Принцип возможных перемещений примеры решения. Возможных перемещений принцип

Принцип возможных перемещений сформулирован для решения задач статики методами динамики.

Определения

Связями называются все тела, ограничивающие перемещение рассматриваемого тела.

Идеальными называются связи, работа реакций которых на любом возможном перемещении равна нулю.

Числом степеней свободы механической системы называется число таких независимых между собой параметров, с помощью которых однозначно определяется положение системы.

Например, шар, расположенный на плоскости имеет пять степеней свободы, а цилиндрический шарнир - одну степень свободы.

В общем случае механическая система может иметь бесконечное число степеней свободы.

Возможными перемещениями будем называть такие перемещения, которые, во-первых, допускаются наложенными связями, и, во-вторых, являются бесконечно малыми.

Кривошипно-ползунный механизм имеет одну степень свободы. В качестве возможных перемещений могут приниматься параметры -  ,  x и др.

Для любой системы число независимых друг от друга возможных перемещений равно числу степеней свободы.

Пусть некоторая система находится в равновесии и связи, наложенные на эту систему, являются идеальными. Тогда для каждой точки системы можно записать уравнение

, (102)

где
- равнодействующая активных сил, приложенных к материальной точке;

- равнодействующая реакций связей.

Умножим (102) скалярно на вектор возможного перемещения точки

,

так как связи идеальные, то всегда
, останется сумма элементарных работ активных сил, действующих на точку

. (103)

Уравнение (103) можно записать для всех материальных точек, суммируя которые получим

. (104)

Уравнение (104) выражает следующий принцип возможных перемещений.

Для равновесия системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Число уравнений (104) равно числу степеней свободы данной системы, что является достоинством этого метода.

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера-Лагранжа)

Принцип возможных перемещений позволяет решать задачи статики методами динамики, с драгой стороны, принцип Даламбера дает общий метод решения задач динамики методами статики. Объединяя два эти принципа можно получить общий метод решения задач механики, который называется принципом Даламбера-Лагранжа.

. (105)

При движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равно нулю.

В аналитической форме уравнение (105) имеет вид

Уравнения Лагранжа II рода

Обобщенными координатами (q ) называются такие независимые друг от друга параметры, которые однозначно определяют поведение механической системы.

Число обобщенных координат всегда равно числу степеней свободы механической системы.

В качестве обобщенных координат могут быть выбраны любые параметры, имеющие любую размерность.

Н
апример, при изучении движения математического маятника, имеющего одну степень свободы, в качестве обобщенной координатыq могут быть приняты параметры:

x (м), y (м) – координаты точки;

s (м) – длина дуги;

 (м 2) – площадь сектора;

 (рад) – угол поворота.

При движении системы ее обобщенные координаты будут с течением времени непрерывно изменяться

Уравнения (107) – это уравнения движения системы в обобщенных координатах.

Производные от обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями системы

. (108)

Размерность обобщенной скорости зависит от размерности обобщенной координаты.

Через обобщенные координаты могут быть выражены любые другие координаты (декартовы, полярные и др.).

Наряду с понятием обобщенной координаты вводится понятие обобщенной силы.

Под обобщенной силой понимают величину равную отношению суммы элементарных работ всех сил, действующих на систему на некотором элементарном приращении обобщенной координаты, к этому приращению

, (109)

где S – индекс обобщенной координаты.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Для нахождения уравнений движения (107) механической системы с геометрическими связями в обобщенных координатах используются дифференциальные уравнения в форме Лагранжа II рода

. (110)

В (110) кинетическая энергия T системы выражена через обобщенные координаты q S и обобщенные скорости .

Уравнения Лагранжа дают единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Вид и число уравнений не зависит от количества тел (точек), входящих в систему, а только от числа степеней свободы. При идеальных связях эти уравнения позволяют исключить все заранее неизвестные реакции связей.

1. Обобщённые координаты и число степеней свободы.

При движении механической системы, все её точки не могут перемещаться произвольно, так как они ограничены связями. Это значит, что не все координаты точек независимы. Положение точек определяется заданием только независимых координат.

обобщёнными координатами. Для голономных систем (т.е. таких, связи которых выражаются уравнениями, зависящими только от координат) число независимых обобщённых координат механической системыравно числу степеней свободы этой системы.

Примеры:

Положение всех точек однозначно определяется углом поворота

кривошипа.

Одна степень свободы.

2. Положение свободной точки в пространстве определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Поэтому три степени свободы.

3. Твёрдое вращающееся тело, положение определяется углом поворота j. Одна степень свободы.

4. Свободное твёрдое тело, движение которого определяется шестью уравнениями - шесть степеней свободы.

2. Возможные перемещения механической системы.

Идеальные связи.

Возможными перемещениями называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательной к траекториям движения точек и обозначаются dS .

dS A = dj . OA

Все силы, действующие на материальную точку, делятся на задаваемые и реакции связей.

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

3. Принцип возможных перемещений.

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Значение принципа возможных перемещений:

1. Учитываются только активные силы.

2. Даёт в общей форме условие равновесия для любой механической системы, тогда, как в статике необходимо рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности.

Задача.

Для заданного положения кривошипно-ползунного механизма при равновесии, найти зависимость между моментом и силой, если ОА = ℓ .

Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений даёт общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, можно получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей , прибавить соответствующие силы инерции , то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Применяя принцип возможных перемещений, получим:

Так как связи идеальные, то:

Это равенство представляет общее уравнение динамики.

Из него вытекает принцип Даламбера-Лагранжа – при движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Задача.

В подъёмнике к шестерне 2 веса 2G c радиусом R 2 =R приложен вращающий момент М=4GR .

Определить ускорение поднимаемого груза А весом G , пренебрегая весом верёвки и трением в осях. Барабан, на который наматывается верёвка, и жёстко скреплённая с ним шестерня 1 , имеют общий вес 4G и радиус инерции r = R . Радиус барабана R A = R и шестерни 1

R 1 =0,5R .

Изобразим все действующие силы, направление ускорений и возможные перемещения.

________________

Подставим в общее уравнение динамики

Выразим перемещение через угол поворота δφ 1

Подставим значения

δφ 1 ≠0

Выразим все ускорения через искомое а А и приравняем выражение в скобках к нулю

Подставим значения

Принцип возможных перемещений.

а = 0,15 м

b = 2а = 0,3 м

m = 1,2 Нм _________________

х В; у В; N A ; M p

Решение: Найдём реакцию подвижной опоры А для чего мысленно отбросим эту связь, заменив её действие реакцией N A

Возможным перемещением стержня АС является его поворот вокруг шарнира С на угол dj . Стержень ВС остаётся неподвижным.

Составим уравнение работ, учитывая, что работа сил при повороте тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота тела.

Для определения реакций жёсткого закрепления в опоре В сначала найдём момент реакции М р . Для этого отбросим связь, препятствующую повороту стержня ВС , заменив жёсткое закрепление шарнирно-неподвижной опорой и приложив момент М р .

Сообщим стержню возможный поворот на угол dj 1 .

Составим уравнение работ для стержня ВС :

Определим перемещения:

Для определения вертикальной составляющей реакции жёского закрепления отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки В , заменив жёсткое закрепление скользящей (невозможен поворот) и приложив реакцию :

Сообщим левой части (стержню ВС с ползуном В ) возможную скорость V B поступательного движения вниз. Стержень АС повернётся вокруг точки А.

Составим уравнение работ:

Для определения горизонтальной составляющей реакции жёсткого закрепления отбросим связь, препятствующую горизонтальному перемещению точки В заменив жёсткую заделку скользящей и приложив реакцию :

Сообщим левой части (ползуну В вместе со стержнем ВС ) возможную скорость V B поступательного движения влево. Так как опора А на катках, то и правая часть будет перемещаться поступательно с той же скоростью. Следовательно .

Составим уравнение работ для всей конструкции.

Для проверки правильности решения составим уравнения равновесия всей системы:

Условие выполнено.

Ответ: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P =3,33 Hм.

Обобщённые скорости. Обобщённые силы.

Независимые величины, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщёнными координатами. – q

Если система имеет S степеней свободы, то её положение будет определяться S обобщёнными координатами:

q 1 ; q 2 ; …; q s .

Поскольку обобщённые координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат будут также независимы:

dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .

При этом каждая из величин dq 1 ; dq 2 ; …; dq S определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

При движении системы её обобщённые координаты будут с течением времени непрерывно изменяться, закон этого движения определяется уравнениями:

, …. ,

Это уравнения движения системы в обощённых координатах.

Производные от обобщённых координат по времени называются обобщёнными скоростями системы:

Размерность зависит от размерности q .

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы F 1 , F 2 , F n . Пусть система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщёнными координатами q 1 ; q 2 ; q 3 . Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата q 1 получает приращение dq 1 , а остальные координаты не изменяются. Тогда радиус-вектор к-той точки получает элементарное приращение (dr k) 1 . Это приращение, которое получает радиус-вектор при изменении только координаты q 1 на величину dq 1 . Остальные координаты остаются неизменными. Поэтому (dr k) 1 вычисляется как частный дифференциал:

Вычислим элементарную работу всех приложенных сил:

Вынесем за скобки dq 1 , получим:

где - обобщённая сила.

Итак, обобщённая сила – это коэффициент при приращениях обобщённой координаты.

Вычисление обобщённых сил сводится к вычислению возможной элементарной работы.

Если меняются все q , то:

Согласно принципа возможных перемещений, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы SdА а к = 0 . В обобщённых координатах Q 1 . dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0 следовательно, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы обобщённые силы, соответствующие выбранным для системы возможным перемещениям, а значит и обобщённым координатам, были равны нулю.

Q 1 = 0; Q 2 = 0; … Q s = 0.

Уравнения Лагранжа.

Используя общее уравнение динамики для механической системы, можно найти уравнения движения механической системы.

4) определить кинетическую энергию системы, выразить эту энергию через обобщённые скорости и обобщённые координаты;

5) найти соответствующие частные производные от Т по и и подставить все значения в уравнение.

Теория удара.

Движение тела под действием обычных сил характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей этого тела. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно и количество движения твёрдого тела за очень маленький промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, называются ударными.

Малый промежуток времени t , в течение которого происходит удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы.

Импульсы неударных сил за время t будут величинами очень малыми и ими можно пренебречь.

Теорема об изменении количества движения точки при ударе:

где v – скорость точки в начале удара,

u – скорость точки в конце удара.

Основное уравнение теории удара.

Перемещение точек за очень малый промежуток времени, то есть за время удара, будут также малы, а следовательно, будем считать тело неподвижным.

Итак, можно сделать следующие выводы о действии ударных сил:

1) действием неударных сил за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

Элементы аналитической механики

В своих попытках познать окружающий мир человеческой природе свойственно стремление свести систему знаний в данной области к наименьшему числу исходных положений. Это прежде всего относится к научным областям. В механике такое стремление привело к созданию фундаментальных принципов, из которых вытекают основные дифференциальные уравнения движения для различных механических систем. Настоящий раздел учебника призван познакомить читателя с частью этих принципов.

Начнем изучение элементов аналитической механики с рассмотрения вопроса о классификации связях, встречающихся не только в статике, но и в динамике.

Классификация связей

Связь – любого вида ограничения, накладываемые на положения и скорости точек механической системы .

Связи классифицируют:

· По изменению во времени:

- нестационарныесвязи , т.е. меняющиеся со временем . Движущаяся в пространстве опора – пример нестационарной связи.

- стационарныесвязи , т.е. не меняющиеся со временем. К стационарным связям относятся все связи, рассмотренные в разделе «Статика».

· По типу накладываемых кинематических ограничений:

- геометрическиесвязи накладывают ограничения на положения точек системы ;

- кинематические , или дифференциальныесвязи накладывают ограничения на скорости точек системы . По возможности сведения одного типа связи к другой:

- интегрируемая , или голономная (простая) связь , если кинематическую (дифференциальную) связь можно представить как геометрическую . В таких связях зависимости между скоростями удается свести к зависимости между координатами. Катящейся без проскальзывания цилиндр – пример интегрируемой дифференциальной связи: скорость оси цилиндра связана с его угловой скоростью по известной формуле , или , а после интегрирования приводится к геометрической связи между смещением оси и углом поворота цилиндра в виде .

- неинтегрируемая , или неголономнаясвязь – если кинематическую (дифференциальную) связь нельзя представить как геометрическую . Пример – качение шара без проскальзывания при его непрямолинейном движении.

· По возможности «освобождения» от связи:

- удерживающиесвязи , при которых налагаемые ими ограничения сохраняются всегда, например, маятник, подвешенный на жестком стержне;

- неудерживающие связи - ограничения могут нарушаться при определенном типе движения системы , например, маятник, подвешенный на сминаемой нити.

Введем несколько определений.

· Возможное (или виртуальное ) перемещение (обозначается ) является элементарным (бесконечно малым) и таково, что не нарушает наложенные на систему связи .

Пример: точка, находясь на поверхности, в качестве возможных имеет множество элементарных перемещений в любом направлении вдоль опорной поверхности, не отрываясь от нее. Движение точки, приводящее к ее отрыву от поверхности, нарушает связь и, в соответствии с определением, не является возможным перемещением.

Для стационарных систем обычное действительное (реальное) элементарное перемещение входит во множество возможных перемещений.

· Число степеней свободы механической системы – это число независимых между собой ее возможных перемещений .

Так, при перемещение точки на плоскости любое ее возможное перемещение выражается через две свои ортогональные (а значит и независимые) составляющие.

У механической системы с геометрическими связями число независимых координат, определяющих положение системы, совпадает с числом ее степеней свободы .

Таким образом, точка на плоскости имеет две степени свободы. Свободная материальная точка – три степени свободы. У свободного тела – шесть (добавляются повороты по углам Эйлера) и т.д.

· Возможная работа – это элементарная работа силы на возможном перемещении .

Принцип возможных перемещений

Если система находится в равновесии, то для любой ее точки выполняется равенство , где - равнодействующие действующих на точку активных сил и сил реакций. Тогда и сумма работ этих сил при любом перемещении также равна нулю . Просуммировав для всех точек, получим: . Второе слагаемое для идеальных связей равно нулю, откуда формулируется принцип возможных перемещений :

В условиях равновесия механической системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы равна нулю .

Ценность принципа возможных перемещений заключается в формулировке условий равновесия механической системы (3.81), в которых не фигурируют неизвестные реакции связей.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Какое перемещение точки называется возможным?

2. Что называется возможной работой силы?

3. Сформулируйте и запишите принцип возможных перемещений.

Принцип Даламбера

Перепишем уравнение динамики к -й точки механической системы (3.27), перенеся левую часть в правую. Введем в рассмотрение величину

Силы в уравнении (3.83) образуют уравновешенную систему сил.

Распространяя этот вывод ко всем точкам механической системы, придем к формулировке принципаДаламбера , названного в честь французского математика и механика Жана Лерона Даламбера (1717–1783 г.г.), рис.3.13:

Рис.3.13

Если ко всем силам, действующим в данной механической системе, добавить все силы инерции, полученная система сил будет уравновешенной и к ней можно применять все уравнения статики .

Фактически это означает, что от динамической системы путем добавления сил инерции (сил Даламбера) переходят к псевдостатической (почти статической) системе.

Используя принцип Даламбера, можно получить оценку главного вектора сил инерции и главного момента сил инерции относительно центра в виде:

Динамические реакции, действующие на ось вращающегося тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся равномерно с угловой скоростью ω вокруг оси, закрепленной в подшипниках АиВ(рис. 3.14). Свяжем с телом вращающиеся вместе с ним оси Ахуz;преимущество таких осей в том, что по отношению к ним координаты центра масс и моменты инерции тела будут величинами постоянными. Пусть на тело действуют заданные силы . Обозначим проекции главного вектора всех этих сил на оси Ахуz через ( и т.д.), а их главные моменты относительно тех же осей - через ( и т.д.); при этом, так как ω =const, то = 0.

Рис.3.14

Для определения динамических реакций Х А, У А, Z А , Х B , Y B подшипников, т.е. реакций, возникающих при вращении тела, при­соединим ко всем действующим на тело заданным силам и реакциям связей силы инерции всех частиц тела, приведя их к центру А. Тогда силы инерции будут представлены одной силой, равной и приложенной в точке А, и парой сил с моментом, рав­ным . Проекции этого момента на оси к и у будут: , ; здесь опять , так как ω =const.

Теперь, составляя согласно принципу Даламбера уравнения (3.86) в проекциях на оси Ахуz и полагая АВ=b, получим

.

(3.87)

Последнее уравнение удовлетворяется тождественно, так как .

Главный вектор сил инерции , где т - масса тела (3.85). При ω =const центр масс С имеет только нормальное ускорение , где - расстоя­ние точки С от оси вращения. Следовательно, направление вектора совпадаете с на­правлением ОС. Вычисляя проекции на координатные оси и учитывая, что ,где - координаты центра масс, найдем:

Чтобы определить и , рассмотрим какую-нибудь частицу тела с массой m k , отстоящую от оси на расстоянии h k . Для нее при ω =const сила инерции тоже имеет только центробежную составляющую , проекции которой, как и вектора R", равны.

КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Введенное в § 3 понятие о связях охватывает не все их виды. Поскольку рассматриваемые даже методы решения задач механики применимы вообще к системам не с любыми связями, рассмотрим вопрос о связях и об их классификации несколько подробнее.

Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точекмеханической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы. Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со с временем - нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы - кинематическими или дифференциальными.

Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае - неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называют связями голсномньши, а неинтегрируемые дифференциальные связи - неголономньши.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающее (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может «освобождаться»). Рассмотрим примеры.

1. Все связи, рассмотренные в § 3, являются геометрическими (голономными) и притом стационарными. Движущийся лнфт, изображенный на рис. 271, а, будет для лежащего в нем груза, когда положение груза рассматривается по отношению к осям Оху, нестационарной геометрической связью (пол кабины, реализующий связь, изменяет со временем свое положение в пространстве).

2 Положение катящегося без скольжения колеса (см. рис. 328) определяется координатой центра С колеса и углом поворота . При качении выполняется условие или

Это дифференциальная связь, но полученное уравнение интегрируется и дает , т. е. сводится к зависимости между координатами. Следовательно, наложенная связь голономная.

3. В отличие от колеса для шара, катящегося без скольжения по шероховатой плоскости, условие того, что скорость точки шара, касающаяся плоскости, равна нулю, не может быть сведено (когда центр шара движется не прямолинейно) к каким-нибудь зависимостям между координатами, определяющими положение шара. Это пример негалоиомной связи. Другой пример дают связи, налагаемые на управляемое движение. Например, если на движение точки (ракеты) налагается условие (связь), что ее скорость в любой момент времени должна быть направлена в другую движущуюся точку (самолет), то это условие к какой-нибудь зависимости между координатами тоже не сводится и связь является неголономной.

4. В § 3 связи, показанные на рис. являются, удерживающими, а на рис. 8 и 9 - неудерживающими (на рис. 8, а шарик может покинуть поверхность, а на рис. 9 - перемещаться в сторону точки А, сминая нить). С учетом особенностей неудерживающих связей мы сталкивались в задачах 108, 109 (§ 90) и в задаче 146 (§ 125).

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условиеравновесия механической системы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета(рассматриваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Будем возможную работу активной силы обозначать символом , а возможную работу реакции N связи - символом

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие идеальности связей, когда они одновременно являются стационарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все примеры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство

где - угол между силой и возможным перемещением.

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точку системы соответственно через . Тогда, поскольку каждая из точек системы находится в равновесии, , а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки будет тоже равна нулю, т. е. . Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

Но так как связи идеальные, представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выражает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить активные силы удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом Придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные перемещения . Тогда силы совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

где, очевидно, , так как вначале система была в покое; следовательно, и . Но при стационарных связях действительные перемещения совпадают с какими-то из возможных перемещений и на этих перемещениях тоже должно быть что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системыс идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Как известно из курса теоретической механики, усло­вие равновесия объекта может иметь силовую или энерге­тическую формулировку. Первый вариант представляет со­бой условие равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил и реакций, действующих на тело. Вто­рой подход (вариационный), называемый принципом воз­можных перемещений, оказался весьма полезен для реше­ния ряда задач строительной механики.

Для системы абсолютно жесткихтел принцип возможных перемещений формулируется так: если система абсолютно жестких тел находится в равнове­сии, то сумма работ всех внешних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. Возмож­ным (или виртуальным) называют перемещение, которое не нарушает кинематические связи и сплошность тел. Для системы на рис. 3.1 возможным является только поворот стержня относительно опоры. При повороте на произволь­ный малый угол силы и совершают работу Согласно принципу возможных переме­щений, если система находит­ся в равновесии, то должно быть . Подставляя сюда геометрические соотношения получим условие равнове­сия в силовой формулировке

Принцип возможных перемещений для упругихтел формулируется следующим образом: если система упру­гих тел находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. В основе этого прин­ципа лежит понятие о полной энергии упругой деформи­рованной системы П. Если нагружение конструкции про­исходит статически, то эта энергия равна работе, совер­шаемой внешними Uи внутренними Wсилами при переводе системы из деформированного состояния в исходное:

При указанном переводе внешние силы не меняют свое­го значения и совершают отрицательную работу U= -F . Внутренние силы при этом уменьшаются до нуля и совершают положительную работу, так как это силы сцепления частиц материала и направлены в сторону, противополож­ную внешней нагрузки:

где - удельная потенциальная энергия упругой деформации; V - объем тела. Для линейной системы , где . Согласно теореме Лагранжа-Дирихле состоянию устойчивого равновесия соответствует мини­мум полной потенциальной энергии упругой системы, т. е.

Последнее равенство полностью соответствует формули­ровке принципа возможных перемещений. Приращения энергий dUи dWмогут быть вычислены на любых возможных перемещениях (отклонениях) упругой системы от со­стояния равновесия. Для расчета конструкций, удовлетво­ряющих требованиям линейности, бесконечно малое возможное перемещение d можно заменить весьма малым конеч­ным перемещением , в качестве которого может быть выбрано любое деформированное состояние конструкции, созданное произвольно выбранной системой сил. С учетом этого полученное условие равновесия следует записать как

Работа внешних сил

Рассмотрим методику вычисления работы внешних сил на действительном и возможном перемещении. Стержне­вая система загружена силами и (рис. 3.2, а), которые действуют одновременно, и в любой момент времени отношение остается постоянным. Если считать обобщенной силой, то по значению в любой момент времени можно вычислить все остальные нагрузки (в данном случае ). Штриховой линией показано действительное упругое перемещение, возникающее от этих сил. Обозначим это состояние индексом 1. Перемещение точек приложения сил и в направлении этих сил в состоянии 1 обозначим и .

В процессе нагружения линейной системы силами и растут силы и пропорционально им растут перемещения и (рис. 3.2, в). Действительная работа сил и на создаваемых ими перемещениях равна сумме площадей графиков , т. е. . Записав это выражение как , получим произведение обобщенной силы на обобщенное пе­ремещение . В этой форме можно представит

Далее рассмотрим работу внешних сил на возможном перемещении. В качестве возможного перемещения при­мем, например, деформированное состояние системы, воз­никающее в результате приложения в некоторой точке силы (рис. 3.2, б). Это состояние, соответству­ющее дополнительному перемещению точек приложения сил и на расстояние и , обозначим 2. Силы и , не меняя своего значения, совершают виртуальную работу на перемещениях и (Рис. 3.2, в):

Как видно, в обозначении перемещения первый индекс показывает состояние, в котором заданы точки и направле­ния этих перемещений. Второй индекс показывает состоя­ние, в котором действуют силы, вызывающие это переме­щение.

Работа единичной силы F 2 на действительном перемещении

Если же рассматривать состояние 1 в качестве возмож­ного перемещения для силы F 2 ,то ее виртуальная работа на перемещении

Работа внутренних сил

Найдем работу внутренних сил состояния 1, т. е. от сил и , на виртуальных перемещениях состояния 2, т. е. возникших в результате приложения нагрузки F 2 . Для этого выделим элемент стержня длиной dx(рис. 3.2 и 3.3, а). Поскольку рассматриваемая система плоская, то в сечениях элемента действуют только две силы Sи Q z и изгибающий момент Му Эти усилия для вырезанного элемента являются внешними. Внутренние усилия - это усилия сцепления, обеспечивающие прочность материала. Они равны внешним по значению, но направлены в сторону, противоположную деформации, поэтому их работа при нагружении отрицательна (рис. 3.3, б-г, показаны серым цветом). Последовательно вычислим работу, совершаемую каждым силовым фактором.

Работа продольных сил на перемещении , которое создают силы S 2 , возникшие в результате приложения нагрузки F 2 (рис. 3.2, б, 3.3, б),

Удлинение стержня длиной dxнайдем по известной формуле

где A - площадь сечения стержня. Подставив это выра­жение в предыдущую формулу, находим

Аналогичным образом определим работу, которую со­вершает изгибающий момент на угловом перемещении ,создаваемом моментом (рис. 3.3, в):

Угол поворота найдем как

где J- момент инерции сечения стержня относительно оси у. После подстановки получим

Найдем работу поперечной силы на перемещении (рис. 3.3, г). Касательные напряжения и сдвиги от перерезывающей силы Q z распределены по сечению стержня не линейно (в отличие от нормальных напряжений и удлинений в предыдущих случаях нагружения). Поэтому для определения работы сдвига приходится рассматривать работу, совершаемую касательными напряжениями в сло­ях стержня.

Касательные напряжения от силы Q z , которые действу­ют в слое, лежащем на расстоянии zот нейтральной оси (рис. 3.3, д), вычисляются по формуле Журавского

где Су - статический момент части площади сечения, лежащей выше этого слоя, взятый относительно оси у; b- ширина сечения на уровне рассматриваемого слоя. Эти напряже­ния создают сдвиг слоя на угол, который согласно закону Гука определяется как - модуль сдвига. В результате этого торец слоя смещается на

Суммарная работа касательных напряжений первого со­стояния , действующих на торце этого слоя, на пере­мещениях второго состояния вычисляется путем интегрирования произведения поплощади сечения

После подстановки сюда выражений для и получим

Вынесем из под интеграла величины, не зависящие от z, умножим и разделим это выражение наА, получим

Здесь введен безразмерный коэффициент ,

зависящий только от конфигурации и соотношения разме­ров сечений. Для прямоугольника = 1,2, для двутавро­вых и коробчатых сечений (А с - площадь сече­ния стенки или в коробчатом сечении - двух стенок).

Поскольку работа каждого из рассмотренных компонен­тов нагружения (S, Q, М) на перемещениях, вызываемых другими компонентами, равна нулю, то суммарная работа всех внутренних сил для рассмотренного элемента стержня длиной dx

В сечении элемента пространственной стержневой сис­темы действуют шесть внутренних усилий (S, Q, Q z , М х, Му, М 2), поэтому для нее выражение суммарной работы внутренних сил будет иметь вид,

Здесь M x - крутящий момент в стержне; J T - момент инерции стержня при свободном кручении (геометрическая жесткость на кручение). В подынтегральном выражении опущены индексы «и».

В формулах (3.3) и (3.4) S v Q yV Q zl , М х1 , М у1 , М г1 обозначают аналитические выражения эпюр внутренних усилий от действия сил F{и F{,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , М х2 , М у2 , М г2 - описания эпюр внутренних усилий от силы F 2 .

Теоремы об упругих системах

Структура формул (3.3) и (3.4) показывает, что они «сим­метричны» относительно состояний 1 и 2, т. е. работа внут­ренних сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна работе внутренних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 Но согласно (3.2)

Следовательно, если равны работы внутрен­них сил, то равны и работы внешних сил -Это утверждение носит название теоремы о взаимности ра­бот (теорема Бетти, 1872 г.).

Для стержневой системы, загруженной силой F 1 (рис. 3.4, а), возьмем в качестве возможного перемещения деформированное состояние, возникшее при загружении ее силой F 2 (рис. 3.4, б). Для этой системы согласно теоре­ме Бетти 1- Если же положить , то получим

Эта формула выражает теорему Максвелла (1864 г.) о взаимности перемещений: перемещение точки приложе­ния первой единичной силы по ее направлению, вызван­ное действием второй единичной силы, равно перемеще­нию точки приложения второй единичной силы по своему направлению, вызванному действием первой единичной силы. Эту теорему можно применить и к системе на рис. 3.2. Если задать = 1 Н (п. 3.1.2), то получим ра­венство обобщенных перемещений .

Рассмотрим статически неопределимую систему с опо­рами, которым можно задавать требуемое перемещение, принимаемое как возможное (рис. 3.4, в, г). В первом со­стоянии сместим опору 1 на а во втором - зададим поворот заделки на угол - При этом возникнут реакции в первом состоянии и , а во втором - i . Согласно теореме о взаимности работ, запишем Если задать (здесь размерность = м, а величина - безразмерная), то получим

Это равенство численное, так как размерность реакции = Н, a = Н-м. Таким образом, реакция R 12 в неподвижной связи 1, возникающая при перемещении связи 2 на единицу, численно равна реакции , возника­ющей в связи 2 при единичном смещении связи 1. Это утверждение называется теоремой о взаимности реакций.

Теоремы, изложенные в данном разделе, используются для аналитического расчета статически неопределимых си­стем.

Определение перемещений

Общая формула перемещений

Для вычисления перемещений, возникающих в стерж­невой системе под действием заданной нагрузки (состоя­ние 1), следует сформировать вспомогательное состояние системы, в котором действует одно единичное усилие, совершающее работу на искомом перемещении (состояние 2). Это значит, что при определении линейного перемещения необходимо задать единичную силу F 2 = 1 Н, приложен­ную в той же точке и в том же направлении, в котором надо определить перемещение. Если требуется определить угол поворота какого-либо сечения, то в этом сечении прикладывается единичный момент F 2 = 1 Н м. После этого составляется уравнение энергий (3.2), в котором состояние 2 принимается за основное, а деформированное

состояние 1 рассматривается как виртуальное перемещение. Из этого уравнения и вычисляется искомое перемещение.

Найдем горизонтальное перемещение точкиВ для си­стемы на рис. 3.5, а. Для того чтобы в уравнение работ (3.2) попало искомое перемещение Д 21 , возьмем в качестве основного состояния перемещение системы под действием единичной силы F 2 - 1 Н (состояние 2, рис. 3.5, б). Возможным перемещением будем считать действительное де­формированное состояние конструкции (рис. 3.5, а).

Работу внешних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 найдем как Согласно (3.2),

следовательно, искомое перемещение

Поскольку (п. 3.1.4), работа внутренних сил состояния 2 на перемещениях состояния 1 вычисляется по формуле (3.3) или (3.4). Подставив в (3.7) выражение (3.3) дляработы внутренних сил плоской стержневой системы, найдем

Для дальнейшего использования этого выражения целесо­образно ввести понятие единичных эпюр внутренних сило­вых факторов, т.е. из которых первые две безразмерные, а размерность . В результате получится

В эти интегралы следует подставить выражения для эпюр распределениясоответствующих внутренних усилий от действующей нагрузки и и от силы F 2 = 1. Полу­ченное выражение называют формулой Мора (1881 г.).

При расчете пространственных стержневых систем для вычисления суммарной работы внутренних сил следует использовать формулу (3.4), тогда получится

Вполне очевидно, что в интегралы подставляются выра­жения для эпюр внутренних усилий S, Q y , Q z , М х, М у, М г и значения геометрических характеристик сечений A, J т, Jу,J, для соответствующего n-го участка. Для сокращения записи в обозначениях этих величин индекс «и» опущен.

3.2.2. Частные случаи определения перемещений

Формула (3.8) используется в общем случае плоской стержневой системы, однако в ряде случаев ее можно существенно упростить. Рассмотрим частные случаи ее реализации.

1. Если деформациями от продольных сил можно пренебречь, что характерно для балочных систем, то формула(3.8) будет записана как

2. Если плоская система состоит только из изгибаемых тонкостенных балок с отношением l/h> 5 для консолей или l/h> 10 для пролетов (I и h- длина балки и высота сече­ния), то, как правило, энергия деформаций изгиба суще­ственно превышает энергию деформаций от продольных и поперечных сил, поэтому их можно не учитывать в расче­те перемещений. Тогда формула (3.8) примет вид

3. Для ферм, стержни которых при узловом нагруже­нии испытывают в основном продольные усилия, можно считать М = 0 и Q= 0. Тогда перемещение узла вычисля­ется по формуле

Интегрирование производится по длине каждого стерж­ня, а суммирование - по всем стержням. Имея в виду, что усилие S u в и-м стержне и площадь сечения не изменяются по его длине, можем упростить данное выражение:

При всей видимой простоте этой формулы аналитиче­ский расчет перемещений в фермах весьма трудоемок, так как требует определения усилий во всех стержнях фермы от действующей нагрузки () и от единичной силы (), приложенной в точке, перемещение которой необходимо найти.

3.2.3. Методика и примеры определения перемещений

Рассмотрим вычисление интеграла Мора методом А. Н. Верещагина (1925 г.). Интеграл Мора имеет вид (3.8), где в качестве D 1 , D 2 могут фигурировать эпюры изгибающих моментов, продольных или поперечных сил. Как минимум одна из эпюр () в подынтегральном выражении линей­ная или кусочно-линейная, так как построена от единичной нагрузки. Поэтому для

Первый изинтегралов численно равен площади подграфиком (на рис. 3.6 заштрихована), а второй - статическому моменту этой площади относительно оси . Статический момент может быть записан как , где - координата положения центра тяжести площади (точка А). С учетом сказанного получим

(3.13)

Правило Верещагина формулируется следующим образом: если на участке хотя бы одна из эпюр линейна, то интеграл Мора вычисляется как произведение площади произволь

При расчете конструкций в среде Mathcadнет необхо­димости пользоваться правилом Верещагина, так как мож­но вычислять интеграл путем численного интегрирования.

Пример 3.1 (рис. 3.7, а). Балка загружена двумя сим­метрично расположенными силами . Найти перемеще­ния точек приложения сил .

1. Построим эпюру изгиба­ющих моментов М 1 от сил F 1 . Опорные реакции Максимальный изгибающий момент под силой

2. Поскольку система симметрична, то прогибы под силами будут одинаковы. В качестве вспомогательного состо­яния возьмем загружение бал­ки двумя единичными силами F 2 = 1 Н, приложенными в тех же точках, что и силы F 1

(рис. 3.7, б). Эпюра изгибающих моментов для данного нагружения аналогична предыдущей, и максимальный изгибающий момент М 2тах =0,5(L-b).

3. Нагружение системы двумя силами второго состоя­ния характеризуется обобщенной силой F 2 и обобщенным перемещением , которые создают работу внешних сил на перемещении состояния 1, равную . Вычислим перемещение по формуле (3.11). Перемножая эпю­ры по участкам по правилу Верещагина, найдем

После подстановки значений получим

Пример 3.2. Найти горизонтальное перемещение подвижной опоры П-образной рамы, загруженной силой F x (рис. 3.8, а).

1. Построим эпюру изгибающих моментов от силы F 1 Опорные реакции . Максималь­ный изгибающий момент под силой F 1

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичной горизонтальной силой F 2 , при­ложенной в точкеВ (рис. 3.8, б). Строим эпюру изгиба­ющих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2у = В 2у = 0, А 2х = 1. Максимальный изгибающий момент .

3. Вычисляем перемещение по формуле (3.11). На вер­тикальных участках произведение равно нулю. На гори­зонтальном участке эпюра М 1 не линейна, а эпюра линейна. Перемножая эпюры методом Верещагина, полу­чим

Произведение отрицательно, так как эпюры лежат по разные стороны. Полученное отрицательное значение перемещения свидетельствует о том, что фактическое его на­правление противоположно направлению единичной силы.

Пример 3.3 (рис. 3.9). Найти угол поворота сечения двухопорной балки под силой и найти положение силы, при котором этот угол будет максимальным.

1. Построим эпюру изгибающих моментов М 1 от силы F 1 .Для этого найдем опорную реакцию А 1 . Из уравнения равновесия для системы в целом найдем .Максимальный изгибающий момент под силой Fj

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичным моментом F 2 = 1 Н-м в том сечении, поворот которого надо определить (рис. 3.9, б). Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2 = -В 2 = 1/L,изгибающие моменты

Оба момента отрицательные, так как направлены по часовой стрелке. Эпюры строятся на растянутом волокне.

3. Вычисляем угол поворота по формуле (3.11), выполняя перемножение по двум участкам,

Обозначив , можно получить это выражение в более удобной форме:

График зависимости угла поворота от положения силы F 1 показан на рис. 3.9, в. Продифференцировав это выражение, из условия найдем положение силы, при котором угол наклона балки под ней будет наи­большим по абсолютному значению. Это произойдет при значениях равных 0,21 и 0,79.