Что вектор скорости. Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули

Термин «скорость» используют в науке и в широком смысле, понимая под ним быстроту изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще подразумеваются изменения во времени , но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят об угловой скорости , скорости изменения температуры , скорости химической реакции , групповой скорости , скорости соединения и т. д. Математически «быстрота изменения» характеризуется производной рассматриваемой величины.

Расширениями понятия скорости являются четырёхмерная скорость , или скорость в релятивистской механике обобщённых координатах .

Скорость точки в классической механике

где τ → ≡ d r → / d s {\displaystyle {\vec {\tau }}\equiv \mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} s} - единичный вектор касательной , проходящей через текущую точку траектории (он направлен в сторону возрастания дуговой координаты s {\displaystyle s} движущейся точки), а v τ ≡ s ˙ {\displaystyle v_{\tau }\equiv {\dot {s}}} - проекция вектора скорости на направление упомянутого единичного вектора, равная производной дуговой координаты по времени и именуемая алгебраической скоростью точки. В соответствии с приведёнными формулами, вектор скорости точки всегда направлен вдоль касательной, а алгебраическая скорость точки может отличаться от модуля v {\displaystyle v} этого вектора лишь знаком . При этом:

Не следует смешивать дуговую координату и пройденный точкой путь . Путь , пройденный точкой за промежуток времени от до t {\displaystyle t} , может быть найден так:

лишь в случае, когда алгебраическая скорость точки всё время неотрицательна, связь пути и дуговой координаты достаточно проста: путь совпадает с приращением дуговой координаты за время от t 0 {\displaystyle t_{0}} до t {\displaystyle t} (если же при этом начало отсчёта дуговой координаты совпадает с начальным положением движущейся точки, то s ~ {\displaystyle {\tilde {s}}} будет совпадать с s {\displaystyle s} ).

Если алгебраическая скорость точки не меняется с течением времени (или, что то же самое, модуль скорости постоянен), то движение точки называется равномерным (алгебраическое касательное ускорение s ¨ {\displaystyle {\ddot {s}}} при этом тождественно равно нулю).

Предположим, что s ¨ ⩾ 0 {\displaystyle {\ddot {s}}\geqslant {0}} . Тогда при равномерном движении скорость точки (алгебраическая) будет равна отношению пройденного пути s ~ {\displaystyle {\tilde {s}}} к промежутку времени t − t 0 {\displaystyle t-t_{0}} , за который этот путь был пройден:

В общем же случае аналогичные отношения

определяют соответственно среднюю скорость точки и её среднюю алгебраическую скорость ; если термином «средняя скорость » пользуются, то о величинах и s ˙ {\displaystyle {\dot {s}}} говорят (чтобы избежать путаницы) как о мгновенных скоростях.

Иллюстрация средней и мгновенной скорости

Не следует смешивать два введённых выше понятия средней скорости. Во-первых, v → c p {\displaystyle {\vec {v}}^{\,\,\mathrm {cp} }} - вектор, а s ˙ c p {\displaystyle {\dot {s}}^{\,\mathrm {cp} }} - скаляр. Во-вторых, эти величины могут не совпадать по модулю. Так, пусть точка движется движется по винтовой линии и за время своего движения проходит один виток; тогда модуль средней скорости этой точки будет равен отношению шага винтовой линии (то есть расстояния между её витками) ко времени движения, а модуль средней алгебраической скорости - отношению длины витка ко времени движения.

Для тела протяжённых размеров понятие «скорости» (тела как такового, а не одной из его точек) не может быть определено; исключение составляет случай мгновенно-поступательного движения. Говорят, что абсолютно твёрдое тело совершает мгновенно-поступательное движение , если в данный момент времени скорости всех составляющих его точек равны ; тогда можно, разумеется, положить скорость тела равной скорости любой из его точек. Так, например, равны скорости всех точек кабинки колеса обозрения (если, конечно, пренебречь колебаниями кабинки).

В общем же случае скорости точек, образующих твёрдое тело, не равны между собой. Так, например, для катящегося без проскальзывания колеса модули скоростей точек на ободе относительно дороги принимают значения от нуля (в точке касания с дорогой) до удвоенного значения скорости центра колеса (в точке, диаметрально противоположной точке касания). Распределение скоростей точек абсолютно твёрдого тела описывается кинематической формулой Эйлера .

В декартовых координатах

В то же время r = x i + y j + z k , {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} ,} поэтому

Таким образом, координаты вектора скорости - это скорости изменения соответствующей координаты материальной точки :

В цилиндрических координатах

Скорость в полярных координатах

V φ {\displaystyle v_{\varphi }} носит название поперечной скорости , v R {\displaystyle v_{R}} - радиальной .

В сферических координатах

Обобщения

Обобщениями понятия скорости является четырёхмерная скорость , или скорость в релятивистской механике , и обобщённая скорость, или скорость в обобщённых координатах .

Четырёхмерная скорость

Четырёхмерный вектор скорости является времениподобным вектором, то есть лежит внутри светового конуса .

В обобщённых координатах

Следует различать координатную и физическую скорости. При введении криволинейных или обобщённых координат положение тел описывается их зависимостью от времени. Производные от координат тела по времени при этом называются координатными скоростями.

Преобразование скорости

В классической механике Ньютона скорости преобразуются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую согласно преобразованиям Галилея . Если скорость тела в системе отсчёта S {\displaystyle S} была равна v → {\displaystyle {\vec {v}}} , а скорость системы отсчёта S ′ {\displaystyle S"} S {\displaystyle S} равна , то скорость тела при переходе в систему отсчёта S ′ {\displaystyle S"} будет равна

Для скоростей, близких к скорости света преобразования Галилея становятся несправедливы. При переходе из системы S {\displaystyle S} в систему S ′ {\displaystyle S"} необходимо использовать преобразования Лоренца для скоростей :

в предположении, что скорость u → {\displaystyle {\vec {u}}} направлена вдоль оси x {\displaystyle x} системы S {\displaystyle S} . Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Связанные понятия

Ряд понятий классической механики выражаются через скорость.

где U μ {\displaystyle U^{\mu }} - обобщённая четырёхмерная скорость.

где m {\displaystyle \ m} - масса тела, v {\displaystyle \ v} - скорость центра масс тела, I {\displaystyle {\mathcal {I}}} - момент инерции тела, ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} - угловая скорость тела.

Изменение скорости по времени характеризуется ускорением . Ускорение отражает изменение скорости как по величине (тангенциальное ускорение), так и по направлению (центростремительное ускорение) :

где r {\displaystyle \ r} - радиус кривизны траектории точки.

В релятивистской механике угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта носит название быстроты (обозначается θ {\displaystyle \theta } ). Быстрота выражается формулой:

где A r t h x {\displaystyle \mathrm {Arth} \,x} - ареатангенс , или гиперболический арктангенс. Быстрота стремится к бесконечности когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой необходимо пользоваться преобразованиями Лоренца, быстрота аддитивна, то есть

где θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} - быстрота системы отсчёта S ′ {\displaystyle S"} относительно системы отсчёта S {\displaystyle S} .

Некоторые скорости

Космические скорости

Скорость света

Скорость гравитации

• Радианы в секунду , принята в системах СИ и СГС . Физическая размерность 1/с.
• Обороты в секунду (в технике)
• градусы в секунду, грады в секунду

Соотношения между единицами скорости

• 1 м/с = 3,6 км/ч
• 1 узел = 1,852 км/ч = 0,514 м/c
• Мах 1 ~ 330 м/c ~ 1200 км/ч (зависит от условий, в которых находится воздух)
• c = 299 792 458 м/c

Исторический очерк

Две стадии движения брошенного тела по теории Авиценны: отрезок АВ - период «насильственного стремления», отрезок ВС - период «естественного стремления» (падение вертикально вниз)

В 1328 году увидел свет «Трактат о пропорциях или о пропорциях скоростей при движении» Томаса Брадвардина , в котором он нашёл несоответствие в физике Аристотеля и связи скорости с действующими силами. Брадвардин заметил, что по словесной формуле Аристотеля если движущая сила равна сопротивлению, то скорость равна 1, в то время как она должна быть равна 0. Он также представил свою формулу изменения скорости, которая хоть и была не обоснованна с физической точки зрения, но представляла собой первую функциональную зависимость скорости от причин движения. Брадвардин называл скорость «количеством движения» . Уильям Хейтсбери , в трактате «О местном движении» ввёл понятие мгновенной скорости. В 1330-1340 годах он и другие ученики Брадвардина доказали так называемое «мертонское правило», которое означает равенство пути при равноускоренном движении и равномерном движении со средней скоростью .

Всякая широта движения, униформно приобретаемая или теряемая, соответствует своему среднему градусу, так что столько же в точности будет пройдено благодаря этой приобретаемой широте, сколько и благодаря среднему градусу, если бы тело двигалось всё время с этим средним градусом.

В 1609 году в работе «Новая астрономия» Кеплер сформулировал закон площадей, согласно которому секторная скорость планеты (площадь, описываемая отрезком планета - Солнце, за единицу времени) постоянна . В «Началах философии» Декарт сформулировал закон сохранения количества движения , которое в его понимании есть произведение количества материи на скорость , при этом Декарт не принимал во внимание тот факт, что количество движения имеет не только величину, но и направление . В дальнейшем понятие «количество движения» развивал Гук , который понимал его как «степень скорости, присущей в определённом количестве вещества» . Гюйгенс , Валлис и Рен добавили к этому определению направление. В таком виде во второй половине XVII века количество движения стало важным понятием в динамике, в частности в работах

И зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.

Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.

Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.

Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.

Пятиминутка: Закон движения точки задан уравнениями

x=2м/с*t; y=2м/с*t-1м/с 2 *t 2

Найти координаты точки для моментов времени 0, 0.5с, 1с, 1.5с, 2с. Отметить положение точки в системе координат X-Y, провести траекторию, определить скорость точки (|v|) как функцию времени.

Из формулы (1.3) вытекает, что скорость любого движения можно представить как результат сложения скоростей трех прямолинейных движений вдоль координатных осей X,Y и Z ,т.е. любое сложное движение можно представить как сумму прямолинейных движений (принцип суперпозиции движений). Используя данный принцип, определим, к примеру, величину первой космической скорости, т.е. такой скорости, параллельной земной поверхности, которую должно иметь тело, чтобы оно никогда не упало на Землю. Задача может быть решена следующим образом. Движение тела вдоль земной поверхности можно представить, как сумму двух движений: равномерного горизонтального движения со скоростью бросания v и свободного падения тела к поверхности Земли с ускорением g (ускорением свободного падения).

За малый промежуток времени Dt тело пройдет, двигаясь перпендикулярно земному радиусу, из точки А в точку В. (см.рис.1.9). При этом его радиус-вектор повернется на некоторый малый угол β. За это же за время, скорость тела получит приращение ∆v=g∆t вдоль земного радиуса, т.е. вектор скорости также повернется на некоторый угол. Для того, чтобы тело продолжало двигаться вдоль земной поверхности этот угол должен совпасть с углом поворота радиус-вектора тела. Следовательно, угол поворота вектора скорости - это также угол β. Приравняем тангенс β, найденный из треугольника перемещения и треугольника скорости:

(1.7)

После этого выразим величину скорости:

Как видно из вывода выражения для первой космической скорости, любое тело, двигаясь с этой скоростью вокруг Земли, изменяет направление скорости за счет постоянного падения на землю. и это изменение приводит к тому, что вектор скорости оказывается всегда параллелен земной поверхности.

Движение с неизменным вектором скорости называется равномерным. В общем случае скорость изменяется как по величине, так и по направлению.

Для характеристики быстроты изменения скорости вводится понятиеускорения. Ускорением называется отношение приращения скорости за бесконечно малый интервал времени к этому интервалу, т.е. производная от скорости по времени

Вектор ускорения можно также разложить по координатным осям:

Модуль вектора ускорения равен:

. (1.11)

Подставив в (1.9) выражение скорости как производную от радиус-вектора тела, получим выражение ускорения в виде второй производной от радиус-вектора по времени:

Пример . Радиус-вектор движущейся точки задан следующим выражением:

Определить характер движения, скорость и ускорение.

Для определения характера движения вычислим модуль радиус-вектора:

Таким образом, при движении точки |r|-const. Можно заключить, что это движение по окружности радиуса R с центром в начале координат.

Вычислим скорость движения точки:

Модуль скорости:

Модуль скорости также не изменяется во времени, следовательно, - это движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Определим ускорение точки:

Сравнив формулы для радиус-вектора точки и ее ускорения, видим, что они выражают противоположно направленные векторы. Если радиус-вектор направлен из центра траектории к точке, то вектор ускорения направлен от точки в центр траектории. При этом модуль ускорения не изменяется во времени и равен |a|=Rω 2 . Вычислим скалярное произведение векторов скорости и ускорения:

Следовательно, в данном примере векторы скорости и ускорения перпендикулярны друг другу.

В общем случае векторы скорости и ускорения образуют какой-то угол. При этом удобно разложить вектор ускорения на две составляющие. Одна из них - параллельна (или антипараллельна) вектору скорости и называется тангенциальной составляющей ускорения. Другая - перпендикулярна вектору скорости, она называется нормальной составляющей ускорения. Тангенциальная составляющая ускорения выражает изменение модуля скорости, а нормальная составляющая - изменение направления скорости. В рассмотренном выше примере тангенциальная составляющего ускорения равна нулю. Вследствие этого скорость изменяется только по направлению, модуль ее остается неизменным.

В общем случае модуль полного ускорения определяется по теореме Пифагора:

1.3. Кинематика вращательного движения, вектор угловой скорости, связь линейно и угловой скорости точки, вектор углового ускорения .

Движение по окружности является частным, но весьма распространенным типом движения. Для него вводятся такие дополнительные кинематические характеристики как угловая скорость - ω и угловое ускорение - ε .

Величина угловой скорости w определяется как отношение приращения угла - dj, на который повернется радиус-вектор точки за время dt, к этому интервалу времени т.е.

Это вполне естественное определение. Однако, согласно (1.18), и угол поворота и угловая скорость определились как векторные величины. В будущем мы увидим, что такое определение угловых величин оказывается очень удобным и продуктивным. Направление вектора угла поворота определяется правилом правого винта: если правый винт поворачивать в направлении положительного приращения угла, то поступательное движение винта укажет направление вектора приращения угла .

Похожее определение уже встречалось сегодня при определении векторного произведения. Действительно, если выразить приращение радиус-вектора точки, движущейся по окружности, при ее повороте на угол ∆φ, то получим следующую формулу

(1.19)

Вектор линейной скорости при движении точки по окружности с угловой скорость ω определится на основе (1.19)

Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Скорость - векторная величина, характеризующая не только быстроту передвижения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени.

Средняя скорость за время от t 1 до t 2 равна отношению перемещения за это время к промежутку времени , за которое это перемещение имело место:

Тот факт, что это именно средняя скорость мы будем отмечать, заключая среднюю величину в угловые скобки: <...> , как это сделано выше.

Приведенная выше формула для среднего вектора скорости есть прямое следствие общего математического определения среднего значения <f(x) > произвольной функции f(x) на промежутке [a,b ]:

Действительно

Средняя скорость может оказаться слишком грубой характеристикой движения. Например, средняя скорость за период колебаний всегда равна нулю, в независимости от характера этих колебаний , по той простой причине, что за период - по определению периода - колеблющееся тело вернется в исходную точку и, следовательно, перемещение за период всегда равно нулю. По этой и ряду других причин, вводится мгновенная скорость - скорость в данный момент времени. В дальнейшем, подразумевая мгновенную скорость, будем писать просто: «скорость», опуская слова «мгновенная» или «в данный момент времени» всегда, когда это не может привести к недоразумениям.Для получения скорости в момент времени t надо сделать очевидную вещь: вычислить предел отношения при стремлении промежутка времени t 2 – t 1 к нулю. Сделаем переобозначения: t 1 = t и t 2 = t + и перепишем верхнее соотношение в виде:

Скорость в момент времени t равна пределу отношения перемещения за время к промежутку времени, за которое это перемещение имело место, при стремлении последнего к нулю

Рис. 2.5. К определению мгновенной скорости.

В данный момент мы не рассматриваем вопрос о существовании этого предела, предполагая, что он существует. Отметим, что если и есть конечное перемещение и конечный промежуток времени, то и - их предельные величины: бесконечно малое перемещение и бесконечно малый промежуток времени. Так что правая часть определения скорости

есть ничто иное как дробь - частное от деления на , поэтому последнее соотношение может быть переписано и весьма часто используется в виде

По геометрическому смыслу производной, вектор скорости в каждой точке траектории направлен по касательной к траектории в этой точке в её сторону движения.

Видео 2.1. Вектор скорости направлен по касательной к траектории. Эксперимент с точилом.

Любой вектор можно разложить по базису (для единичных векторов базиса, другими словами, единичных векторов, определяющих положительные направления осей OX ,OY ,OZ используем обозначения , , или , соответственно). Коэффициентами такого разложении являются проекции вектора на соответствующие оси. Важно следующее: в алгебре векторов доказано, что разложение по базису единственно. Разложим по базису радиус-вектор некоторой движущейся материальной точки

Учитывая постоянство декартовых единичных векторов , , , продифференцируем это выражение по времени

С другой стороны, разложение по базису вектора скорости имеет вид

опоставление двух последних выражений, с учетом единственности разложения любого вектора по базису, дает следующий результат: проекции вектора скорости на декартовы оси равны производным по времени от соответствующих координат, то есть

Модуль вектора скорости равен

Получим ещё одно, важное, выражение для модуля вектора скорости.

Уже отмечалось, что при величина || все меньше и меньше отличается от соответствующего пути (см. рис. 2). Поэтому

и в пределе (>0)

Иными словами, модуль скорости - это производная пройденного пути по времени.

Окончательно имеем:

Средний модуль вектора скорости , определяется следующим образом:

Среднее значение модуля вектора скорости равно отношению пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден:

Здесь s(t 1 , t 2) - путь за время от t 1 до t 2 и, соответственно, s(t 0 , t 2) - путь за время от t 0 до t 2 и s(t 0 , t 2) - путь за время от t 0 до t 1 .

Средний вектор скорости или просто средняя скорость, как указано выше, равен

Отметим, что прежде всего, это вектор, его модуль - модуль среднего вектора скорости не следует путать со средним значением модуля вектора скорости. В общем случае они не равны: модуль среднего вектора вовсе не равен среднему модулю этого вектора . Две операции: вычисление модуля и вычисление среднего, в общем случае, переставлять местами нельзя.

Рассмотрим пример. Пусть точка движется в одну сторону. На рис. 2.6. показан график пройденного ею пути s в от времени (за время от 0 до t ). Используя физический смысл скорости, найти с помощью этого графика момент времени , в который мгновенная скорость равна средней путевой скорости за первые секунд движения точки.

Рис. 2.6. Определение мгновенной и средней скорости тела

Модуль скорости в данный момент времени

будучи производной пути по времени, равен угловому коэффициенту качательной к графику зависисмости точке соответствующей моменту времени t* . Средний модуль скорости за промежуток времени от 0 до t* есть угловой коэффициент секущей, проходящей через точки того же графика, соответствующие началу t = 0 и концу t = t* временного интервала. Нам надо найти такой момент времени t* , когда оба угловых коэффициента совпадают. Для этого через начало координат проводим прямую, касательную к траектории. Как видно из рисунка точка касания этой прямой графика s(t) и дает t* . В нашем примере получается