Закон сохранения количества движения импульса тела. Импульс тела

Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жидкой частицы (с непроницаемыми стенками) есть

где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы F m (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площади, [н/м 2 ]), запишем

.

Учитывая, что (интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости), и, преобразуя поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде

. (1.15)

Это закон сохранения количества движения в интегральной форме.

Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, можно перейти к дифференциальной форме:

. (1.16)

Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.

Входящая в уравнение производная dV/dt – это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.

Используя связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученную ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):

. (1.17)

Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное уравнение выражает закон сохранения количества движения (импульса).

В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид

Запишем полученные уравнения движения в другой форме – в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, используя уравнение неразрывности:

, но ,

тогда и, следовательно,

. (1.18)

В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид

Эти уравнения, как и в случае уравнения неразрывности, могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt.

Выделим в потоке газа или жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. На выделенный объем действуют массовые силы (например, инерционные, гравитационные), поверхностные силы – давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х (рис.1.5):

а) массовые силы приложим в центре элемента объемом dw.

Ее проекция на ось х равна:

аналогично на другие оси;

б) сила давления. На левой грани элемента по оси x удельное давление равно Р, на площадку dydz действует сила Pdydz. На противоположной грани удельное давление равно , а на эту грань действует сила . Знак «–» указывает на то, что сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

. (1.19)

Согласно второму закону механики равнодействующая равна произведению массы элемента ρdW на его ускорение dV x /dt:

где - локальное, - конвективное изменение величины V х, d/dt – субстанциальная производная:

Приравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z:

Это уравнение движения. Его часто записывают в виде

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю.

Рассмотрим теперь данный закон для реальной жидкости, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напомним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса импульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.

Главный вектор количества движения К системы материальных частиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:

.

Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравняв полную производную по времени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим

, (13)

где p n – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема W.

Вычислим полную производную от главного вектора, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M"=0), тогда

Чтобы преобразовать поверхностный интеграл в правой части (13) в объемный, перепишем его в виде:

где p х, p y , p z – вектор напряжений, приложенный к положительным сторонам площадки, и применим формулы векторного анализа:

(1.23)

Тогда будем иметь

. (1.24)

Подставляя в (1.16) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим

. (1.25)

Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим

Проектируя обе части равенства на направления осей координат, получим:

(1.27)

Эти уравнения динамики сплошной среды «в напряжениях», или «уравнения импульсов».

Cила трения на единицу поверхности по закону Ньютона

(μ – коэффициент динамической вязкости, Н×с/м 2).

.

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.28)

Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя подход, изображенный на рис.1.5. Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость V x изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения s возникает лишь на боковых гранях элемента (рис.1.6).

Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y" сила трения направлена против движения и равна – sdxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении "y+dy" сила трения направлена в сторону движения и равна

Здесь – сила трения на единицу поверхности, по закону Ньютона.

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим .

В общем случае, когда V x изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.29)

Используя вновь понятие субстанциальной производной

согласно второму закону механики получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z (учитывая, что ):

Эти уравнения движения называют уравнениями Навье-Стокса. Дифференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

В случае гипотезы “идеального газа” уравнения движения Навье - Стокса переходят в уравнения Эйлера:

(1.30)

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.

Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отражает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивидуального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:

– изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объем, и подведенного извне тепла за то же время.

Этот закон выражается интегральным равенством

где – удельная полная энергия; U = c v T – удельная внутренняя энергия; – результирующая массовых сил, – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S выделенного объема W; q – удельное количество энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем дифференциальную форму данного закона:

Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения – неразрывности (скалярное) и движения (векторное) – содержат три неизвестных величины: одну векторную (скорость ) и две скалярные (давление р и плотность r), поэтому для газа (W=var) число искомых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавится ещё одна неизвестная величина – температура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния, и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных граничных и начальных условиях) становится определенной.

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полагают, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жидкого элемента остается постоянной:

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимаемой жидкости уравнение энергии не используется.

Его движения , т.е. величина .

Импульс — величина векторная, совпадающая по направлению с вектором скорости .

Единица измерения импульса в системе СИ: кг м/с .

Импульс системы тел равен векторной сумме импульсов всех тел, входящих в систему:

Закон сохранения импульса

Если на систему взаимодействующих тел действуют дополнительно внешние силы, например, то в этом случае справедливо соотношение, которое иногда называют законом изменения импульса:

Для замкнутой системы (при отсутствии внешних сил) справедлив закон сохранения импульса:

Действием закона сохранения импульса можно объяснить явление отдачи при стрельбе из винтовки или при артиллерийской стрельбе. Также действие закона сохранения импульса лежит в основе принципа работы всех реактивных двигателей.

При решении физических задач законом сохранения импульса пользуются, когда знание всех деталей движения не требуется, а важен результат взаимодействия тел. Такими задачами, к примеру, являются задачи о соударении или столкновении тел. Законом сохранения импульса пользуются при рассмотрении движения тел переменной массы таких, как ракеты-носители. Большую часть массы такой ракеты составляет топливо. На активном участке полета это топливо выгорает, и масса ракеты на этом участке траектории быстро уменьшается. Также закон сохранения импульса необходим в случаях, когда неприменимо понятие . Трудно себе представить ситуацию, когда неподвижное тело приобретает некоторую скорость мгновенно. В обычной практике тела всегда разгоняются и набирают скорость постепенно. Однако при движении электронов и других субатомных частиц изменение их состояния происходит скачком без пребывания в промежуточных состояниях. В таких случаях классическое понятие «ускорения» применять нельзя.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

ПРИМЕР 2

ПРИМЕР 3

Закон сохранения количества движения

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, то вектор количества движения системы есть величина постоянная по модулю и направлению .

Если, то, следовательно.

2. Если сумма проекций всех действующих сил на какую-либо ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная .

Если, то, следовательно.

Лекция 11
ГЛАВНЫЙ МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент) системы
относительно центра и оси

Понятие о моменте количества движения точки.
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Кинетический момент. Теорема об изменении кинетического
момента системы при ее движении по отношению к центру масс

Моментом количества движения точки относительно некоторого центра О называется векторная величина, определяемая равенством:

где – радиус-вектор движущейся точки. Вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через и центр О , а модуль равен,

где h – кратчайшее расстояние от центра до линии действия вектора скорости.

Момент количества движения (МКД) точки относительно какой-либо оси Оz , проходящей через центр О, равен проекции вектора на эту плоскость :

Продифференцируем обе части уравнения (1). Для правой части

Выражение как векторное произведение двух параллельных векторов. Учитывая, что – момент силы относительно центра 0 , получим:

Теорема об изменении момента количества движения точки. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра .

Из равенства следует, что если, то.

Если момент действующих сил относительно некоторого центра равен нулю, то момент количества движения точки относительно этого центра есть величина постоянная .

Такое возможно в двух случаях: либо, либо плечо равно нулю, тогда эта сила будет называться центральной , т.е. линия ее действия проходит все время через данный центр О (например, сила притяжения планет к Солнцу, сила натяжения нити при кордовой модели).

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется векторная величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра:

Аналогично определяются моменты количеств движения (МКД) относительно координатных осей:

В предыдущей лекции отмечалось, что количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения . Ниже покажем, что главный МКД системы может рассматриваться как характеристика вращательного движения .

Просмотр: эта статья прочитана 23265 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение и движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения остальных.
Материальное тело рассматривается, как система материальных точек (частиц), которые образуют это тело.
Внешними силами называют такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел, которые не принадлежат данной системе.
Внутренними силами , называют такие силы, которые действуют на точки или тела механической системы со стороны точек или тел той же системы, т.е. с которыми точки или тела данной системы взаимодействуют между собой.
Внешние и внутренние силы системы, в свою очередь могут быть активными и реактивными
Масса системы равняется алгебраической сумме масс всех точек или тел системыВ однородном поле тяжести, для которого, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому распределение масс в теле можно определить по положению его центра тяжести - геометрической точки С , координаты которой называют центром масс или центром инерции механической системы
Теорема о движении центра масс механической системы : центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равняется массе системы, и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему
Выводы:

1. Механическую систему или твердое тело можно рассматривать как материальную точку в зависимости от характера ее движения, а не от ее размеров.
2. Внутренние силы не учитываются теоремой о движении центра масс.
3. Теорема о движении центра масс не характеризует вращательное движение механической системы, а только поступательное

Закон о сохранении движения центра масс системы:
1. Если сумма внешних сил (главный вектор) постоянно равен нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно.
2. Если сумма проекций всех внешних сил на какую-нибудь ось равняется нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту же ось величина постоянная.

Теорема об изменении количества движения.

Количество движения материальной точк и - векторная величина, которая равняется произведению массы точки на вектор ее скорости.
Единицей измерения количества движения есть (кг м/с).
Количество движения механической системы - векторная величина, равняющаяся геометрической сумме (главному вектору) количества движения всех точек системы.или количество движения системы равняется произведению массы всей системы на скорость ее центра масс
Когда тело (или система) движется так, что ее центр масс неподвижен, то количество движения тела равняется нулю (пример, вращение тела вокруг неподвижной оси, которая проходит через центр масс тела).
Если движение тела сложное, то не будет характеризовать вращательную часть движения при вращении вокруг центра масс. Т.е., количество движения характеризует только поступательное движение системы (вместе с центром масс).
Импульс силы характеризует действие силы за некоторый промежуток времени.
Импульс силы за конечный промежуток времени определяется как интегральная сумма соответствующих элементарных импульсов
Теорема об изменении количества движения материальной точки :
(в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил
(в интегральной форме): Изменение количества движения за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы
(в дифференциальной форме): Производная по времени от количества движения системы равняется геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.
(в интегральной форме): Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени.
Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.
Теорема об изменении количества движения механической системы и теорема о движении центра масс являются двумя разными формами одной теоремы.
Закон сохранения количества движения системы.

1. Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равняется нулю, то вектор количества движения системы будет постоянным по направлению и по модулю.
2. Если сумма проекций всех действующих внешних сил на любую произвольную ось равняется нулю, то проекция количества движения на эту ось является величиной постоянной.

Законы сохранения свидетельствуют, что внутренние силы не могут изменить суммарное количество движения системы.

1. Классификация сил, действующих на механическую систему
2. Свойства внутренних сил
3. Масса системы. Центр масс
4. Дифференциальные уравнения движения механической системы
5. Теорема о движении центра масс механической системы
6. Закон о сохранении движения центра масс системы
7. Теорема об изменении количества движения
8. Закон сохранения количества движения системы

Язык: русский, украинский

Размер: 248К

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Законы сохранения кинетической энергии и количества движения долго конкурировали друг с другом, претендуя на ведущую роль, поскольку ни тот, ни другой закон не имеет строгого обоснования. Однако, ученые давно подозревали о наличии связи между ними, о чем говорил еще Х.Гюйгенс (1629-1695). По мнению Гюйгенса эта связь означает, что сохранение механической энергии в любой равномерно движущейся системе влечет за собой и сохранение количества движения. Поэтому после длительных споров ученые пришли к заключению об эквивалентности этих законов. Так, например, Даламбер по этому поводу сделал следующее заявление : “Нужно каждому предоставить свободу решать данный вопрос по его усмотрению. К тому же затронутый вопрос представляет собой не более как совершенно бесплодный метафизический спор о словах, недостойный внимания философов”.
Связь между законами сохранения кинетической энергии и количества движения была установлена В. Паули (1900-1958). Для доказательства этой связи он использует идею Гюйгенса. Цитируем по : “В системе, состоящей из соударяющихся частиц с массами скорости частиц переходят после ударов в скорости . Сохранение энергии выражается уравнением:

Пусть система приобретает добавочную скорость V . Скорости частиц до удара будут теперь равны , а после удара , и сохранение энергии выражается теперь соотношением:
,

Следовательно:

Скорость V - произвольна, поэтому написанное равенство будет справедливо только в том случае, когда:

Иначе говоря, импульс системы до соударения частиц, равный выражению, стоящему слева, сохраняется после соударения”.
Мы тоже рассмотрим этот вопрос в виду его особой важности на примере соударения шаров, но в несколько другой интерпретации (рис.1).
Пусть движение шаров происходит в произвольной инерциальной системе отсчета x- y в одном и том же направлении (рис.1,а) со скоростями и . После удара скорости шаров примут значения и . В соответствии с законом сохранения энергии будет справедливо следующее выражение:
, (1)

Теперь рассмотрим относительное движение, приняв один из шаров за систему отсчета. Для этого используем принцип обращения движения, то есть сообщим обоим шарам одну и ту же скорость, например, , что приведет к остановке первого шара, так как его суммарная скорость будет равна нулю. Скорость же второго шара будет равна относительной скорости:
(2)
Закон сохранения кинетической энергии в этом случае примет вид:
(3)

(4)
Решая совместно уравнения (1) и (4) , получим выражение:
, (5)

(7)
Таким образом, получается интересный результат: из закона сохранения энергии вытекает закон сохранения количества движения. Еще следует отметить, что полученный результат не зависит от выбора системы отсчета.
Если же рассматривать встречное движение шаров (рис.1,б), то для получения правильного результата скорость следует вычитать из скорости , то есть относительную скорость следует находить в соответствии с выражением (2), хотя, как видно из рисунка, эти скорости должны складываться. Это обстоятельство обусловлено тем, что скорости движения всех тел являются векторами, а это значит, что и при вычитании их величины могут суммироваться.
Таким образом, выражения (2), (5) и (7) следует рассматривать как векторные.
Решая совместно выражения (1) и (5), а также (3) и (7), найдем скорости шаров после удара, считая их векторами:
; (8)
; (9)
; (10)
(11)
Используя эти выражения, найдем относительные скорости шаров после удара:
; (12)
(13)
Таким образом, при упругом ударе относительные скорости шаров изменят только свое направление.
Выражение (1), характеризующее закон сохранения энергии, можно представить в другом виде:
(14)

; (15)
, (16)

; (17)
, (18)

• откуда следует, что энергия, приобретенная первым шаром, равна энергии, отданной вторым шаром.

Подставив значения скоростей и в выражения (7) и (8), получим:
; (19)
(20)
Посмотрим теперь, как будет выполняться связь между законами сохранения энергии и количества движения для более сложного случая удара – косого удара, когда скорости движущихся шаров направлены под углом друг к другу (рис.2). На рисунке шары разъединены для лучшего показа их картин скоростей. Принимаем, что скорость совпадает с направлением оси x .
Для решения задачи используем метод обращения движения, сообщив обоим шарам скорость , то есть в качестве системы отсчета в относительном движении выбираем первый шар, суммарная скорость которого будет равна нулю. Примем также для упрощения задачи, что результирующая скорость будет направлена по линии, соединяющей центры шаров. Тогда по известным значениям скоростей и для второго шара строится параллелограмм, с помощью которого устанавливается связь между этими скоростями и скоростью в относительном движении, а также может быть найден угол , так как угол задан.
Используя параллелограмм, с помощью теоремы косинусов получим выражение:
(21)

• которое преобразуем к виду:

(22)
Из данного уравнения находим скорость в относительном движении до начала удара – :
(23)
Угол , характеризующий направление вектора , находим из выражения, полученного с помощью теоремы косинусов:
, (24)

• откуда получим:

(25)
Таким образом, в результате проделанных операций получаем обычное соударение подвижного и неподвижного шаров по направлению линии их центров с начальной относительной скоростью .
Прежде чем определять скорости шаров после их соударения, установим связь между кинетическими энергиями шаров в абсолютном и в относительном движениях::
; (26)
(27)
Так как
(28)

• соответственно будут определяться и другие скорости в относительном движении:

; (29)
(30)
Подставив эти значения относительных скоростей в выражение (27), получим:
(31)
Сократив на два и возведя в квадрат разности скоростей, преобразуем выражение (31) к виду:
, (32)

Добавив в первое слагаемое правой части выражения и можно исключить члены, соответствующие выражению (26), в результате чего выражение (32) примет вид:
(33)
Сократив это выражение на и сделав группировку членов, получим:
(34)
Определив скорости , и в соответствии с выражениями (28) – (32):
(35)

• и подставив их в выражение (34), преобразуем его к виду:

(36)
Таким образом, мы установили связь между законами сохранения энергии и количества движения в абсолютном и в относительном движениях шаров при косом ударе.
Решая совместно уравнения (27) и (36), найдем скорости шаров в их относительном движении:
; (37)
, (38)

При решении уравнений для получения решения в векторной форме квадраты скоростей следует представлять как скалярное произведение двух одинаковых векторов .
Скорости шаров и в абсолютном движении могут быть найдены с помощью теоремы косинусов из параллелограммов, представленных на рис.2.
Для первого шара модуль скорости определится выражением:
, (39)

• откуда получим:

(40)
Для второго шара модуль скорости будет равен:
, (41)

• откуда найдем:

(42)
Углы и , характеризующие направления векторов и по отношению к векторам и , также находим с помощью теоремы косинусов:
; (43)
(44)
Подставляя в эти выражения значения скоростей и из формул (39) и (41), получим:
; (45)
(46)
Для проверки полученных решений можно найти значения кинетической энергии шаров после удара, так как до удара их энергия была равна:
, (47)

• а после удара будет:

(48)
Подставив в выражение (48) значения квадратов скоростей и из выражений (39) и (41), получим:
(49)
Теперь используем значения модулей скоростей и из выражений (37) и (38):
(50)
Подставляя в данное выражение значение модуля скорости в соответствии с формулой (23) и произведя преобразования, получим в итоге, что , то есть закон сохранения энергии будет выполняться.
Рассмотрим теперь неупругий удар двух шаров. В этом случае часть энергии будет затрачена на структурные изменения (неупругие деформации в шарах) и на их нагрев, то есть изменение внутренней энергии. Поэтому выражения законов сохранения энергии в двух системах отсчета примут вид:
; (51)
(52)

Решая совместно данную систему уравнений, получим закон сохранения количества движения в обычном его виде:
, (53)

• то есть потери энергии при взаимодействии тел не оказывают влияния на вид этого закона.

Используя уравнения (51) и (53), найдем скорости шаров после их неупругого столкновения:
; (54)
(55)
Очевидно, выражения (54) и (55) будут иметь физический смысл только при положительном значении подкоренного выражения. Из этого условия можно найти значение , при котором еще будет выполняться закон сохранения количества движения, приравняв подкоренное выражение нулю:
(56)

, (57)

(58)
Выражения (54) и (56) с учетом формулы (57) можно представить в виде:
; (59)
, (60)

(61)
В относительном движении выражения для скоростей примут вид:
; (62)
(63)
Из приведенных выражений следует, что при скорости шаров будут равны и они будут двигаться вместе как одно целое.
Если же коэффициент будет больше единицы, то подкоренное выражение будет отрицательным и выражения для скоростей потеряют физический смысл. Так как при шары будут двигаться как одно целое, для определения скорости их движения достаточно одного уравнения. При еще можно использовать закон сохранения количества движения, при следует использовать только закон сохранения энергии, хотя в математическом отношении закон сохранения количества движения будет выполняться и в этом случае. Таким образом, закон сохранения количества движения имеет пределы его использования. Это еще раз подтверждает приоритетную роль закона сохранения энергии по отношению к закону сохранения количества движения. Однако в принципе, возможно, что значения коэффициента не могут быть больше единицы, тогда оба закона будут справедливы всегда, но это утверждение требует экспериментальной проверки.
Так как шары при будут двигаться как единое целое с одной и той же скоростью закон сохранения энергии примет вид:
, (64)

• где, в соответствии с выражением (61),

(65)
Решая уравнение (64), получим:
(66)

• или в относительном движении:

(67)
Если вся энергия удара будет затрачена на потери, то есть когда будет выполняться соотношение:
, (68)

(69)
Правда, остаются сомнения, возможен ли такой случай в действительности.
В §5 первой главы было показано, что количество движения характеризует инертность тела и определяется отношением , то есть отношением изменения кинетической энергии тела и изменению его скорости. В связи с таким определением инертности тела можно дать другой вывод закона сохранения количества движения. Для этого используем выражения (15), (17) и (18), поделив их на изменение скорости первого тела: :
(70)
Полученное выражение преобразуем к виду:
(71)
Используя соотношение скоростей (12) в виде:
, (72)

• преобразуем выражение (71) к виду:

(73)

• откуда вытекает закон сохранения количества движения:

Законы сохранения энергии и количества движения широко применяется при решении различных задач механики. Однако, в виду того, что эти законы являются интегральными, так как учитывают состояния тел только до и после их взаимодействия, но не в момент самого взаимодействия, существует опасность утраты физического смысла самого взаимодействия, уход от объяснения этого физического смысла в связи с отсутствием его понимания, хотя конечный результат будет и правильным.
Докажем это утверждение на примере движения лодки, когда находящийся в ней человек бросит камень в воду (рис.3). Несомненно, что лодка будет двигаться в сторону, противоположную броску. Для решения задачи используется закон сохранения количества движения, который с учетом направления скоростей будет иметь вид:
, (74)

, (75)

• то есть, чем больше будет масса камня и его скорость, тем больше будет скорость лодки.

Если спросить преподавателей механики, какая причина заставляет двигаться лодку, то большинство из них ответит, что лодка будет двигаться потому, что должен выполняться закон сохранения количества движения. Такой ответ они дают потому, что не могут объяснить действительную причину движения, хотя прекрасно знают, что движение может происходить только под действием силы. Так какая же сила будет заставлять двигаться лодку?
Очевидно, здесь надо разобраться с взаимодействием рук человека и камня в момент бросания. Единственной причиной появления силы, действующей на человека, а через него и на лодку, является воздействие со стороны камня. Эта сила появится в том случае, если камень в момент броска будет двигаться ускоренно. Тогда он будет деформироваться и в нем возникнут упругие силы, которые и будут действовать на руки человека. Эти силы, как мы уже знаем, являются силами инерции и величина их будет равна произведению массы камня на его ускорение. Можно также сказать, что человек отталкивается от камня. Однако решить эту задачу с помощью второго закона Ньютона практически невозможно, так как мы не сможем найти ускорение движения камня в момент броска. Скорость его движения в первые моменты движения найти гораздо проще. Так что использование интегральных законов движения существенно упрощает решение многих задач механики. Правда, при этом не следует забывать и о физической сущности рассматриваемых явлений. В этом случае еще ярче раскроется математическая мощность интегральных законов сохранения.
Теперь рассмотрим более сложную задачу о дви­жении тележки, на которой расположены два груза, вращающиеся в разные стороны с одной и той же угловой скоростью (рис.4). Эта задача также решается с помощью закона сохранения количества движения:
, (76)

Из выражения (76) следует:
, (77)

• то есть тележка будет совершать гармонические колебания. Но какова же причина этих колебаний? Нельзя же утверждать, что тележка подчиняется закону сохранения количества движения. Колебаться тележку должна заставить сила, но какая? Единственным претендентом на эту роль может быть только центробежная сила инерции, действующая на вращающиеся грузы:

(78)
Под действием двух сил инерции тележка будет двигаться вдоль оси y . Характер движения тележки можно найти с помощью второго закона Ньютона:
(79)
Скорость движения тележки определится интегрированием данного выражения:
, (80)

• где С – постоянная интегрирования.

Для определения скорости движения тележки необходимо использовать начальные условия. Однако здесь возникает проблема: чему же будет равна скорость тележки при ? Предположим, что в начальный момент времени незакрепленная тележка и грузы были неподвижны, а затем грузы были приведены во вращение сразу же с постоянной угловой скоростью, то есть переходный режим движения будет отсутствовать. Таким образом, величина сил инерции сразу же примет конечное значение, определяемое выражением (78). Под действием сил инерции тележка должна была бы двигаться сразу в положительном направлении. Однако, надо иметь в виду, что при мгновенном появлении скорости движения грузов, появится теоретически бесконечное, а практически очень большое ускорение в направлении оси y , если грузы были расположены вдоль оси x , и соответствующая ему сила инерции в противоположном направлении, которая и заставит тележку двигаться в сторону ее действия в отрицательном направлении оси y , то есть фактически будет иметь место удар по тележке.
Примем, что начальная скорость тележки будет равна , тогда из уравнения (80) получим:
,

• откуда найдем постоянную интегрирования С :

(81)
В соответствии с этим скорость тележки будет:
(82)
Проинтегрировав это выражение, найдем перемещение тележки вдоль оси y :
(83)
При заданных условиях движение тележки будет гармоническим, поэтому выражение в круглых скобках должно равняться нулю. Тогда закон движения тележки примет вид:
, (84)

(85)
Тогда скорость движения тележки в функции угла поворота определится из выражения (80):
,

• что соответствует выражению (77).

Однако возможно и второе решение этой задачи, если считать, что сначала тележка закреплена, а грузы вращаются с постоянной скоростью . Затем, когда грузы займут положение вдоль оси x , тележка освобождается. При таких условиях силы инерции в направлении оси y будут отсутствовать, так как величина скорости вращения грузов изменяться не будет, поэтому не будет и удара по тележке в отрицательном направлении оси y и ее начальная скорость будет равна нулю. Тогда из уравнения (80) следует, что постоянная интегрирования С будет равна:
, (86)

• в связи с чем скорость тележки в функции времени будет иметь вид:

(87)
Интегрируя это выражение по времени, найдем перемещение тележки вдоль оси y:
(88)

, (89)

; (90)
(91)
Таким образом, периодически изменяющаяся проекция сил инерции грузов на ось y заставляет совершать тележку гармонические колебания и даже двигаться вдоль оси y в зависимости от начальных условий движения. Незакрепленная тележка будет совершать только гармонические колебания, а закрепленная и затем освобожденная тележка при будет совершать прямолинейное движение, на которое будет накладываться гармонические колебания.
Проведенный нами анализ был бы невозможен без учета действующих на тележку сил, каковыми являются в данном случае силы инерции. Если же движение тележки объяснять необходимостью выполнения закона сохранения количества движения, то это значит ничего не сказать по существу дела. Поэтому использование законов сохранения целесообразно совмещать с подробным силовым анализом рассматриваемой задачи.