)

Поскольку ДЭФ являются периодическими функциями, матрицу (4.16) можно переписать с минимальными фазами , образующимися после вычитания из значенияцелого числа периодовт.е.

Для матрицу ДЭФ (4.16) с минимальными фазами

3. Симметричность.

ДЭФ является функцией двух переменных Выводы относительно одной из переменных справедливы и для другой. Тогда

4. Обратная матрица ДЭФ.

Из свойства ортогональности . Умножим обе части этого равенства слева на

5. Мультипликативность:

– по строкам

– по столбцам

Действительно, . При умножении любых двух строк (столбцов) матрицыполучается строка (столбец) той же матрицы. Номер полученной строки (столбца) равен сумме номеров сомножителей.

4.4.3. Определение дискретного преобразования Фурье

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) последовательности определяется как дискретная последовательности в частотной области (экспоненциальная форма)

где – индексДПФ в частотной области, – временной входной последовательности отсчетов сигнала.

Дискретное преобразование Фурье устанавливает связь между временным и частотным представлениями сигнала при разложении его по конечным дискретным экспоненциальным функциям.

Обратное ДПФ (ОДПФ) имеет следующий вид:

Взаимная обратимость выражений (4.21) и (4.22) доказывается подстановкой вт.е.

(4.23)

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.23),

(4.24)

В силу ортогональность ДЭФ внутренняя сумма отлична от нуля только при В этом случае, правая часть выражения (4.24) равна

Тригонометрическая форма ДПФ:

Замечание. Принципиальное различие между дискретизированным по времени преобразованием Фурье и ДПФ обусловлено характером системы функций и {}, а именно:

– огибающая дискретных значений функции соответствует функции

– конечный интервал времени задания функции ;

– периодической структурой отсчетов восстанавливаемой последовательности

4.4.4. Свойства дискретного преобразования Фурье

1. Периодичность. Свойство периодичности ДЭФ приводит к выражениям

Действительно,

Обычно ограничиваются рассмотрением одного периода длиной во временной и в частотной области. Это позволяет определить матричную форму ДПФ:

– прямое ДПФ (4.25)

где и– векторы

отсчетов последовательности спектральных коэффициентов и сигнала соответственно;

– обратное ДПФ . Используя формулу (4.20), получаем

2. Линейность. Класс линейных систем определяется линейными операциями или принципом суперпозиции. Если и входные последовательности, а и соответственно их ДПФ, то при подаче на вход последовательности систему называют линейной тогда и только тогда, когда выполняется

где ипроизвольные постоянные параметры (константы). Спектр последовательности равен

3. Инвариантность ДПФ относительно сдвига по времени и частоте:

1. Инвариантность относительно циклического сдвига по времени. Если последовательность имеет ДПФ, то ДПФ последовательностиравно

Рассмотрим две последовательности и. Формы последовательности показаны на рисунке 4.6.а,б.

Рисунок 4.6

ДПФ последовательности равно

Заменяя индекс суммирования и введя новую переменную, получим

где ). Тогда

Таким образом, при сдвиге дискретного сигнала по времени изменениям подвергаются только фазы дискретных функций (фазовый спектр), амплитудный спектр не изменяется.

2. Инвариантность относительно сдвига по частоте. Если спектральной последовательности соответствует последовательностьто при сдвиге последовательностиисходная последовательностьполучит фазовый сдвиг, т.е.

Пусть ОбратноеДПФ последовательности равно

Заменяя индекс суммирования , и введя новую переменную, получим

где ).

4. Теорема о свертке. Если исходные последовательности отсчетов сигналов иимеют конечные периоды, их циклическая свертка определяется формулой

, 𝑛 = 0, 1,…, 𝑁–1.

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.27).

. (4.28)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (4.28) как

(4.29)

Таким образом, спектр свертки равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей. Коэффициенты свертки вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (4.29) позволяет вычислить коэффициенты свертки при помощи ДПФ по формуле

При больших величинах 𝑁 на практике применяют эффективные алгоритмы вычисления свертки с использованием быстрых преобразований Фурье.

5. Теорема о корреляции. По определению (2.13) корреляционная функция двух конечных последовательностей равна

, для 𝑛 = 0, 1,…,𝑁–1.

Вычислим ДПФ последовательности

Так как не зависит от, изменяем порядок суммирования в (4.30).

. (4.31)

Используя свойство инвариантности относительно циклического сдвига по времени, можно записать составляющую выражения (4.31) как

Таким образом, спектр корреляционной функции равен произведению спектров сворачиваемых последовательностей, причем один из спектров берется в комплексном сопряжении.

Коэффициенты корреляционной функции вычисляются на основе ОДПФ по формуле

Теорема (4.32) позволяет вычислить коэффициенты корреляционной функции при помощи ДПФ по формуле

На практике применяют эффективные алгоритмы вычисления корреляционной функции с использованием быстрых преобразований Фурье.

6. Теорема Парсеваля. Пусть последовательности ибудут идентичными. В этом случае теорема о корреляции записывается как

Коэффициенты корреляционной функции, вычисляются на основе выражения ОДПФ, т.е.

(4.33)

В частном случае, для равенство (4.33) сводится к соотношению

(4.34)

Из (4.34) следует, что энергия сигнала, вычисленная во временной области (по переменной ) равна энергии сигнала, вычисленной в частотной области. Каждая величинапредставляет собой мощность дискретной гармоники, имеющей частоту с номером.

5. Предварительное задание

5.1. Вычислить значения ДЭФ:

5.2. Функции системы ДЭФ записать в виде матрицы размерностью

5.3. Вычислить спектр дискретизированного сигнала, показанного на рисунке 5.1, с помощью ДПФ. Построить графики амплитудного и фазового спектров.

Рисунок 5.1

5.4. По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить исходные значения отсчетов сигнала.

5.5. Вычислить автокорреляционную функцию (АКФ) последовательности Построить графики входного сигнала и АКФ.

5.6. Вычислить автосвертку последовательности Построить график свертки.

6. Лабораторное задание

6.1. Провести вычисления, подтверждающие свойства 1, 2, 5 дискретных экспоненциальных функций.

6.2. Вычислить спектр дискретизированного сигнала (п. 5.3), сдвинутого по времени на интервалов дискретизации. Построить графики сигнала, амплитудного и фазового спектров.

6.3. По полученным значениям ДПФ с помощью ОДПФ восстановить значения отсчетов сигнала (п. 6.2). Построить график восстановленного дискретизированного сигнала.

6.4. Используя исходные данные, полученные у преподавателя, вычислить корреляционную функцию:

– по определению;

– с помощью ДПФ. Построить график КФ.

6.5. Используя исходные данные (п. 6.4) вычислить свертку:

– по определению;

– с помощью ДПФ. Построить график свертки.

6.6. Используя исходные данные (п. 6.4), провести вычисления, подтверждающие теорему Парсеваля.

7.1. Решение задач предварительного задания.

7.2. Расчеты и графики лабораторного задания.

7.3. Анализ результатов и выводы.

8. Контрольные вопросы

8.1. При каких условиях возможно представление непрерывного сигнала его дискретными значениями?

8.2. Что выражает корреляционная функция (АКФ, ВКФ)?

8.3. Поясните метод спектрального анализа.

8.4. Поясните понятие «спектр сигнала».

8.5. Поясните понятие « разложение сигнала в ряд Фурье».

8.6. При каких условиях точность приближения сигнала рядом Фурье повышается?

8.7. Поясните различия комплексной экспоненциальной функции, дискретной комплексной экспоненциальной функции и конечной дискретной комплексной экспоненциальной функции.

8.8. Поясните свойства ДЭФ.

8.9. Поясните свойства ДПФ.

8.10. Поясните различия ряда Фурье, преобразования Фурье, дискретизированного по времени преобразования Фурье и дискретного преобразования Фурье.

Литература

1. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов.– М.: Техносфера, 2006.

2. Теория прикладного кодирования: Учеб. пособие. В 2 т. В.К. Конопелько, 3. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход: Пер. с англ. ‒ М.: Издательский дом «Вильямс», 2008.

4. Овсянников В.А. Методы формирования и цифровой обработки сигналов. Учебное пособие для студентов специальности «Радиосвязь, радиовещание и телевидение» в 2-ух частях. ‒ Мн.: БГУИР 2010.

5. Лайонс Р. Цифровая обработка сигналов.- М.: Бином-Пресс, 2006.

6. Смит С. Цифровая обработка сигналов. Практическое руководство для инженеров и научных работников: Пер. с англ. ‒ М.: Додека-XXI, 2008.7. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов/ А.Б. Сергиенко-СПб.: Питер, 2003.

8. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. А.И. Солонина, Улахович Д.А. и др. - СПб: БХВ – Петербург, 2003.

9. Лосев В.В. Микропроцессорные устройства обработки информации. Алгоритмы цифровой обработки: Учебное пособие для вузов. – Мн: Выш. школа, 1990.

5. Быстрое преобразование Фурье

Существует два класса алгоритмов вычисления преобразования Фурье обычное дискретное преобразование Фурье и быстрое дискретное преобразование Фурье (БПФ). Быстрый алгоритм позволяет эффективно вычислять ДПФ. При этом сокращается количество выполняемых арифметических операций, а также объем памяти, необходимый для вычисления ДПФ. В результате многие задачи спектрального анализа, обработки сигналов за счет уменьшения вычислительной сложности решаются в реальном времени.

5.1. Вычислительная сложность дискретного преобразования Фурье

Рассмотрим матричную форму ДПФ (4.25), (4.26):

– прямое ДПФ ,

– обратное ДПФ .

Если – комплекснозначная последовательность, то для вычисления одного коэффициента ДПФ потребуется выполнитьумножений исложений комплексных чисел, т.е. сложность оценивается как

комплексных умножений

комплексных сложений

2.4.3. Дискретное преобразование Уолша-Адамара

Пусть сигнал представлен совокупностью своих равноотстоящих отсчетов),. Выражения

B(h)=,h=0,1,2,…,N-1,
S(x)=,h=0,1,2,…,N-1,

образуют пару дискретных преобразований Уолша-Адамара в показательной форме, формула (13) называется прямым преобразованием Уолша-Адамара (ДПУА) и дает спектр сигнала в базисе Уолша, формула (14) называется обратным преобразованием Уолша-Адамара.

Матрицей Адамара называется ортогональная квадратная матрица, элементами которой являются действительные числа 1 и -1. Простейшей матрицей Адамара является матрица порядка два:

Для построения матрицы Адамара порядка используется матрицаи теорема: если- матрица Адамара порядка, то

является матрицей Адамара порядка .

Используя матрицу Адамара, запишем преобразования (15) и (16) в матричной форме:

где B = – вектор коэффициентов преобразования Уолша-Адамара;

S = – вектор отсчетов входного сигнала;

H - матрица Адамара порядка N.

Вычисление по формулам (13), (14) требует N(N-1) операций. Существуют быстрые алгоритмы (быстрые преобразования Адамара (БПУА)), которые требуют только N logN операций. Их сущность заключается в разбиении матрицы Адамара в произведение слабозаполненных матриц. Процесс умножения на матрицу Адамара заключается в последовательном умножении на слабозаполненные матрицы.

Вывод: Вычислительные преимущества БПУА по сравнению ДПУА следующие: ДПУА требует N(N-1) операций, а БПУА требуют только N logN операций. Таким образом, вычислительная экономия составляет N(N-1) / N logN. Например, если N=1024, то выигрыш составит 1024(1024-1)/1024 log1024=102,3 раза.

2.4.4. Дискретное косинусное преобразование

Дискретное косинусное преобразование непосредственно связано с ДПФ. Недостаток ДПФ заключается в том, что спектральные коэффициенты носят комплексный характер. Однако можно осуществить такое преобразование множества отсчетов сигнала Х(n), в котором используется только реальная часть ядра преобразования ДПФ, т.е. только члены, связанные с соs. Используя запись ДПФ, получаем выражения для прямого (17) и обратного (18) ДКП:

C(k) = ,k,
X(n) = ,n ,

где с(k) = дляk0,

Матричная форма записи ДКП имеет вид:

Прямое одномерное ДКП

где матрица дискретного множества функций ДКП размером (NN);

– вектор-столбец отсчетов сигнала размером (N1).

Обратное одномерное ДКП

K,n{0,1,…,N-1},

Прямое ДКП двухмерного фрагмента изображения размером (NN) запишется как

где – матрица спектральных коэффициентов ДКП размером (NN);

– сигнальная матрица размером (NN);

– матрица ДКП размером (NN) в соответствии с формулой (19):

где - матрица ДКП размером (NN):

;

Прямое двухмерное преобразование ДКП в матричной форме имеет вид:

Обратное преобразование в матричной форме записывается как

2.4.5. Дискретное преобразование Хартли

К линейному ортогональному преобразованию относится и преобразование Хартли (ПХ). Это преобразование связано с преобразованием Фурье, результат выражается действительными числами, но в отличии от косинусного прямое и обратное преобразования Хартли совпадают, что может обеспечить экономию аппаратных средств.

Прямое и обратное одномерное ПХ записывается следующим образом:

,
,

где cas() =cos()+sin();

Круговая частота;

t – время.

Дискретное одномерное преобразование Хартли (ДПХ) имеет вид

K{0,1,…,N-1},

где .

Выражение (29) задает коэффициенты разложения (коэффициенты Хартли) некоторой действительной функции g(n) по дискретным функциям , причемg(n) задана на дискретном множестве аргументов n{0,1,…,N-1}.

Используя свойство ортогональности функций, можно получить выражение для обратного одномерного дискретного преобразования Хартли (ОДПХ):

g(n)=, n{0,1,…,N-1},

Матричная форма записи одномерного прямого ДПХ имеет вид

K, n{0,1,…,N-1},

где =- матрица дискретного множества ортогональных функций ДПХ размером (NN);

– вектор-столбец спектральных коэффициентов ДПХ размером (N1);

– вектор-столбец дискретных значений (отсчетов) сигнала.

Обратное одномерное ДПХ в матричной форме записи представляется как:

K, n{0,1,…,N-1},

Прямое ДПХ двухмерного фрагмента изображения размером (NN) запишется в виде

, ,{0,1,…,N-1},

где – сигнальная матрица размером (NN);

– матрица спектральных коэффициентов ДПХ размером (NN);

– квадратная матрица ДПХ размером (NN):

Отметим, что матрицы преобразований прямого и обратного ДПХ идентичны, так как =.

Спектральный метод

Применение ДПФ для сравнения матриц (фрагментов изображений):

а) Строим матрицу прямого ДПФ

Транспонированное ядро ДПФ:

При этом допускают все известные способы распараллеливания векторно-матричных операций. Если пользоваться обычным правилом умножения матрицы на вектор, то вычисления векторов x и X требуют операций комплексного умножения иN(N-1) операций комплексного сложения.

2. Быстрое преобразование Фурье включает набор эффективных алгоритмов, предназначенных для вычисления ДПФ. Идея БПФ по своей природе заключается в следующем. Величина N, определяющая длину входной последовательности отсчетов, раскладывается на сомножители, затем вычисляются отдельные ДПФ меньших длин, чем N, из которых потом формируется выходная последовательность. Происходит так называемое расщепление исходного алгоритма на комбинацию подобных алгоритмов меньшего размера. БПФ содержит число мультипликативных операций (операций комплексного умножения) , число аддитивных операций (операций комплексного сложения).

Вывод: Вычислительные преимущества БПФ по сравнению ДПФ следующие: БПФ содержит операций комплексного умножения в отличие отпри ДПФ, таким образом, вычислительная экономия составляет/. Например, еслиN=1024, то экономия составляет 204,8 раза. БПФ содержит операций комплексного сложения в отличие отN(N-1) при ДПФ таким образом, вычислительная экономия составляет N(N-1) / . Например, еслиN=1024, то экономия составляет 102,3 раза.

Универсальность гармонического колебания заключается также в том, что любой периодический сигнал может быть составлен (в этом случае говорят: синтезирован) только из гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Раздел теории сигналов, который занимается разложением сигналов на гармонические составляющие, называется гармоническим анализом сигналов или Фурье-анализом. Основные положения этой теории заключаются в следующем.

Любой периодический сигнал с периодом Т может быть представлен суммированием определенного набора гармонических колебаний с круговыми частотами, равными ωn=nω1= =2πn/T, где n - номер гармоники (натуральное число). При этом гармонику с номером n = 1 называют основной гармоникой, а гармоники с номерами n > 1 - высшими гармониками. В общем случае количество таких гармоник может быть бесконечным. Сигнал, представленный суммой гармоник, может быть записан в виде:

Коэффициенты an и bn выражения (4.6) определяются интегрированием сигнала на интервале времени, равном периоду, по правилам

(4.8)

(4.9)

Представление периодического сигнала в виде набора гармонических составляющих называется спектром. Такое разложение периодического сигнала также называют рядом Фурье. Выражение (4.6) может быть представлено в другой форме:

(4.10)

где амплитуда An (4.11)

Графическое представление спектра сигналов выполняют в виде набора вертикальных отрезков, начинающихся на оси абсцисс (на оси частот). При этом положение отрезка на оси абсцисс (от начала координат) отражает частоту соответствующей гармоники, а длина отрезка соответствует амплитуде этой гармоники.

Операция формирования сложного сигнала из набора гармоник называется синтезом сигнала. На практике для синтеза сигналов обычно используют не бесконечный ряд, а ограниченный набор гармоник (его называют усеченным рядом Фурье). Понятно, что если сигнал будет представлен неполным набором гармоник, его форма будет искажена. Одной из задач синтеза сигналов является формирование сигналов с допустимыми искажениями из ограниченного набора гармоник.

В качестве примера рассмотрим формирование сигнала, близкого к прямоугольному, из усеченного ряда Фурье. На рисунке 4.6 представлены сигналы, полученные суммированием первых гармоник, выбранных из полного ряда Фурье. На рисунке 4.6,а пунктиром изображен меандр (симметричный прямоугольный сигнал) m(t), сплошной линией - уровень первой гармоники a1(t), содержащейся в этом сигнале. На рисунке 4.6,б изображен спектр первой гармоники s1(f). Спектр гармонического (синусоидального) колебания содержит только одну составляющую на частоте f = f1 = 1/Т, где Т - период колебаний. Периоды исходного прямоугольного сигнала и его первой гармоники совпадают.

Рис. 4.6 Формирование прямоугольного сигнала из суммы первых гармоник: а), в), д) - временное представление первых гармоник меандра и их суммы; б), г), е) - спектральное представление соответствующих наборов гармоник

На рисунке 4.6,в пунктиром изображены первая и третья гармоники, содержащиеся в меандре, а сплошной линией - их сумма. Заметим, что у симметричных сигналов (в том числе и у меандра) все гармоники с четными номерами отсутствуют (точнее, их значения равны нулю). Спектры первых трех гармоник приведены на рисунке 4.6,г (уровень второй гармоники равен нулю). На рисунке 4.6,д приведены первые четыре ненулевые гармоники (то есть гармоники с номерами 1, 3, 5 и 7) и их сумма. На рисунке 4.6,е показаны их спектры.

На рисунке видно, что с увеличением количества гармоник форма синтезированного сигнала все более приближается к прямоугольной, а различие между прямоугольной волной и сигналом, образованным суммой гармонических составляющих, становится все меньше.

В заключение следует добавить, что в ряд Фурье можно разлагать только периодические сигналы, для анализа же непериодических сигналов используется аппарат интегралов Фурье.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Подобные документы

Выбор редакции