Теорема об изменении количества движения материальной. Теоремы об изменении количества движения точки и системы

Для материальной точки основной закон динамики можно представить в виде

Умножая обе части этого соотношения слева векторно на радиус-вектор (рис. 3.9), получаем

(3.32)

В правой части этой формулы имеем момент силы относительно точки О. Преобразуем левую часть, применив формулу производной векторного произведения

Но как векторное произведение параллельных векторов. После этого получаем

(3.33)

Первая производная по времени момента количества движения точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра.

Рисунок 3.12

; ;

При заданных входных данных кинетический момент системы

Теорема об изменении кинетического момента системы. К каждой точке системы приложим равнодействующие внешних и внутренних сил. Для каждой точке системы можно применить теорему об изменении момента количества движения, например в форме (3.33)

Суммируя по всем точкам системы и учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, получим

По определению кинетического момента системы и свойству внешних и внутренних сил

поэтому полученное соотношение можно представить в виде

Первая производная по времени кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна главному моменту внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

3.3.5. Работа силы

1) Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиус вектора точки приложения силы (рис. 3.13)

Рисунок 3.13

Выражение (3.36) можно записать также в следующих эквивалентных формах

где - проекция силы на направление скорости точки приложения силы.

2) Работа силы на конечном перемещении

Интегрируя элементарную работу силы, получим следующие выражения для работы силы на конечном перемещении из точки А в точку В

3) Работа постоянной силы

Если сила постоянна, то из (3.38) следует

Работа постоянной силы не зависит от формы траектории, а зависит только от вектора перемещения точки приложения силы .

4) Работа силы веса

Для силы веса (рис. 3.14) и из (3.39) получим

Рисунок 3.14

Если движение происходит из точки В в точку А, то

В общем случае

Знак «+» соответствует движению точки приложения силы «вниз», знак «-» - вверх.

4) Работа силы упругости

Пусть ось пружины направлена по оси x (рис.3.15), а конец пружины перемещается из точки 1 в точку 2, тогда из (3.38) получим

Если жесткость пружины равна с , то , тогда

А (3.41)

Если конец пружины перемещается из точки 0 в точку 1, то в этом выражении заменяем , , тогда работа силы упругости примет вид

(3.42)

где - удлинение пружины.

Рисунок 3.15

5) Работа силы приложенной к вращающемуся телу. Работа момента.

На рис. 3.16 показано вращающееся тело, к которому приложена произвольная сила . При вращении точка приложения этой силы движется по окружности.

Так как масса точки постоянна, а ее ускорение то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде

Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил

Пусть движущаяся точка имеет в момент времени скорость а в момент - скорость Умножим тогда обе части равенства (32) на и возьмем от них определенные интегралы. При этом справа, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут а слева, где интегрируется скорость, пределами интеграла будут соответствующие значения скорости

Так как интеграл от равен то в результате получим

Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), представляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончательно будет

Уравнение (33) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто пользуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси теорема выражается первым из этих уравнений.

Решение задач. Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная импульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй задачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.

Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины ), причем силы должны быть постоянными или зависящими только от времени.

Задача 95. Точка, масса которой кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности

Решение. По теореме об изменении количества движения Строя геометрически разность этих количеств движения (рис. 222), находим из полученного прямоугольного треугольника

Но по условиям задачи следовательно,

Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти

Задача 96. Грузу, имеющему массу и лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают (толчком) начальную скорость Последующее движение груза тормозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,

Решение. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном положении (рис. 223). На него действуют сила тяжести Р, реакция плоскости N и тормозящая сила F. Направляя ось в сторону движения, составляем первое из уравнений (34)

В данном случае - скорость в момент остановки), а . Из сил проекцию на ось дает только сила F. Так как она постоянна, то где - время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем откуда искомое время

Пусть материальная точка движется под действием силы F . Требуется определить движение этой точки по отношению к подвижной системе Oxyz (см. сложное движение материальной точки), которая движется известным образом по отношению к неподвижной системе O 1 x 1 y 1 z 1 .

Основное уравнение динамики в неподвижной системе

Запишем абсолютное ускорение точки по теореме Кориолиса

где a абс – абсолютное ускорение;

a отн – относительное ускорение;

a пер – переносное ускорение;

a кор – кориолисово ускорение.

Перепишем (25) с учетом (26)

Введем обозначения
- переносная сила инерции,
- кориолисова сила инерции. Тогда уравнение (27) приобретает вид

Основное уравнение динамики для изучения относительного движения (28) записывается как же как и для абсолютного движения, только к действующим на точку силам надо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Общие теоремы динамики материальной точки

При решении многих задач можно пользоваться выполненными заранее заготовками, полученными на основе второго закона Ньютона. Такие методы решения задач объединены в этом разделе.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Введем следующие динамические характеристики:

1. Количество движения материальной точки – векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости

. (29)

2. Импульс силы

Элементарный импульс силы – векторная величина, равная произведению вектора силы на элементарный промежуток времени

(30).

Тогда полный импульс

. (31)

При F =const получим S =Ft .

Полный импульс за конечный промежуток времени можно вычислить только в двух случаях, когда действующая на точку сила постоянная или зависит то времени. В других случаях необходимо выразить силу как функцию времени.

Равенство размерностей импульса (29) и количества движения (30) позволяет установить между ними количественную взаимосвязь.

Рассмотрим движение материальной точки M под действием произвольной силы F по произвольной траектории.

ОУД:
. (32)

Разделяем в (32) переменные и интегрируем

. (33)

В итоге, принимая во внимание (31), получаем

. (34)

Уравнение (34) выражает следующую теорему.

Теорема : Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу силы, действующей на точку, за тот же интервал времени.

При решении задач уравнение (34) необходимо спроектировать на оси координат

Данной теоремой удобно пользоваться, когда среди заданных и неизвестных величин присутствуют масса точки, ее начальная и конечная скорость, силы и время движения.

Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

М
омент количества движения материальной точки относительно центра равен произведению модуля количества движения точки на плечо, т.е. кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра до линии, совпадающей с вектором скорости

, (36)

. (37)

Взаимосвязь между моментом силы (причиной) и моментом количества движения (следствием) устанавливает следующая теорема.

Пусть точка M заданной массы m движется под действием силы F .

,
,

, (38)

. (39)

Вычислим производную от (39)

. (40)

Объединяя (40) и (38), окончательно получим

. (41)

Уравнение (41) выражает следующую теорему.

Теорема : Производная по времени от вектора момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

При решении задач уравнение (41) необходимо спроектировать на оси координат

В уравнениях (42) моменты количеств движения и силы вычисляются относительно координатных осей.

Из (41) вытекает закон сохранения момента количества движения (закон Кеплера).

Если момент силы, действующей на материальную точку, относительно какого-либо центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра сохраняет свою величину и направление.

Если
, то
.

Теорема и закон сохранения используются в задачах на криволинейное движение, в особенности при действии центральных сил.

В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, - это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

( кг·м/с)

Теорема об изменении количества движения системы утверждает

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения системы

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме :

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения ) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

(моме́нт коли́чества движе́ния м 2 ·кг·с −1 )

Теорема об изменении момента количества движения относительно центра

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

dk 0 /dt = M 0 (F ) .

Теорема об изменении момента количества движения относительно оси

производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) .

Рассмотрим материальную точку M массой m , движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M 0 материальной точки относительно центра O :

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k 0) по времени:

Так как dr /dt = V , то векторное произведение V ⊗ m ⋅ V (коллинеарных векторов V и m ⋅ V ) равно нулю. В то же время d(m ⋅ V) /dt = F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk 0 /dt = r ⊗F , (3.3)

где r ⊗F = M 0 (F ) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O . Вектор k 0 ⊥ плоскости (r , m ⊗V ), а вектор M 0 (F ) ⊥ плоскости (r ,F ), окончательно имеем

dk 0 /dt = M 0 (F ) . (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk x /dt = M x (F ); dk y /dt = M y (F ); dk z /dt = M z (F ) . (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1. Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M 0 (F ) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k 0 = const ,

т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k 0 = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2. Пусть M z (F ) = 0, т.е. сила пересекает ось z или ей параллельна. В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k z = const ,

т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Доказательство теоремы обь ихменении количества движения

Пусть система состоит из материальных точек с массами и ускорениями . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

Внешние силы - силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i обозначим .

Внутренние силы - силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k , будем обозначать , а силу воздействия i -й точки на k -ю точку - . Очевидно, что при , то

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

Учитывая, что и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

Выражение представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе соответствует сила такая, что и, значит, выполняется Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

Используя для количества движения системы обозначение , получим

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми и , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

где и - значения количества движения системы в моменты времени и соответственно, а - импульс внешних сил за промежуток времени . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями выполняется

Рассмотрим систему, состоящую из материальных точек. Составим для этой системы дифференциальные уравнения движения (13) и сложим их почленно. Тогда получим

Последняя сумма по свойству внутренних сил равна нулю. Кроме того,

Окончательно находим

Уравнение (20) выражает теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. В проекциях на координатные оси будет:

Найдем другое выражение теоремы. Пусть в момент времени количество движения системы равно а в момент становится равным . Тогда, умножая обе части равенства (20) на и интегрируя, получим

так как интегралы, стоящие справа, дают импульсы внешних сил.

Уравнение (21) выражает теорему об изменении количества движения системы в интегральной форме: изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

В проекциях на координатные оси будет:

Укажем на связь между доказанной теоремой и теоремой о движении центра масс. Так как , то, подставляя это значение в равенство (20) и учитывая, что получим , т. е. уравнение (16).

Следовательно, теорема о движении центра масс и теорема об изменении количества движения системы представляют собой, по существу, две разные формы одной и той же теоремы. В тех случаях, когда изучается движение твердого тела (или системы тел), можно в равной мере пользоваться любой из этих форм, причем уравнением (16) обычно пользоваться удобнее. Для непрерывной же среды (жидкость, газ) при решении задач обычно пользуются теоремой об изменении количества движения системы. Важные приложения эта теорема имеет также в теории удара (см. гл. XXXI) и при изучении реактивного движения (см. § 114).